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S1S

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V11, Seite 699 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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Lin ien S1S beziehungsweise, die durch ein u überschreiten und beziehungsweise alit. Da A irgendein gegebener See also:

Punkt auf See also:der Kurve und UL jede mögliche See also:Linie durch es ist, haben wir die Probleme gelöst: Problem.To-See also:Entdeckung die zweite Problem.To-Entdeckung der zweite Punkt, in dem jede mögliche Linie durch eine Tangente, die See also:gezeichnet werden kann, bekannter Punkt auf der Kurve von irgendeinem Punkt in einer gegebenen Tangente die Kurve schneidet. See also:zur Kurve. Wenn wir in SI (fig. 16) den See also:Strahl feststellen, der dem Strahl S2SI in S2 entspricht, erhalten wir die Tangente an SI. ähnlich, können wir den Punkt See also:des Kontaktes des Tangente-ULS oder -u2 in fig. 17 feststellen. § 51. Wenn fünf Punkte gegeben werden, von denen nicht drei in einer Linie See also:sind, dann können wir, wie gerade gezeigt worden ist, immer eine Kurve des zweiten Auftrages durch sie zeichnen Sie; wir wählen zwei der See also:Punkte als See also:Mitten der projektiven Bleistifte vor, und dann wird eine solche Kurve festgestellt. Es wird momentan gezeigt, daß wir immer die gleiche Kurve erhalten, wenn zwei andere Punkte als Mitten der Bleistifte, daß folglich fünf Punkte eine Kurve des zweiten Auftrages feststellen, und gegenseitig genommen werden, denen fünf Tangenten eine Kurve der zweiten Kategorie feststellen. Sechs Punkte, die zufällig genommen werden, folglich liegen nicht auf einer Kurve des zweiten Auftrages. So See also:dass dieser der See also:Fall sein kann, den ein bestimmter See also:Zustand erfüllt werden muß, und dieser Zustand leicht ob- tained vom See also:Aufbau in § 49 ist, fig.

16. Wenn wir das konische entschlossene durch die fünf Punkte A, SI, S2, See also:

K, See also:L betrachten, dann ist der Punkt See also:D auf der Kurve wenn, See also:s, und nur wenn, die Punkte auf See also:DI, S, D2 in einer Linie sind. Dieses kann anders als angegeben werden, wenn wir AKSIDS2L (FIGS. 16 und 18) als Hexagon nehmen, das im konischen eingeschrieben wird, dann sind AK und DS2 gegenüber von Seiten, so sind KS' und S2L, sowie SID und LA. Das erste See also:Treffen zwei in D2, in den anderen in S und in den DI beziehungsweise. Wir können den angeforderten Zustand, zusammen mit dem wechselseitigen folglich angeben, wie folgt: Theorem.The-Umschlag der zweiten Kategorie, die durch zwei projektive Reihen erzeugt wird, enthält die Unterseiten dieser Reihen als Einschlagen der Linien oder der Tangenten. Proof.If s und s sind die zwei Reihen, dann zum Punkt SS oder P ', da ein Punkt in s in s ein Punkt P entspricht, der nicht mit P ' ist, denn zu den Reihen nicht sind See also:Perspektive zusammentreffend. Aber P und P ' werden durch s, damit s eine der Einschlagenlinien ist, und ähnlich s verbunden '. wir Theorem.If des PROJEKTIVEN ] See also:Pascal Theorem.If eines HexagonBrianchons, das sein, das in einer Kurve des Hexagons eingeschrieben wird, über zweiten See also:Auftrag, dann das intersec- eine Kurve der zweiten Kategorie, dann tions der gegenüberliegenden Seiten umgrenzt wird, sind drei die Linien, die gegenüber von Gipfelpunktla verbinden eine Linie drei Linien sind, die in einem Punkt treffen. Diese gefeierten Theoreme, die durch die Namen ihrer Entdecker bekannt, sind möglicherweise in der vollständigen Theorie von conics das fruchtbarste. Bevor wir darüber zu ihren Anwendungen hinausgehen, die wir zeigen müssen, daß wir die gleiche Kurve erreichen, wenn wir, anstelle von S1, S2 nehmen, irgendwelche zwei anderen Punkte auf der Kurve als Mitten der projektiven Bleistifte. §52.

