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INFINITESIMALCKalkül

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V14, Seite 537 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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INFINITESIMALCKalkül. . 1. Das Infinitesimalkalkül ist See also:

der Körper von Richtlinien und Prozesse, mittels deren ununterbrochen unterschiedliche Größen in mathematischer See also:Analyse behandelt werden. Das Namens"Infinitesimal" ist See also:am Kalkül angewendet worden, weil die meisten führenden Resultaten zuerst mittels der Argumente über "unendlich kleine" Quantitäten erreicht wurden; die "unendlich kleinen" oder "Infinitesimal" Quantitäten wurden vage als seiend weder See also:null noch begrenzt aber in irgendeinem Zwischen- begriffen, werdend oder evanescent, See also:Zustand. Es gab keine Notwendigkeit für diese konfuse Auffassung, und sie kam verstanden zu werden, daß sie mit zugeführt werden kann; aber das Kalkül wurde nicht von seinen ersten Gründern in Übereinstimmung mit logischen Grundregeln von genau definierten Begriffen entwickelt, und es gewann Anhänger eher durch das impressiveness und die Vielzahl der See also:Resultate, die erreicht werden konnten, indem man sie als durch das cogency der Argumente verwendete, durch die sie hergestellt wurde. Eine ähnliche See also:Aussage konnte hinsichtlich anderer Theorien abgegeben werden, die in der mathematischen Analyse, so zum Beispiel als die Theorie der endlosen See also:Reihe umfaßt wurden. Viele, möglicherweise alle, mathematischen und körperlichen Theorien, die überlebt haben, haben eine ähnliche historyageschichte gehabt, die in zwei Perioden ungefähr geteilt werden kann: eine See also:Periode See also:des Aufbaus, in der Resultate von teilweise gebildeten Begriffen erreicht werden, und eine Periode der See also:Kritik, in der die grundlegenden Begriffe nach und nach immer exakter werden, und werden gezeigt, um ausreichende Unterseiten für die Aufbauten zu sein, die vorher nach ihnen errichtet werden. Deckung dieser Perioden normalerweise. Kritiker der neuen Theorien ermangeln nie. Andererseits da See also:E. See also:W. Hobson wohles besagtes hat, "passende Kritik von See also:Grundlagen verursacht fast unveränderlich neuen See also:Aufbau.", In der See also:Geschichte des Infinitesimalkalküls the17th und in den 18.

Jahrhunderten hauptsächlich waren eine Periode des Aufbaus, das 19. See also:

Jahrhundert hauptsächlich eine Periode der Kritik. I. Natur des Kalküls. 2. Die See also:Aufmachung, in der variable Quantitäten den Mathematikern des 17. Jahrhunderts sich darstellten, war die der Längen der variablen Linien. Diese Methode des Darstellens der variablen Quantitäten datiert vom 14. Jahrhundert, metrkal y }, als sie von See also:Nicole See also:Oresme eingesetzt wurde, der studierte darstellen-und danach an der See also:Hochschule de See also:Navarre im atton von See also:Paris von 1348 bis 1361 unterrichtete. Er stellte eine von zwei variablen Quantitäten des variabltttte, See also:z.B. die See also:Zeit See also:dar, die abgelaufenes Qnanes., da irgendeine See also:Epoche, durch eine Länge, die "Länge benannte," gemessen entlang einer bestimmten See also:Linie hat; und er stellte die andere der zwei Quantitäten, z.B. die Temperatur am Moment, durch eine Länge dar, genannt die "See also:Breite," senkrecht gemessen zu dieser Linie. Er erkannte, daß die Veränderung der Temperatur mit der Zeit durch die Linie, gerade dargestellt wurde oder gekurvt, die verband die Enden aller Linien "der Breite.", Länge und Breite Oresmes waren, was wir die See also:Abszisse und die See also:Ordinante jetzt nennen sollten. Die gleiche Methode wurde später von vielen Verfassern verwendet, unter denen Johannes See also:Kepler und Galileo Galilei erwähnt werden können. In der See also:Untersuchung Galileos der See also:Bewegung der fallenden Körper (1638) stellt die Abszisse OA die Zeit dar, während deren ein Körper gefallen ist, und die Ordinante AB stellt die See also:Geschwindigkeit dar, die während dieser Zeit erworben wird (sehen Sie fig.

