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System der getrennten Partikel, die Summierungen in (6) sollen durch Integrationen ersetzt werden haben. Beispiele werden in den Lehrbüchern des Kalküls und des analytischen See also:

STATICS (von der Gr.-Wurzel morgens -, Standplatz oder Ursache zum Stehen)

statics gefunden. Als bestimmte Fälle: die See also:

Masse-Mitte einer konstanten dünnen dreieckigen See also:

Platte stimmt mit der von drei See also:

GLEICHEN

gleichen Partikeln an den Ecken überein; und das eines konstanten festen Tetraeders stimmt mit dem von vier gleichen Partikeln an den Gipfeln überein. Wieder teilt die Masse-Mitte eines konstanten festen rechten kreisförmigen Kegels die See also:

MITTELLINIE (Lat. für "Welle")

Mittellinie im Verhältnis 3: I; die einer konstanten festen Hemisphäre teilt den axialen See also:

RADIUS

Radius im Verhältnis 3: See also:

5. MONARCHYCMänner

5. Es wird leicht von (6) gesehen, daß, wenn die Konfiguration eines Systems der Partikel durch ' homogene See also:

Belastung "geändert wird (sehen Sie, daß ELASTIZITÄT) die neue Position der Masse-Mitte an diesem See also:

PUNKT

Punkt der belasteten See also:

ABBILDUNG

Abbildung ist, die der ursprünglichen Masse-Mitte entspricht. Die See also:

Formel (2) zeigt daß ein System der gleichzeitigen Kräfte, die durch See also:

m dargestellt werden. OP1, M2. OP2,... m°.OP "hat ein Endergebnis, das von See also:

E(m).OG dargestellt wird. Wenn wir 0 uns vorstellen, um See also:

ZURÜCKFALLENCFieber (recurrens Febris)

zur Unbegrenztheit in irgendeiner Richtung zurückzutreten, erfahren wir daß ein System der parallelen Kräfte, die zu m2 proportional See also:

SIND

sind. . .

in., fungierend an P, P2. . . . P° haben ein Endergebnis, das zu E(m) proportional ist, das immer durch einen Punkt fungiert G, der verhältnismäßig See also:

AMÖBE

am gegebenen Masse-System befestigt wird. Dieses enthält die Theorie des "Schwerpunktes" (§§ 4, 9). Wir können das auch merken wenn P2. . . P° und P, ', P2 '. . . P° ' stellt zwei Konfigurationen der See also:

Reihe der Partikel, dann See also:

Z(m See also:

dar. PP')=E(m).GG ', (8), wo G,G ' die zwei Positionen der Masse-Mitte sind. Die Kräfte m.P, PU ', m2•P2P2 '. m°.P°P° ', betrachtet als beschränkte Vektoren, nicht jedoch als Regel verringern sich auf einem einzelnen Endergebnis.

Wir See also:

FAHREN (von ", d.h. zu fahren, "im Allgemeinen anzutreiben, zwingen Sie entlang oder innen, ein Wort, das in den verschiedenen Formen für die Sprachen Teutonic allgemein ist)

fahren zur Theorie der Fläche-, axialen und polarenquadratischen Momente des Systems fort. Axiale Momente Thy haben alleine eine dynamische Bedeutung, aber die anderen sind als Tochterauffassungen nützlich. Wenn See also:

h,/12. . . h° ist die Senkrechtabstände der Partikel von jeder örtlich festgelegten Fläche, die Summe Z(mh2) ist der quadratische Moment in Bezug auf die Fläche. Wenn p, p2..., PA ist die Senkrechtabstände von jeder möglicher gegebenen Mittellinie, die Summe 2;(mp2) ist der quadratische Moment in Bezug auf die Mittellinie; es wird auch der Moment der Schwungkraft über die Mittellinie benannt. Wenn See also:

r, r. . . Ra ist die Abstände von einem Fixpunkt, ist die Summe E(mr2) der quadratische Moment in Bezug auf diesen Punkt (oder See also:

Pfosten). Wenn wir irgendwelche der oben genannten quadratischen Momente teilen, merken wir dieses Iv-== h+See also:

L, Izn = Iz+h, I.0 = Is+Iv und Io=Is+Iy+I. = 2(Is.+Izs+Isb)• (13) im See also:

Fall ununterbrochener Verteilungen der Angelegenheit die Summierungen in (9), (zu), (ii) sollen selbstverständlich durch Integrationen ersetzt werden. Für eine See also:

KONSTANTE, BENJAMIN (1845-1902)

konstante dünne kreisförmige Platte See also:

FINDEN, WILLIAM (1787 -- 1852)

finden wir und nehmen den Ursprung in seiner Mitte und die Mittellinie von z-Normal zu seiner Fläche, L, = IMa2, wo M die Masse und der Radius ist.

