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BESTIMMEND

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V08, Seite 113 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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BESTIMMEND ER See also:

FAKTOR, in See also:der See also:Mathematik, eine Funktion, die in der Lösung eines Systems der einfachen Gleichungen sich darstellt. 1. In Betracht der Gleichungen ax+by+cz = See also:d, a'x +b'y +See also:c'See also:z = d ', a"x+b"y+c"z = d "und fortfahrend, sie durch die sogenannte Methode der Kreuzvermehrung zu lösen, multiplizieren wir die Gleichungen mit den vorgewählten Faktoren, derart daß nach dem Addieren der See also:Resultate der vollständige Koeffizient von y = See also:O wird und der vollständige Koeffizient von z = O wird; die Faktoren in der Frage See also:sind b'c'' - b c, b "c seien Sie, seien Sie - b'c. (See also:Werte, die, wie sofort gesehen, die gewünschte See also:Eigenschaft haben); wir erhalten folglich eine Gleichung, die auf der linken See also:Seite nur eine Mehrfachverbindungsstelle von x enthält, und auf der rechten Seite eine See also:konstante See also:Bezeichnung; der Koeffizient von x hat das Werta(b'c "- b"c ') +a'(b"c-be")+a"(bc'b'c) und diese Funktion, dargestellt in der See also:Form a, b, c ', b ', c ' a" c "' soll einen bestimmenden Faktor; oder, die Zahl den Elementen, die 32 sind, wird es einen bestimmenden Faktor See also:des dritten Auftrages genannt. Es soll, daß die resultierende Gleichung a, b, c x = d, b, c I ein ' b ', ist c ' I d ' b ' c ' a "beachtet werden, b" c "d", b ", c ", wo der Ausdruck auf der rechten Seite dergleichen See also:arbeiten mit d, d ', d "anstatt a ist, '," beziehungsweise und sind selbstverständlich auch ein bestimmender Faktor. Außerdem sind das Funktionsb'c"- b"c ', bc ' - b'c, das im Prozeß benutzt wird, selbst die bestimmenden Faktoren des zweiten Auftrages b ' c ' I, Bi, c-'' 1b c I. b ", c "b, c b ', c ' haben wir hierin den See also:Vorschlag der See also:Richtlinie für die Ableitung der bestimmenden Faktoren der Aufträge See also:r, 2, 3, 4, &c., jedes von das Vorangehen, nämlich haben wir 1:41 See also:L Al = a, = See also:alb'l - a'lbl. und so See also:weiter, die Bezeichnungen, die alle + für einen bestimmenden Faktor eines ungeraden Auftrages, aber wechselnd + und - für einen bestimmenden Faktor eines gleichmäßigen Auftrages sind. 2. Es ist, durch See also:Induktion See also:einfach, zu dem allgemeinen results:A-bestimmenden Faktor des Auftrages n zu kommen ist die Summe von die 1,2,3... n-Produkte, die mit n-Elementen aus den Nèlementen heraus gebildet werden können, die in Form eines Quadrats, Nr. zwei der n-Elemente geordnet werden, die in der See also:gleichen See also:Linie oder in der gleichen See also:Spalte sind, und jedes solche Produkt, welches die Koeffizienteinheit hat. Die Produkte in der Frage können erreicht werden, indem man in jeder möglichen Weise die Spalten (oder die Linien) des bestimmenden Faktors permutiert, und dann für die Faktoren die n-Elemente in der See also:dexter Diagonale nimmt. Und wir leiten darauf die Richtlinie für die Zeichen ab, nämlich in Betracht der ursprünglichen Anordnung für die positiven Spalten so, dann wird eine Anordnung, die daher durch einen einzelnen See also:Austausch erreicht wird (See also:Umstellung oder Derangement) von zwei Spalten als Negativ angesehen; und so im allgemeinen ist eine Anordnung positiv oder Negativ, insofern sie von der ursprünglichen Anordnung durch ein gleichmäßiges abgeleitet wird oder eine See also:ungerade Zahl des Austausches.