Wir wissen, daß die Kurve nur nach der See also:

Korrespondenz zwischen den Bleistiften S1 und S2 abhängt, und nicht nach dem speziellen Aufbau, der für das See also:Finden der neuen Punkte auf der Kurve benutzt wird. Der Punkt A (fig. 16 oder 18), durch das die zwei zusätzlichen Reihen u1, u2 gezeichnet wurden, kann zu irgendeinem anderen Punkt auf der Kurve folglich geändert werden. See also:Lassen Sie uns jetzt die Kurve annehmen, die, gezeichnet wird und halten Sie die Punkte S1, S2, K, L und D, und folglich auch den reparierten Punkt S, während wir A entlang der Kurve verschieben. Dann beschreibt das LiniencAl einen See also:Bleistift über L als Mitte, und der Punkt D1 eine See also:Reihe auf S1D-Perspektive zum Bleistift L. gleichzeitig AK beschreibt einen Bleistift über K und D2 eine Reihenperspektive zu ihm auf S2D. Aber durch Pascals liegt Theorem D1 und D2 immer in einer Linie mit S, damit die Reihen, die durch D1 und D2 beschrieben werden, Perspektive sind. Es folgt, daß die Bleistifte K und L See also:Wille selbst projektiv sind und rays Sitzung auf der Kurve entsprechen. Dieses prüft, daß wir die gleiche Kurve erhalten, was Paar der fünf gegebenen Punkte wir als Mitten der projektiven Bleistifte nehmen. Folglich kann nur eine Kurve der Sekunde nur eine Kurve des zweiten Auftrages gezeichnet werden, der Kategorie kann gezeichnet werden führt, die durch fünf gegebene Punkte fünf gegebene Linien berührt. Wir haben gesehen, daß, wenn auf einer Kurve des zweiten Auftrages zwei Punkte an A übereinstimmen, die Linie, die sie verbindet, die Tangente bei A. wird, If, folglich, ein Punkt auf der Kurve und seiner Tangente gegeben werden, dieses sind See also:gleichwertig mit dem Geben von zwei Punkten auf der Kurve. Ähnlich wenn auf der Kurve der zweiten Kategorie eine Tangente und sein Punkt des Kontaktes gegeben werden, ist dieses mit zwei gegebenen Tangenten gleichwertig. Wir können das letzte Theorem folglich verlängern: Nur eine Kurve der Sekunde nur eine Kurve des zweiten Auftrages kann gezeichnet werden, von dem Kategorie gezeichnet werden kann, von der vier vier Punkte und die Tangente bei Tangenten eine und dem Punkt des Kontaktes von ihnen, oder drei Punkte und bei einem von ihnen, oder drei Tangentetangenten bei zwei von ihnen, sind und die Punkte des Kontaktes bei zwei gegeben. von ihnen werden gegeben.

§ 53• gleichzeitig ist es nachgewiesen worden: Wenn alle Punkte auf einer Kurve der aller Tangenten zu einer Kurve des zweiten zweiten Auftrages zu irgendeiner Kategorie werden geschnitten durch irgendwelche zwei von zwei von ihnen, dann die zwei Bleistifte sie in den projektiven Reihen, die verbunden werden, die folglich gebildet werden, sind projektiv, die, die entsprechende Punkte die die entsprechenden Strahlen sind, die auf der See also:

gleichen Tangente liegen. Hencemeet auf der Kurve. Folglich ist das See also:Kreuz-Verhältnis von vier Strahlen, die das Kreuz-Verhältnis der vier, die einen Punkt S auf einer Kurve der Punkte verbinden, in denen jede mögliche Tangente u zweiter Auftrag zu vier Fixpunkten ist, durch vier geregelte Tangenten a, b, See also:c, d A, B, C, D in der Kurve schnitt, ist innen unabhängig von der Position des Abhängigen der Position von S, u und wird benannt das Kreuz-Verhältnis von und wird benannt das Kreuz-Verhältnis der vier Tangenten a, b, c, d. vier Punkte A, B, C, D. Wenn dieses Kreuz-Verhältnis equals1, wenn dieses Kreuz-Verhältnis equals1 die vier Punkte die vier Tangenten sollen, vier harmonische Punkte vier harmonische Tangenten sollen. Wir haben gesehen, daß eine Kurve des zweiten Auftrages, wie durch projektive Bleistifte erzeugt, in der Mitte jeder Tangente des Bleistifts einer hat; und fördern Sie, dieser irgendein Punkt auf der Kurve kann als Mitte solchen Bleistifts genommen werden. Folglich hat a-Kurve des zweiten Auftrages an der a-Kurve der zweiten Kategorie hat auf jeder Tangente des Punktes einer jede Tangente ein Punkt des Kontaktes. § 54. Wir kommen zum Pascal und zu den Theoremen und zu ihren Anwendungen Brianchons zurück und sollen, wie vor, die See also:Resultate für Kurven des zweiten Auftrages und Kurven der zweiten Kategorie anzugeben, aber sie nur für das ehemalige zu prüfen. Theorem des Pascal kann verwendet werden, wenn fünf Punkte zur Entdeckung mehr Punkte auf der Kurve gegeben werden, nämlich ermöglicht sie uns, den Punkt zu finden, in dem irgendeine Linie durch einen der gegebenen Punkte die Kurve wieder schneidet. Es ist bequem, wenn man Theorem des Pascal gebraucht, um die Punkte zu numerieren, um den Auftrag anzuzeigen, in dem sie genommen werden sollen, wenn sie ein Hexagon bilden, das übrigens kann in den unterschiedlichen Weisen õ getan werden. Es wird daß 12 gesehen (aus 3) 4 See also:5, gegenüber von Seiten verlassend, sind so 2 sind 3 und (verlassend aus 4) 5 6 und auch 3 4 und (verlassend aus 5) 6 1. Wenn die Punkte 12 3 4 5 gegeben werden und wir einen 6.

Punkt auf einer Linie wünschen, die durch 1 gezeichnet wird, kennen wir alle Seiten des Hexagons mit Ausnahme von 5 6, und dieses wird durch Theorem Pascals gefunden. Wenn diese Linie Durchlauf durch See also:

r geschieht, dann stimmen 6 und 1 überein, oder die Linie 6 ist die Tangente an i. und immer, wenn zwei nachfolgende See also:Gipfel des Hexagons sich nahe und nahe nähern, dann wird die See also:Seite, die sie verbindet, schließlich eine Tangente. Wir können ein Pentagon folglich betrachten eingeschrieben in einer Kurve des zweiten Auftrages und der Tangente bei einem seiner Gipfel als Hexagon und erhalten folglich das Theorem: 697, die jedes Pentagon über eine Kurve der zweiten Kategorie hat die See also:Eigenschaft umgrenzte, die die Linien, die verbinden, zwei Paare der nicht-nachfolgenden Gipfel auf dieser Linie erfüllen, die den 5. Gipfel zum Punkt des Kontaktes der gegenüberliegenden Seite verbindet. Dieses ermöglicht uns auch, die folgenden Probleme zu lösen. Fünf Punkte auf einer Kurve von fünf Tangenten zu einem zu konstruierenden Auftrag der Kurve zweite gegeben gegeben von der zweiten Kategorie, um die Tangente an irgendeinem von ihnen zu konstruieren Punkt des Kontaktes von irgendeinem von ihnen. Wenn zwei Paare der angrenzenden Gipfel übereinstimmen, wird das Hexagon ein See also:Viereck, mit Tangenten bei zwei Gipfeln. Diese, die wir nehmen, um gegenüber von zu sein und erhalten die folgenden Theoreme: Wenn ein vierseitiges über eine Kurve der zweiten Kategorie, der Linien, die gegenüber von Gipfeln verbinden, und auch der Linien, die Punkte des Kontaktes der gegenüberliegenden Seiten verbinden umgrenzt wird, Treffen in einem Punkt. Wenn wir das Hexagon gebildet von einem See also:Dreieck und von den Tangenten an seinen Gipfeln betrachten, erhalten wir, wenn ein Dreieck in, wenn ein Dreieck umgrenzte Kurve des zweiten Auftrages ist, die ungefähr Kurve der zweiten Kategorie, Punkte inscribed ist, in denen den Seiten die Linien geschnitten werden, die die Gipfel durch die Tangenten an gegenüber den Punkten des Kontaktes der Gipfel treffen in einem Punkt gegenüber von Seiten treffen in einem Punkt verbinden (fig. 20). § 55. Von diesen Theoremen verursachen die über das Viereck eine Anzahl von anderen.