I). Die Geschwindigkeit, die See also:

zur Zeit, die "erreichte Kurve" proportional ist, ist eine gerade Gerade OB, und Galileo zeigte, daß der See also:Abstand, durch den der Körper gefallen ist, durch den See also:Bereich des Dreiecks OAB dargestellt wird. Die vorstehendsten Probleme hinsichtlich einer Kurve waren das Problem des Findens der See also:Punkte, an denen die Ordinante ein Maximum oder ein Minimum, das Problem des Zeichnens einer Tangente zur probthekurve an einem zugewiesenen See also:Punkt und das Problem lems der See also:Bestimmung des Bereichs der Kurve ist. Die Relation von Maxima das Problem Maxima und Minimum zum Problem Mtalma. von den Tangenten wurde in der Richtung verstanden, daß Maximumtangenten oder Minimum, wenn eine bestimmte Gleichung Gleichgestelltes und Viererkabel-Wurzeln hat, und entsteht, wenn dieses der See also:Fall, die Kurven ist durch, welches ratures. das Problem sein soll gelöste See also:Note. Die Verkleinerung von Problemen Maxima und von Minimum zu den Problemen Kontakt bekannt zu Pappus. Das Problem des Findens des Bereichs einer Kurve wurde normalerweise in einer bestimmten See also:Form dargestellt, in der es wird genannt das "Problem Quadraturen.", Es wurde gesucht, um den Bereich festzustellen, der zwischen der Kurve, der See also:Mittellinie der Abszissen und zwei Ordinanten enthalten wurde, von denen man betrachtetes so örtlich festgelegtes und das andere wie Variable war. Untersuchung Galileos kann als Beispiel dienen. In diesem Beispiel verschwindet die örtlich festgelegte Ordinante. Von dieser Untersuchung kann es gesehen werden, daß vor der Erfindung des Infinitesimalkalküls die See also:Einleitung einer Kurve in Diskussionen über den Kurs irgendeines Phänomenes und dem Problem Quadraturen für diese Kurve, nicht ausschließlich vom geometrischen Import waren; der Zweck, zu dem der Bereich einer Kurve gesucht wurde, war häufig, etwas zu See also:finden, das nicht ein areaforfall, eine Länge oder eine See also:Ausgabe oder ein Schwerpunkt ist. 3. Die griechischen Geometer bildeten wenig Fortschritt mit dem Problem Tangenten, aber sie planten Methoden für das Nachforschen des Problems Quadraturen.

Eine dieser Methoden war der Nebenfluß, der danach die "Methode von Abführungen," genannt wurde und Methoden die Grundregel, auf der sie basiert, wurden in der Lemma niedergelegt, die dem I2th-See also:

Buch von Elementen Euclids vorgesetzt wurde, wie folgt: "wenn vom grösseren von zwei Größen mehr als seine Hälfte und vom See also:Rest mehr als seine Hälfte und so See also:weiter genommen werden, bleiben ausführlich eine Größe kleiner als das kleiner von den vorgeschlagenen Größen.", Die Methode, die von See also:Archimedes angenommen wurde, war allgemeiner. Sie kann als die Einschließung der zwischen zwei andere auszuwertenden Größe beschrieben werden, die durch einen definitiven Prozeß geholt werden können, um sich von einander durch kleiner als irgendwelche zu unterscheiden zugewiesene Größe. Ein einfaches Beispiel seiner Anwendung ist die 6. See also:Angelegenheit von See also:Abhandlung Archimedes' auf den Bereich und den See also:Zylinder, in denen es nachgewiesen wird, daß der Bereich, der zwischen einem regelmäßigen See also:Polygon eingeschrieben werden in einem Kreis und einem ähnlichen Polygon umgrenzt wird zum See also:gleichen Kreis enthalten wird, gebildet werden kann kleiner als irgendein zugewiesener Bereich, indem man die Zahl Seiten des Polygons erhöht. Die Methoden von See also:Euclid und von Archimedes waren Probestücke der rigorosen Begrenzungsprozesse (sehen Sie FUNKTION). Die neuen Probleme stellten sich durch die analytische See also:Geometrie dar und natürliche See also:Philosophie des 17. Jahrhunderts führte zu neue Begrenzungsprozesse. 4. Im Problem Tangenten kann der neue Prozeß wie folgt beschrieben werden. See also:Lassen Sie P, P ' ist zwei Punkte einer Kurve (sehen Sie fig. 2). Lassen Sie x, ist y die Koordinaten von P und x+Ax, jenes y+Ay Differen- von ' P '. Die Symbolaxt bedeutet, daß "der Unterschied von zwei tiado:a x" und dort a wie das Bedeuten für das See also:Symbol Ay ist. Der See also:Bruch Ay/Ax ist die trigonometrical Tangente des Winkels, den Marken der Sekanten-pp.

' mit der Mittellinie von x. jetzt See also:

Axt in Richtung zu null fortwährend vermindert werden lassen, damit P ' sich fortwährend P. If nähert, hat die Kurve eine Tangente an P, welches das Sekantenp P ' einer Begrenzungsposition sich nähert (sehen Sie § 33 unten). Wenn dieses der Fall ist, den der Bruch Ay/Ax zu einer See also:Begrenzung neigt, und diese Begrenzung die trigonometrical Tangente des Winkels, den die Tangente an P zur Kurve mit der Mittellinie von x. die Begrenzung bildet, wird bezeichnet durch dy 7x• ist, wenn die Gleichung der Kurve vom Formy=See also:f(x) ist, in dem f ein Funktionssymbol (sehen Sie FUNKTION) ist, dann xaxt Ly f(x+Ax)f(' und dy = f(x+Ax)f(x) Rind-Qaxt des dx hm. die Begrenzung, die vom rechten Mitglied dieser Definierengleichung ausgedrückt wird, schriftlich häufig f'(x) und wird die "abgeleitete Funktion" von f(x), manchmal die "Ableitung" oder "Ableitung" vom f(x) benannt. Wenn das Funktionsf(x) eine rationale integrale Funktion ist, kann die See also:Abteilung durch Ax durchgeführt werden, und die Begrenzung wird durch ersetzendes null für Axt im Quotienten gefunden. Z.B. wenn f(x) = x2, wir f(x+Ax) f(x) _ haben (x+Ax)2x22xAx+(Ax)2=2x+Ax, Axtaxtaxt und -f'(x) = 2x. Der Prozeß der Formung der abgeleiteten Funktion einer gegebenen Funktion wird Unterscheidung genannt. Der Bruch Ay/Ax wird den "Quotienten von Unterschieden," genannt und seine Begrenzung dy/dx wird genannt den "differentialen Koeffizienten von y in Bezug auf x.", Die Richtlinien für die Formung der differentialen Koeffizienten setzen die Differentialrechnung fest. Das Problem Tangenten wird bei einem Anschlag durch die Anordnung des differentialen Koeffizienten gelöst; und das Problem Maxima und Minimum wird, abgesehen von der Unterscheidung von Maxima vom Minimum und von einigen weiteren Verfeinerungen gelöst, indem man den differentialen Koeffizienten bis null gleichstellt (sehen Sie MAXIMA UND MINIMUM). See also:5. Das Problem Quadraturen führt zu eine See also:Art Begrenzen des Prozesses, der beschrieben werden kann, wie folgt: Lassen Sie y=f(x) die Gleichung von Integra- ein Kurve sein, und lassen Sie Wechselstrom und BD die Ordinanten der Punkte sein anzieht. See also:C und See also:D (sehen Sie fig. 3).