Seit = ist Ig, Ix = See also:

O, wir ableiten Iss = 1M See also:

A2(z)

a2, Isv=IMa2; folglich ist der Wert des quadrierten Radius der Drehung für einen See also:

DURCHMESSER (vom Cr&a, durch, vom µErpov, vom Maß)

Durchmesser und für die Mittellinie von Symmetrie Za2. Again, für einen konstanten festen See also:

Bereich, der seine Mitte am Ursprung finden wir hat, Io=lMa2, Is=I"=Iz=IMa2, Iy, =Iss=Isv=IMa2; See also:

d.h. ist das Quadrat des Radius der Drehung in Bezug auf einen Durchmesser ia2. Die Methode der homogenen Belastung kann angewendet werden, um die entsprechenden See also:

RESULTATE

Resultate für ein See also:

ELLIPSOID

Ellipsoid von Halbäxten a, b, See also:

c. abzuleiten, wenn die Koordinierungsäxte mit den Hauptäxten übereinstimmen, wir finden ist = IMO, I9=IMb2, ist = Mc2, woher Irz=(b'+c2), &c. Wenn 4(x, y, z) irgendeine homogene quadratische Funktion von x, y, z ist, haben wir E{md, (x, y, z) } = E}mb(z+E, y+n, z+3 ') } = z1m4, (7, y, z)}+z{m(, See also:

J, 3) }, _ (14), da die Bezeichnungen, die in bezug auf x, y, z und t doppellinig sind, rI, verschwinden, in der Tugend der Relationen (7). So = Ist I+I(m)x2, (15) Iv: = I78-+I(m)•(y2-{-z2), (16) mit ähnlichen Relationen und See also:

niedrig = lc+ 1(m). OG2. (17), welches die Formel (16) ausdrückt, daß der quadrierte Radius der Drehung über jede mögliche Mittellinie (Rind) den quadrierten Radius der Drehung über eine parallele Mittellinie durch G durch das Quadrat des Abstandes zwischen den zwei Äxten übersteigt. Die Formel (17) liegt an J. L. See also:

LAGRANGE, JOSEPH LOUIS (1736-1813)

Lagrange; es kann I(m schriftlich. OP2) = 1(m. GP2)+OG2, (18) 1(m) (M) und drückt aus, daß das Mittelquadrat der Abstände der Partikel von 0 das Mittelquadrat der Abstände von G durch OG2 übersteigt.

Die Masse-Mitte ist dementsprechend dieser Punkt das Mittelquadrat von dessen Abständen von den einigen Partikeln wenig ist. Wenn in (18) uns 0 mit P2 übereinstimmen See also:

lassen Sie. . . P "nacheinander, erhalten wir O +m2. P1P22+... +mn. P, p"2 = $(m. GP2) +1(m). Gp, 2, m. P21'12+ O +... +mn.P2P"2=a.(m.GP2)+1(m).GP22, (19) m. PnP, 2-See also:

f-m2.

PnPz2+... + O = x(m. GP2) +1(m). GPn2. Wenn wir diese Gleichungen mit m multiplizieren, m2. . . m°, beziehungsweise und fügen, wir finden EE (mrm.. P, p.2) = I (M) hinzu. E(m. GP2), (20) stellte die Summierung E1 auf der linken See also:

Hand wird verstanden, um jedes Paar Partikel einmal nur zu umfassen zur Verfügung. Dieses, das Theorem, auch wegen Lagrange, ermöglicht uns, das Mittelquadrat der Abstände der Partikel von der Mitte der Masse in den Massen und den gegenseitigen Abständen ausgedrückt auszudrücken. Zum Beispiel in Betracht vier gleicher Partikel an den Gipfeln eines regelmäßigen Tetraeders, können wir schließen, daß der Radius R des Umgrenzenbereichs von See also:

R2(rt-s2)

R2=I a2 gegeben wird, wenn sein die Länge eines Randes. Eine andere See also:

Art quadratischer Moment wird durch die See also:

Abweichung-Momente oder die Produkte der Schwungkraft einer Verteilung der Angelegenheit geliefert. So wird die Summe M(m.yz) das "Produkt der Schwungkraft" in Bezug auf das Flächey=o, z=o genannt.