Phoenix-squares

Vier Punkte A, B, C, D können in drei unterschiedlichen Möglichkeiten in ein Viereck gebildet werden, denn wir können sie im Auftrag ABCD oder ACBD nehmen, oder See also:

ACDB, damit irgendein der Punkte B, C, D als der Gipfel gegenüber A. Accordingly genommen werden kann wir, kann das Theorem in drei unterschiedlichen Möglichkeiten anwenden. Lassen Sie A, B, C, ist D vier Punkte auf einer Kurve des zweiten Auftrages (fig. 21), und lassen Sie uns nehmen sie als Formung eines Vierecks, indem Sie die Punkte im Auftrag ABCD nehmen, damit A, C und auch B, D Paare der gegenüberliegenden Gipfel sind. Dann P, Q die Punkte in denen gegenüber von den Seiten treffen ist, jedes Pentagon eingeschrieben in einer Kurve des zweiten Auftrages hat die Eigenschaft, daß die Durchschnitte von zwei Paaren der nicht-nachfolgenden Seiten in einer Linie mit dem Punkt liegen, in dem die 5. Seite die Tangente See also:am gegenüberliegenden Gipfel schneidet. Wenn ein vierseitiges in einer Kurve des zweiten Auftrages, der Durchschnitte der gegenüberliegenden Seiten und auch der Durchschnitte der Tangenten an den gegenüberliegenden Gipfeln inscribed ist, Lüge in einer Linie (fig. 19). und See also:E, See also:F die Durchschnitte von Tangenten an den gegenüberliegenden Gipfeln. Die vier Punkte P, Q, E, f-Lüge folglich in einer Linie. Das Viereck ACBD gibt uns in der gleichen Weise die vier Punkte Q, R, See also:G, See also:H in einer Linie und das Viereck ABDC eine Linie, welche die vier Punkte R, P, I, Linienform K. These drei ein Dreieck PQR enthält.

Die Relation zwischen den Punkten und den Linien in dieser See also:

Abbildung kann er ausdrückte offenbar, wenn wir ABCD für einen Vierpunkt halten, der in einem konischem eingeschrieben wird, und die Tangenten an diesen Punkten als Vierseite, die über sie, nämlich umgrenzt wird. es wird gesehen, daß P, Q, R die diagonalen Punkte des Vierpunktes ABCD sind, während die Seiten des Dreiecks PQR die Diagonalen der umgrenzenden Vierseite sind. Folglich bildete sich das Theorem irgendein Vierpunkt auf einer Kurve des zweiten Auftrages und der Vierseite durch die Tangenten an diesen Punkten stehen in dieser Relation, daß die diagonalen Punkte des Vierpunktes in den Diagonalen der Vierseite liegen. Und andererseits, wenn ein Vierpunkt und eine umgrenzte Vierseite in der oben genannten Relation stehen, dann kann eine Kurve des zweiten Auftrages beschrieben werden, der durch die vier Punkte überschreitet und dort die vier Seiten dieser Abbildungen berührt. Daß das letzte See also:Teil des Theorems zutreffend ist, folgt von der Tatsache, daß die vier Punkte A, B, C, D und die Linie a, als Tangente an A, meine eine Kurve des zweiten Auftrages abhalten, und die Tangenten zu dieser Kurve an den anderen Punkten B, C, D werden durch den Aufbau gegeben, der zu fig. 21 führt. Das Theorem, das zum Letzten wechselseitig ist, ist jede mögliche Vierseite, die über eine Kurve der zweiten Kategorie und des Vierpunktes gebildet wird durch die Punkte des Kontaktstandplatzes in dieser Relation umgrenzt wird, die die Diagonalen des Vierseitendurchlaufs durch die diagonalen Punkte des Vierpunktes. Und andererseits, wenn eine Vierseite und ein inscribed Vierpunkt in der oben genannten Relation stehen, dann kann eine Kurve der zweiten Kategorie beschrieben werden, die die Seiten der Vierseite an den Punkten des Vierpunktes berührt. § 56. Der Vierpunkt und die Vierseite in den zwei wechselseitigen Theoremen sind gleich. Folglich, wenn wir einen Vierpunkt ABCD haben und eine Vierseite in See also:Verbindung stehendes in der Weise beschrieben abed, dann nicht nur mdy wird eine Kurve des zweiten Auftrages, aber auch eine Kurve der zweiten Kategorie, der beide die Linien a berühren, b, c, d an den Punkten A, B, C, D gezeichnet. Die Kurve des zweiten Auftrages ist bereits mehr, als durch die Punkte A, B, C und die Tangenten a, b, c an A, B und Punkt D C. The folglich sein festgestellt kann irgendein Punkt auf dieser Kurve; und d irgendeine Tangente zur Kurve. Andererseits ist die Kurve der zweiten Kategorie mehr als durch die drei Tangenten a, b, c und ihre Punkte festgestellt von Kontakt A, B, C, damit d jede mögliche Tangente zu dieser Kurve ist. Sie folgt, daß that jede Tangente zur Kurve des zweiten Auftrages eine Tangente von acurve der zweiten Kategorie ist, die den gleichen Punkt des Kontaktes hat.