]This deutet das Theorem, daß eine gegebene Anordnung von der ursprünglichen Anordnung nur durch eine ungerade Zahl abgeleitet werden kann, oder sonst nur durch ein evennumber von interchanges, an -- ein Theorem deren Überprüfung vom Theorem (tatsächlich ein bestimmter See also:

Fall vom allgemeinen) leicht erreicht werden kann, eine Anordnung kann von sich nur durch eine gerade Zahl des Austausches abgeleitet werden. ], Und dieses so sein, jedes Produkt hat das Zeichen, der entsprechenden Anordnung für die Spalten zu gehören; insbesondere enthält ein bestimmender Faktor mit dem Zeichen + das Produkt der Elemente in seiner dexter Diagonale. Es soll, daß die Richtlinie da vieles Positiv als negative Vorbereitungen, gibt die Zahl beobachtet werden von jedem, das = z 1,2... n ist. Die Vorzeichenregel kann in einer anderen Form ausgedrückt werden. Die Nr. I geben den Spalten in der ursprünglichen Anordnung, 2, 3... n, das Zeichen erreichen, das irgendeiner anderen Anordnung gehört, die, wir nehmen, so häufig, wie eine niedrigere Zahl einem höheren folgt, das Zeichen - und, zusammen zusammensetzend alle diese Minuszeichen, beschaffen Sie das korrekte Zeichen, + oder - wie der Fall sein kann. So für drei Spalten, scheint es durch jede Richtlinie, daß 123, 231, 312 positiv sind; 213, 321, 132 sind negativ; und der entwickelte Ausdruck des vorangehenden bestimmenden Faktors des dritten Auftrages ist = ab'c"- ab"c ' +a'b"c - a'bc"a"bc' a"b'c. 3. Es scheint weiter, daß ein bestimmender Faktor ein lineares function1 der Elemente jeder Spalte davon ist, und auch eine lineare Funktion der Elemente jeder Linie davon; außerdem behält das der bestimmende Faktor den gleichen Wert, nur sein Zeichen, das geändert wird, wenn alle mögliche zwei Spalten ausgetauscht werden oder wenn irgendwelche zwei Linien ausgetauscht werden; im Allgemeinen, wenn die Spalten in jeder möglicher ' Weise permutiert werden oder wenn die Linien in irgendeiner Weise permutiert werden, behält der bestimmende Faktor seinen ursprünglichen Wert, mit dem Zeichen + oder - insofern die neue Anordnung (betrachtet, wie von der ursprünglichen Anordnung abgeleitet) positiv oder Negativ entsprechend der vorangehenden Vorzeichenregel ist. In er sofort folgt daß, wenn zwei Spalten identisch sind oder wenn zwei Linien identisch sind, der Wert des bestimmenden Faktors = o., das es addiert werden kann, daß, wenn die Linien Spalten und die Spalten in Linien umgewandelt werden, in solch einer Weise hinsichtlich des Urlaubs das dexter diagonale ist, unverändert, der Wert des bestimmenden Faktors ist unverändert; der bestimmende Faktor wird in diesem Fall gesagt umgestellt zu werden. 4. Durch was vorangeht, es scheint, daß eine Funktion der Nèlemente besteht, linear was die Bezeichnungen von betrifft jede Spalte (oder das Sagen, für shortness, linear hinsichtlich jeder Spalte), und so, daß nur das Zeichen geändert wird, wann alle mögliche zwei Spalten ausgetauscht werden; diese Eigenschaften stellen vollständig die Funktion, ausgenommen hinsichtlich einen allgemeinen Faktor fest, der alle Bezeichnungen multiplizieren kann.