Lassen Sie a, b ist die Abszissen dieser Punkte. Lassen Sie das Segment AB in eine Anzahl von Segmenten mittels der Zwischenpunkte wie See also:

M geteilt werden, und lassen Sie See also:Mangan ein solches Segment sein. Lassen Sie P.M. und QN jene Ordinanten der Kurve sein, die M und N als ihre Füße haben. Auf Mangan als See also:Unterseite beschreiben Sie zwei Vierecke, von denen die Höhen das größte und wenige See also:Werte von y See also:sind, die Punkten See also:s See also:r D auf dem See also:Bogen PQ der Kurve entsprechen. In fig. 3 sind diese die Vierecke RM, ließ SN die Summe der See also:Bereiche solcher Vierecke, die RM gebildet wird, und likewise die Summe der Bereiche solcher Vierecke wie SN. Ein M N $, wenn die Zahl der Punktbegrenzung und die Längen aller Segmente wie Mangan ohne Begrenzung vermindert werden, diese zwei Summen Bereiche neigen zu den Begrenzungen. Wenn sie zur gleichen Begrenzung neigen, hat die krummlinige See also:Abbildung See also:ACDB einen Bereich, und die Begrenzung ist das Maß dieses Bereichs (sehen Sie § 33 unten). Die Begrenzung in der Frage ist gleiche, was See also:Gesetz für das Einsetzen der Punkte wie M zwischen A angenommen werden kann und B und für die Längen der Segmente wie Mangan, wenn P ' irgendein Punkt auf dem Bogen PQ ist, und P'M ' weiter vermindern die Ordinante von P ' ist, können wir konstruieren deren See also:Viereck die Höhe sind P'MVI ' und die Unterseite Mangan ist, und die Begrenzung auf die Summe der Bereiche all dieser Vierecke ist der Bereich der Abbildung als vorher. Wenn x theabscissa von P ist, wird x+Ax das von Q, x', das von P ', die Begrenzung in der Frage unter schriftlich konnte lim. f (x')Ax, wo die Buchstaben a, b geschrieben, wo die Buchstaben a, b, das und über das Zeichen der Summierung geschrieben wird, die extremen Werte von x. diese Begrenzung anzeigen, "das definitive Integral von f (X) zwischen den Begrenzungen a und b," und die See also:Darstellung für es ist rf(x)dx genannt. Die Mikroben dieser Methode der Formulierung des Problems Quadraturen werden in den See also:Schreiben von Archimedes gefunden. Die Methode führt zu eine See also:Definition eines definitiven Integrals, aber die direkte Anwendung von ihr zur Auswertung von Integralen ist im das schwierige allgemeinen.

Jeder möglicher Prozeß für das Auswerten eines definitiven Integrals ist ein Prozeß der Integration, und die Richtlinien für Auswertenintegrale setzen das integrale Kalkül fest. 6. Der See also:

Leiter dieser Richtlinien wird erhalten, indem man die extreme Ordinante BD als Variable betrachtet. Lassen Sie E jetzt die Abszisse von B. The bezeichnen, das Bereich A der Abbildung ACDB durch das integrale See also:J f(x)dx des Theorems dargestellt wird, und es ist eine Funktion von E. Let BD von Inver- wird verlegt zu B'D ', damit E+-LÜGE wird (sehen Sie AB a. Fig., wird 4) der Bereich der Abbildung ACD'B ' durch das integrale f+-f(x)dx dargestellt, und die Stufensprung DA des Bereichs wird durch die See also:Formel AA=J +jf(x)dx gegeben, die den Bereich BDD'B darstellt '. Dieser Bereich ist zwischen denen von zwei Vierecken Zwischen und hat als Basisschaltung das Segment BB und als Höhen das größte und wenige Ordinanten der Punkte auf dem Bogen-DD ' der Kurve. Lassen Sie diese Höhen See also:H sein und h. dann AA ist Zwischen- zwischen HAE und See also:hAl, und der Quotient der See also:Unterschiede AA/AE ist zwischen H und h. Zwischen, wenn das Funktionsf(x) an B (sehen Sie FUNKTION) dann als A: ununterbrochen ist: wird ohne Begrenzung vermindert, neigen H und h zu BD, oder AO, wie Begrenzung und wir haben aE = f(t). Die Einleitung des Prozesses der Unterscheidung, zusammen mit dem hier nachgewiesenen Theorem, setzte die Lösung des Problems Quadraturen auf eine neue See also:Grundlage. Es scheint, daß wir den Bereich A immer finden können, wenn wir eine Funktion F (X) kennen, die f(x) als sein differentialer Koeffizient hat.

Wenn f(x) zwischen a und b ununterbrochen ist, können wir prüfen, daß dieser dF(x)dxaxt) ' wir gesagt werden, um das Funktionsf(x) zu integrieren und F(x) das unbestimmte Integral von f(x) in Bezug auf x genannt wird und geschrieben wird (f(x)dx. 7. Bei § 4 the/increment ist Ay nicht im das allgemeinen, das dem Produkt der Stufensprungaxt und des abgeleiteten Funktionsf'(x) gleich ist. Im allgemeinen können wir eine Gleichung der Form Ay = f'(x)Ax+R notieren, in dem R zu null unterschiedlich ist, wenn Axt zu null unterschiedlich ist; und dann haben wir nicht nur lim.-Rind oder = See also:

O, aber auch oxco, R = O. Wir können Ay in zwei Teile trennen: die Teilf'(x)axt und die Teilf'(x)axt Teilr. The alleine ist für die Formung des differentialen Koeffizienten nützlich, und es ist bequem, ihm einen Namen zu geben. Es wird das Differential von f(x) genannt und df(x) schriftlich, oder dy, wenn y für f(x) geschrieben wird. Wenn diese Darstellung angenommen wird, wird dx anstelle von der Axt geschrieben und wird das "Differential von x," genannt, damit wir df(x) = f'(x)dx haben. So ist das Differential einer unabhängigen Variable wie x ein begrenzter Unterschied; mit anderen Worten ist es jede mögliche Zahl wir bitte. Unterscheiden, das von einer abhängigen Variable wie y oder von einer Funktion der unabhängigen Variable x ential ist, ist das Produkt des Differentials von x und differentiale Koeffizient oder abgeleitete Funktion. Es ist wichtig, zu beobachten, daß der differentiale Koeffizient nicht als das Verhältnis von Differentialen definiert werden soll, aber das Verhältnis von Differentialen soll als der vorher eingeführte differentiale Koeffizient definiert werden. A sa der Differentiale D Ds A = FF (x)dx = F (b) F (a).

Wenn wir eine Funktion F(x) See also:

erkennen, die die See also:Eigenschaft hat, die durch die Gleichungsdifferentiale ausgedrückt wird. sind jeder begrenzten Unterschiede oder sind soviel von bestimmten begrenzten Unterschieden, wie für die Formung der differentialen Koeffizienten nützlich seien Sie. Lassen Sie wieder F(x) das unbestimmte Integral eines f(x) der stetigen Dauerfunktion sein, damit wir dF(x) = f(x) haben, f1(x)dx=F(b) - F (a). dx, wenn die Punkte M des Prozesses, der in § 5 erklärt wird, zwischen den Punkten eingesetzt werden deren Abszissen a und b sind, können wir sie zahlreich nehmen, um n I zu sein, damit das Segment AB in n-Segmente geteilt wird. Lassen Sie x3, x2... x"-1 ist die Abszissen der Punkte im See also:Auftrag. Das Integral ist die Begrenzung auf das Summenf(a) (xi-a) +f(xi) (x2-x,)+... +f(xr) (x, +r-xr), +... +, fördern f(xn-1)(b-x"-1), von dem jede See also:Bezeichnung ein Differential der Form f(x)dx. ist, das Integral ist gleich der Summe der Unterschiede IF(x)-F(a)1+IF(x2)-F(x:)1+... +IF(xr+1)-F(xr)1 +... +IF(b)-F(x"-)I, für diese Summe ist F(b)-F(a). Jetzt ist der Unterschied F(xr+I)-F(xr) nicht bis das differentiale 1(xr) (xr+r-xr) gleich, aber die Summe der Unterschiede ist der Begrenzung auf die Summe dieser Differentiale gleich. Das Differential kann vom Unterschied so soviel betrachtet werden, wie angefordert wird, um das Integral zu bilden.

Von diesem Gesichtspunkt wird ein Differential ein differentiales See also:

Element eines Integrals genannt, und das Integral ist die Begrenzung auf die Summe der differentialen Elemente. Auf ähnliche Art und Weise das differentiale Elementydx des Bereichs einer Kurve (§ 5) ist nicht der Bereich des Teils, der zwischen zwei Ordinanten enthalten wird, gleichwohl nahe zusammen, aber soviel von diesem Bereich ist, während Notwendigkeit mit dem See also:Ziel das Finden des Bereichs der Kurve durch den Begrenzungsprozeß beschrieben behalten wird. 8. Die Darstellung des Infinitesimalkalküls wird See also:vertraut mit den Begriffen von Differentialen und den Summen Elementen zusammengebunden. Der See also:Buchstabe "d" ist der Ausgangsbuchstabe der Darstellung des Wortdifferentia (Unterschied) und das Symbol "f" ist ein herkömmlich geschriebenes "S," der Ausgangsbuchstabe des Wortsumma (Summe oder vollständiges). Die Darstellung wurde von See also:Leibnitz eingeführt (sehen Sie §§ 25-27, unten). 9. Das grundlegende artifice des Kalküls ist das artifice der Formung von Differentialen ohne erste bildende differentiale Koeffizienten. Von einer Kapitalsgleichung, die x und y können wir enthält, eine neue Gleichung ableiten, geistlich, Rind und Ay, durch ersetzendes x+ax für x Artifice. und y+'y für y. auch enthalten, wenn es einen differentialen Koeffizienten von y in Bezug auf x gibt, dann Ay in der Form O.:~x+R, in der lim.y, =0(R/Ox) = O, als in § 7 oben ausgedrückt werden kann. Das artifice besteht, wenn es von Anfang an alle Bezeichnungen der Gleichung zurückweist, die R. We bilden R nicht an See also:allen, aber nur See also:sp.Ox oder ~. dx gehören, das das dy Differential ist. In der gleichen Weise in allen Anwendungen des integralen Kalküls zur Geometrie oder zu den Mechanikern bilden wir das Element eines Integrals, genauso wie das Element von Bereichsy.-dx gebildet wird.

In fig. 3 von § 5 ist das Element von Bereichsy.-dx der Bereich des Viereckes RM. Der tatsächliche Bereich der krummlinigen Abbildung PQNM ist grösser als der Bereich dieses Viereckes durch den Bereich der krummlinigen Abbildung PQR; aber der Überfluß ist kleiner, als der Bereich des Viereckes PRQS, das durch das Produkt der numerischen See also:

Masse Mangans und des QR gemessen wird, und wir Mangan haben. QR lim.MN-o Mangan = O. So ist das artifice, durch das differentiale Elemente von Integralen gebildet werden, prinzipiell dasselbe wie das, durch das Differentiale ohne erste bildende differentiale Koeffizienten gebildet werden. zu. Diese Grundregel wird normalerweise ausgedrückt, indem man den Begriff von Aufträgen der kleinen Quantitäten vorstellt. Wenn x, y zwei variable See also:Zahlen sind, die Aufträge von zusammen angeschlossen durch jede mögliche Relation sind, und wenn, wenn x zu kleinem null y auch neigt, bis null neigt, kann der Bruch y/x zu einer begrenzten Begrenzung der Quantitäten neigen. In diesem Fall sollen x und y "vom gleichen Auftrag.", Wenn dieses nicht der Fall ist, können wir im x 4 = 0 oder lim.x_Ox = O haben. Im ehemaligen Fall soll y "von einem niedrigeren Auftrag" als x; im letzten Fall soll y "von einem höheren Auftrag" als x. in Übereinstimmung mit diesem Begriff, den wir sagen können, daß das grundlegende artifice des Infinitesimalkalküls in der Ablehnung der kleinen Quantitäten eines unnötigerweise hohen Auftrages besteht. Dieses artifice ist jetzt bloß ein Ereignis in der Führung eines Begrenzungsprozesses, aber im 17. Jahrhundert, als, Prozesse anders als die griechischen Methoden für Quadraturen begrenzend, waren, die Einleitung des artifice war ein großer Fortschritt See also:neu.

n. Durch das Hilfsmittel dieses artifice oder See also:

direkt indem wir die passenden Begrenzungsprozesse, wir kann die Richtlinien erhalten durchführen, durch die differentiale Koeffizienten gebildet werden. Diese Richtlinien können beiclassified als "formale Richtlinien" und "bestimmte Resultate.", Die formalen Richtlinien können angegeben werden, wie folgt: (i.) ist der differentiale Koeffizient einer See also:Konstante null. (ii.) für eine Summe u+See also:v+... +z, wo u, v... Funktionen von x sind, d(u+v+... +z) du Dv dzdx - dx+dx+-•. • +•(iii.) Für ein ProduktcUvd(uv)dv + du Dx - udx ' (iv.) Für einen Quotienten u/v d(u/v) (du Dv \/2 dx vdx-udx V. (v.) für eine Funktion einer Funktion das heißt, für eine Funktion, die in einem variablen z ausgedrückt, das wird selbst ausgedrückt als Funktion von x, dy_dy dzdx-dzdx zusätzlich zu diesen formalen Richtlinien haben wir ausgedrückt wird, bestimmte Resultate hinsichtlich der Unterscheidung der einfachen Funktionen. Die wichtigsten Resultate werden im folgenden dx-Tw-Gondelstationnxnt der Tabelle Y dy für alle Werte von n loge des logax x ' als ' loggiasin x See also:Lattich x Lattich x notiert - See also:Sin Ix des Sin x (I x2)-4 bräunen-'x (1 +x2) ' jede der formalen Richtlinien, und jedes der bestimmten Resultate in der Tabelle, ist ein Theorem der Differentialrechnung. Alle Funktionen (oder eher Ausdrücke) das von denen in der Tabelle durch eine begrenzte Anzahl von Betrieben von Hinzufügung gebildet werden kann, See also:Abzug, See also:Vermehrung oder Abteilung können durch die formalen Richtlinien unterschieden werden. All diese Funktionen werden explizite genannt.

Zusätzlich zu diesen haben wir implizite Funktionen, oder wie werden durch eine Gleichung festgestellt, die zwei Variablen enthält, wenn die Gleichung nicht gelöst werden kann, um die eine Variable auszustellen, die in der anderen ausgedrückt ausgedrückt wird. Wir haben auch Funktionen einiger Variablen. Weiter da die abgeleitete Funktion einer gegebenen Funktion selbst eine Funktion ist, können wir suchen, sie zu unterscheiden, und folglich entstehen die zweiten und höheren differentialen Koeffizienten. Wir schieben für das See also:

Geschenk die Probleme Differentialrechnung hinaus, die aus diesen Betrachtungen entstehen.

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