Das heißt, ist die Kurve des zweiten Auftrages eine Kurve der zweiten Kategorie. und umgekehrt. Folglich ist die wichtigen Theoreme jede Kurve des zweiten Auftrages jede Kurve der zweiten Kategorie ist eine Kurve der zweiten Kategorie, Kurve des zweiten Auftrages. Die Kurven des zweiten Auftrages und der zweiten Kategorie, folglich seiend identisch, werden künftig durch den allgemeinen Namen von Conics benannt. Für diese Kurven halten Sie folglich alle Eigenschaften, die für Kurven des zweiten Auftrages oder der zweiten Kategorie nachgewiesen worden sind. Wir können Theorem des Pascal folglich jetzt folglich angeben des Pascal und Brianchons des Theorems -- wenn ein Hexagon in einem konischem inscribed ist, dann liegen die Durchschnitte der gegenüberliegenden Seiten in einer Linie. Theorem.If Brianchons, die ein Hexagon über ein konisches, dann die Diagonalen umgrenzt wird, die gegenüber von Mitten sich bilden, treffen in einem Punkt. § 57. Wenn wir in fig. 21 annehmen, daß der Punkt D zusammen mit der Tangente d entlang die Kurve bewegt, während A, B, C und ihre Tangenten a, b, c örtlich festgelegt bleiben, dann beschreibt der Strahl DA einen Bleistift ungefähr A, der Punkt Q eine projektive Reihe auf der örtlich festgelegten Linie BC, der Punkt F die Reihe b, und der Strahl EF, das ein Bleistift über E. But EF immer durch Q. Hence führt, der Bleistift, der von AD beschrieben wird, zum Bleistift projektiv ist, der von EF beschrieben wird, und folglich zur Reihe, die von F auf b. gleichzeitig beschreibt die beschrieben wird, Linie BD einen Bleistift über 13 projektiv das beschrieben von AD (§ 53). Folglich sind der Bleistift BD und die Reihe F auf b projektiv.

Folglich, wenn auf einem konischem ein Punkt A und die Tangente a an diesem Punkt genommen wird, dann ist das Kreuz-Verhältnis der vier Strahlen, die A zu See also:

allen möglichen vier Punkten auf der Kurve verbinden, dem Kreuz-Verhältnis der Punkte gleich, in denen die Tangenten an diesen Punkten die Tangente an A schneiden. § 58. Es gibt über Kegel des zweiten Auftrages und der zweiten Kategorie in einem Bleistift, die zum oben genannten wechselseitig sind, entsprechend § 43. Wir erwähnen nur einige von wichtigeren. Der See also:Ort der Durchschnitte des Entsprechens planiert in zwei projektive axiale Bleistifte deren Axttreffen ein See also:Kegel des zweiten Auftrages ist. Der Umschlag der Flächen, die entsprechende Linien in zwei projektiven flachen Bleistiften, nicht in der gleichen Fläche verbinden, ist ein Kegel der zweiten Kategorie. Kegel des zweiten Auftrages und Kegel der zweiten Kategorie sind identisch. Jede Fläche schneidet einen Kegel des zweiten Auftrages in einem konischem. Ein Kegel des zweiten Auftrages wird einzigartig durch fünf seiner Ränder oder durch fünf seiner Tangenteflächen festgestellt, oder durch vier Ränder und die Tangente planieren Sie bei einem von ihnen, &c.-&c. Theorem.If des Pascal, die ein fester See also:Winkel von sechs Gesichtern in einem Kegel des zweiten Auftrages, dann die Durchschnitte von den gegenüberliegenden Gesichtern inscribed ist, sind drei Linien in einer Fläche. Theorem.If Brianchons, die ein fester Winkel von sechs Rändern über einen Kegel des zweiten Auftrages, dann die Flächen durch gegenüberliegende Ränder umgrenzt wird, treffen in einer Linie. Jedes der anderen Theoreme über conics kann für Kegel des zweiten Auftrages angegeben werden.