Dieses kann in dem Produkt der Schwungkraft ausgedrückt in Bezug auf parallele Flächen durch G mittels der Formel (14) ausgedrückt werden; Nämlich: ) = E(m., l')+Z(m). 3j-2 (21) (6) (es) (12) die quadratischen Momente in Bezug auf unterschiedliche Flächen durch einen Fixpunkt 0 hängen mit einem anderer wie folgt zusammen. Der Moment in Bezug auf die Fläche ist ax+µy+vz = O, (22), wo X, See also:

v Richtung-Kosinus sind, Etm(xx-1-, Y+vz)2}=E(mx2) X2+Fi(my2). µ2+2(mz2) v2 +È(myz). µv-FÈ(mzx). vX+21(mxy). Xµ, (23) und schwankt folglich als das Quadrat des Senkrechten, das von 0 zu einer Tangentefläche einer bestimmten quadratischen Oberfläche, die Tangentefläche in der Frage See also:

GEZEICHNET

gezeichnet wird, die zu parallel ist (22). Wenn die Koordinierungsäxte mit den Hauptäxten dieser Funktion zweiter See also:

ORDNUNG

Ordnung übereinstimmen, haben wir E(myz)=o, (mzx)=o, (mxy)=o; (24) und wenn wir See also:

schreiben (mx2)=Mat, I(my2)=Mb2, m(mz2) = Mc2, (25), wo M=1(m), der quadratische Moment M(a2X2+b2µ2.. c2v2 wird) oder Mp2, wo p der See also:

ABSTAND

Abstand des Ursprung von dieser Tangentefläche des Ellipsoids a2+b2+c2 = 1 ist, (26), dem parallel ist zu (22). Es erscheint von (24), das durch irgendeinen zugewiesenen Punkt 0 drei rechteckige Äxte gezeichnet werden können so, daß das Produkt der Schwungkraft in Bezug auf jedes Paar von Flächen verschwindet koordinieren; diese werden genannt die Hauptäxte der Schwungkraft bei O. The, das Ellipsoid (26) zuerst von J. Binet (1811) und können benannt werden "Ellipsoid Binets" für den Punkt O. Evidently der quadratische Moment für eine variable Fläche durch 0 einen stationären "Wert wenn hat eingesetzt wurde und nur wenn, die Fläche mit einer Hauptfläche von übereinstimmt (26).

Es kann See also:

WEITER

weiter gezeigt werden, daß, wenn Ellipsoid Binets auf irgendeinem System der verbundenen Durchmesser wie koordinieren Äxte bezieht, seine Gleichung x'2 y'2 z'2 a'2 b'2 c'2 _ I' k2- a2+k2 _ y2 z2 b2 ist - r k2- c2=1 und die Funktionen zweiter Ordnung, die unterschiedlichen Werten von k2 entsprechen, sind confocal. Wenn wir k2 = a2+b2+c2+0 schreiben, wird b24 e2 = a2, c2 +a2 = FN, a2+ b2 = y2 die Gleichung (31) a2+0 6'2y+B+72zz_0=1 ' für unterschiedliche See also:

WERTE (vom O.- noch Feldassetz, Umb.. Feldwert, "genug")

Werte von 0, das dieses ein System der Funktionen zweiter Ordnung darstellt, die mit dem Ellipsoid x2 y2 z2 ail+YR2+y2 = 1 confocal sind, das wir momentan als das "Ellipsoid der Drehung" bei G. Now betrachten die Tangentefläche See also:

W an irgendeinem Punkt P von einem confocal, die Tangentefläche W ' an einem angrenzenden Punkt N ' und eine Fläche W "durch P See also:

TREFFEN (von "zu treffen,", zusammen zu kommen, bauen Sie, 0 zusammen. Eng.-Metalle; cf. DU moeten, Swed.-mota, Goth., das, &c., Ableitungen des Teut.-Wortes für eine Sitzung gamotjan ist, gesehen in den Esprit O. Eng., strittig, ein Zusammenbau der Leu

treffen, das zu W ' parallel ist. Der Abstand zwischen den Flächen W ' und Co "ist vom zweiten See also:

Auftrag der kleinen Quantitäten, und die quadratischen Momente in Bezug auf W ' und Co" sind folglich, dem ersten Auftrag gleich. Seit den quadratischen Momenten in Bezug auf Co und Co ' seien Sie gleich, folgt sie, daß Co eine Fläche des stationären quadratischen Momentes an P ist, und folglich sind eine Hauptfläche der Schwungkraft an P. das heißt, die Hauptäxte der Schwungkraft an P die normals zu den drei confocals des Systems (33), die durch P. Moreover überschreiten, wenn x, y, z koordiniert von P ist, (33) ist eine Gleichung zum Finden der entsprechenden Werte von 0; und wenn BI, 02, 03 die Wurzeln ist, finden wir 91 +B2 +Oa = r2 - a2 _ 02 y2, (35) wo r2=x2+y2+z2. Die Quadrate der Radien der Drehung über die Hauptäxte an P können durch k22+k32, k32+ See also:

k,2, k, 2+ k22 bezeichnet werden; folglich durch (32) und (35) sind sie r20I, r2B2, r203, beziehungsweise. um die Relationen zwischen den Momenten der Schwungkraft über unterschiedliche Äxte durch irgendeinen zugewiesenen Punkt 0 zu finden, nehmen wir 0 als Ursprung. Seit dem Quadrat des Abstandes eines Punktes (x, y, z) von der Mittellinie, die x_Y = (36) x x2+y2+z2(Xx - } - py+vz)2, der Moment der Schwungkraft über diese Mittellinie ist, ist I = E[m{ (X2+µ2+v2) (x2+y2+z2) - (Xx+ µy+vz)21 ] = Aa2+Bµ2+Cv22Fµv-2Gv?2H]µ, vorausgesetzt A=f.{m(y2+z2) }, B=Z{m(z2+x2) }, C=z{m(x2+y2) }, F=E(myz), G=Z(mzx), H=Z(mxy); d.h. A, B, C sind die Momente der Schwungkraft über die Koordinierungsäxte, und F, G, H sind die Produkte der Schwungkraft in Bezug auf die Paare von koordinieren Flächen. Wenn wir das quadratische Ax2+By2+Cz22Fyz2Gzx-2Hxy=Met konstruieren, (39), wo a eine willkürliche lineare Größe ist, wird der See also:

Abschnitt r, den sie auf einem Radius bildet, der in die Richtung X gezeichnet wird, µ, v gefunden, indem man folglich x, y setzt, z=Ar, µr, vr., durch Vergleich mit (37), I = M e4/r2• (40), das der Moment der Schwungkraft über irgendeinen Radius des quadratischen (39) folglich sich umgekehrt als das Quadrat der Länge dieses Radius verändert. Wenn sie bezogen wird, behaut seine Direktion, die Gleichung der Funktion zweiter Ordnung annimmt die Gestalt Axe+By2+Cz2=Me.

(41) werden die Richtungen dieser Äxte durch die See also:

EIGENSCHAFT

Eigenschaft (24) festgestellt und übereinstimmen folglich mit denen der Hauptäxte der Schwungkraft bei 0, wie bereits definiert in See also:

ZUSAMMENHANG (vom Lat.-conjungere, zusammen verbinden)

Zusammenhang mit der Theorie der flachen quadratischen Momente. Das neue A, B, C werden die Hauptmomente der Schwungkraft bei O. benannt, Since sie im Wesentlichen Positiv sind, welches die Funktion zweiter Ordnung ein Ellipsoid ist; es wird das momental Ellipsoid bei O. genannt, Since, vorbei (12), B+C>A, &c., die Summe der zwei wenigen Hauptmomente den größten Hauptmoment übersteigen muß. Eine Beschränkung wird folglich den möglichen Formen des momental Ellipsoids auferlegt; z.B. im Fall von der Symmetrie über eine Mittellinie scheint es, daß das Verhältnis vom polaren zum äquatorialen Durchmesser des Ellipsoids nicht kleiner als i sein kann, 12. Wenn wir A=Ma2, B=M(32, C=My2 schreiben, behaut die Formel (37), wenn sie die Direktion bezogen wird, bei 0, wird I M (a2X2+xµ2+72v2 = Mpg, wenn p das Senkrechte bezeichnet, das von 0 in der Richtung gezeichnet wird (X, V) zu einer Tangentefläche des Ellipsoids x2 y2 z2 a2+132 +72 = (27), stellten zur Verfügung (mx'2)=Ma'2, Z(my'2)Mb'2, (mz'2)=Mc'2; auch daß E(my'z')=o, 2(mz'x')=o, (mx'y')=o. (28) lassen uns jetzt wie koordinieren Äxte die Hauptäxte der Schwungkraft in der Masse-Mitte G., If a, b, c nehmen die Halbäxte vom Ellipsoid des Binets von G ist, der quadratische Moment in Bezug auf die Fläche Xx + µy + sind vz = O M(a2X2 + b2µ2 + c2v2) und daß in Bezug auf eine parallele Fläche ax+µy+vz = p M(a2X2+b2µ2+c2v2+p2) sind, vorbei (15). Dieses See also:

WILLE oder TESTAMENT

Wille gegebener Wert Mkt, vorausgesetzt p2 = (k2 - a2)X2+ (k2 - b2)122+(k2 - c2)v2. Folglich See also:

schlagen die Flächen des konstanten quadratischen Momentes Mkt das quadratische (29) haben (30) (31) (32) (34) (37) (38) (42) (43) (33) dieses wird benannt das Ellipsoid der Drehung bei 0 ein; sie wurde in die Theorie von J. See also:

MACCULLAGH, JAMES (1809-1847)

MacCullagh eingeführt. Die Ellipsoide (41) und (43) sind wechselseitige polars in Bezug auf einen Bereich, der 0 als Mitte hat. Wenn A = B = C, das momental Ellipsoid a.-Bereich wird; alle Äxte durch 0 sind dann Hauptäxte, und der Moment der Schwungkraft ist derselbe für jedes. Das Masse-System wird dann gesagt, um kinetische Symmetrie über O zu besitzen. Wenn alle Massen in einer Fläche (z=o) liegen haben wir, in der See also:

DARSTELLUNG

Darstellung von (25), c2=o, und folglich ist A = Mb2, B=Ma2, C=M(a2+b2), damit die Gleichung des momental Ellipsoids der See also:

Form b2x2+a2 y2+(a2+b2) z2=e4• (44) den Abschnitt von diesem durch das flache z=o nimmt, x2 a2 +by2 2 = 1, (45), das genannt werden kann den momental See also:

ELLIPSE (angepaßt von Gr. EXkei ' tc, ein Mangel, iXXeirely, um nach zu fallen)

Ellipse bei O. It, besitzt die Eigenschaft ähnlich, daß der Radius der Drehung über jeden möglichen Durchmesser Hälfte Abstand zwischen den zwei Tangenten ist, die zu diesem Durchmesser parallel sind. Im Fall von einer konstanten dreieckigen Platte kann es gezeigt werden, daß der momental Ellipse an G konzentrisch aufgestellt ist, ähnlich und ähnlich zum Ellipse, welches die Seiten des Dreiecks an ihren mittleren Punkten berührt. Die graphischen Methoden der See also:

Bestimmung des Momentes der Schwungkraft eines flachen Systems der Partikel in Bezug auf jede mögliche See also:

LINIE

Linie in seiner Fläche können See also:

KURZ, HERMANN (1813 -- 1873)

kurz beachtet werden.

Sie erscheint von § 5 (fig. 31) das der lineare Moment jedes Partikels über die Linie mittels eines funikulären Polygons gefunden werden kann. Wenn wir die Masse jedes Partikels bis zum seinem Moment ersetzen, wie folglich gefunden, können wir den quadratischen Moment des Systems in Bezug auf die Linie auf ähnliche Art und Weise erhalten. Für, wenn die Linie in der Frage die Mittellinie von y ist, gibt der erste Prozeß uns die Werte von MX und der Sekunde der Wert von 2 (MX. x) oder E (mx2). Der See also:

Aufbau von einem zweiten funikulärem kann von durch der Beschäftigung eines Planimeter Abstand genommen werden, wie folgt. In fig. 59 ist p die Linie, in Bezug auf die Momente genommen werden sollen und die Massen der jeweiligen Partikel durch entsprechende Segmente einer Linie im Kraft-See also:

Diagramm, gezeichnetes paralleles zu P. das funikuläre ZABCD angezeigt werden. . das Entsprechen jedem möglichem Pfosten 0 wird für ein System der verantwortlichen Ähnlichkeit der Kräfte zu p durch die Positionen der Partikel und proportional zu den jeweiligen Massen konstruiert; und seine aufeinanderfolgenden Seiten werden produziert, um p in den Punkten H, K, L, M zu treffen,.. wie in § 5, P erklärt der Moment des ersten Gleichheitsticle auf einer CERTAINSKALA von HK dargestellt wird, den von der Sekunde durch KL und so weiter.

End of Article: Bcd

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