§ 59. Projektive See also:

Definitionen des Conics.We betrachten jetzt die See also:Form des conics. Wir wissen daß jede mögliche Linie in konischen und folglich, deren Fläche die Linie an der Unbegrenztheit, irgendeine keinen Punkt im See also:Common mit der Kurve hat, oder einen (zählend für zwei zusammentreffende Punkte) oder zwei eindeutigen Punkten. Wenn die Linie an der Unbegrenztheit hat, ist kein Punkt auf der Kurve die letzte zusammen begrenzt und wird einen See also:Ellipse benannt (fig. 21). Wenn die Linie an der Unbegrenztheit nur einen Punkt im Common mit dem konischen hat, verlängert das letzte auf Unbegrenztheit und hat die Linie an der Unbegrenztheit eine Tangente. Es wird eine Parabel genannt (fig. 22). Wenn zuletzt die Linie an der Unbegrenztheit die Kurve in zwei Punkten schneidet, besteht sie aus zwei verschiedenen Teilen, die jede in zwei Niederlassungen auf die Punkte an der Unbegrenztheit verlängern, in der sie treffen. Die Kurve wird in diesem Fall eine See also:Hyperbel genannt (sehen Sie fig. 20). Die Tangenten an den zwei Punkten an der Unbegrenztheit sind begrenzt, weil die Linie an der Unbegrenztheit nicht eine Tangente ist.

Sie werden Asymptotes genannt. Die Niederlassungen der Hyperbel nähern sich diesen Linien unbestimmt, während ein Punkt auf den Kurven auf Unbegrenztheit bewegt. § õ. Daß der Kreis den Kurven des zweiten Auftrages gehört, ist gesehenes ' ' N P ein etwas unterschiedliche Form das Theorem, das in einem Kreis alle Winkel am Umkreis, der nach dem gleichen See also:

Bogen steht, gleich sind. Wenn zwei Punkte See also:Silikon, S2 auf einem Kreis zu irgendwelchen anderen zwei Punkten A und B auf dem Kreis verbunden werden, dann umfaßte der Winkel durch die Strahlen See also:S1A und S1B ist dem zwischen den Strahlen SÀ und S2B gleich, damit als a-Bewegungen entlang dem Umkreis die Strahlen S1A und SÀ Gleichgestelltes und folglich projektive Bleistifte beschreiben. Der Kreis kann durch zwei projektive Bleistifte folglich erzeugt werden und ist eine Kurve des zweiten Auftrages. Wenn wir einen Punkt im See also:Raum zu allen Punkten auf einem Kreis verbinden, erhalten wir (kreisförmigen) Kegel a des zweiten Auftrages (§ 43). Jeder flache See also:Abschnitt dieses Kegels ist ein konisches. Dieses konische ist ein Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel, insofern die Linie an der Unbegrenztheit in der Fläche Nr. hat, ein oder zwei Punkte im Common mit dem konischen in, welchem die Fläche an der Unbegrenztheit den Kegel schneidet. Es folgt, daß unsere Kurven des zweiten Auftrages als Abschnitte eines kreisförmigen Kegels erreicht werden können und daß sie mit den "konischen Abschnitten" der griechischen Mathematiker identisch sind. § 6r. alle mögliche zwei Tangenten zu einer Parabel werden durch alle andere in den projektiven Reihen geschnitten; aber die Linie an der Unbegrenztheit, die eine der Tangenten, die Punkte an der Unbegrenztheit auf den Reihen ist, sind entsprechende Punkte, und die ähnlichen Reihen folglich.

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