Wenn, zu erhalten See also:

reinigen von dies willkürlich See also:allgemein Faktor, wir annehmen daß d Produkt von d See also:Element in d dexter Diagonale haben d Koeffizient + 1, wir haben ein See also:komplett See also:Definition von d Faktor, und es sein interessant zu zeigen wie von dies Eigenschaft, annehmen für d Definition von, d Faktor, es sofort erscheinen daß d Faktor sein ein Funktion Umhüllung für d Lösung von ein See also:System von linear Gleichung, beobachten daß d Eigenschaft zeigen sofort daß wenn irgendein Spalte sein = O (das heißt, wenn d Element in d Spalte sein jed = O), dann d Faktor sein = O; und fördern Sie, das, wenn irgendwelche zwei Spalten identisches aßen, dann ist der bestimmende Faktor = O. - See also:5., umschalten zum System der linearen Gleichungen, die See also:am Anfang dieses Artikels notiert werden, betrachten die bestimmende See also:Axt +by +cz - d b,c; a'x+b'y+c'z-d ', b ', c ' a"x+b"y+c"zd ", b ", c "es scheint, daß dieses = xla, b, c I+y b, b, I+ZLC, b, c, d, b ist, c I; r r ' ' r '. r r r r r ' a, b, c b, b, c c, b, c d, b, c, das "sind, b", c "b", b ", c "c", b ", c ", d ", b ", c "nämlich das zweite und benennt an dritter See also:Stelle jedes, das verschwindet, es ist a, b, c - d, b, c, das ', b ', c ' d ', b ', c ' a", b "See also:e" d "b" c "aber ist, wenn die lineares Gleichungen gut halten, dann das erste ' eine lineare Funktion, wird hier in seiner schmalsten Richtung, eine lineare Funktion ohne konstante Bezeichnung verwendet; was ist bedeutet wird, daß der bestimmende Faktor hinsichtlich der Elemente a ist, ', ", von jeder möglicher Spalte oder zeichnen Sie davon, eine Funktion der Form Aa+A'a'+A`a"d-.... ohne irgendeine Bezeichnung, die von a unabhängig ist, ', a -,b c = AB, c +aqbr, +a b,c,c "1b I,c, b", c"See also:J b c1 b ' a ", b "c., 11I,b,c,d = Alb ',c ',d ' - a'b" c ",d ", +a"b"r-c"r d"a/"b,c,d ein b'"",c",d "',d ' b ',b ',c, c'", b ' "c/" d '" b,c,d b ',c ',d ' b "cr/drr ein" b "c d" r "Br" im drr -, ursprünglicher bestimmender Faktor ist = O, und folglich ist der bestimmende Faktor selbst, der oben in eine Summe gebrochen ist von (33 =) 27 bestimmenden Faktoren, von denen jede ist, O; das heißt, geben die linearen Gleichungen irgendeine irgendeiner solcher Form wie t aiSy XA, b, c d, b, c = O; L ein ' b ' c ' d ' b, c ' a ', b "c ' d", b ', c ', das das Resultat erreichte oben ist. Wir konnten in einer ähnlichen Weisenentdeckung die Werte von y und z, aber es gibt einen symmetrischeren Prozeß. Verbinden Sie zu den ursprünglichen Gleichungen die neue Gleichung ax+/By + 7z = See also:S; a wie Prozeß zeigt, daß, die Gleichungen, die erfüllt sind, wir a, $, 7 haben, = 0; a, b, c, ', b ', c ', d ' a "b-'', c ', d" oder, als dieses kann geschrieben werden, a d, i4, y--ä, b, c = O: a, b, c, d-a', b', c ' a ', b ', c ', d ' a ", b ", c "a ', b" c ", d ', das, b für Stellung für seinen Wert ax+/y+yz hierin halten, eine Konsequenz der ursprünglichen Gleichungen nur ist: wir haben folglich einen Ausdruck für ax+lay+yz, eine willkürliche lineare Funktion der unbekannten Quantitäten x, y, z; und indem wir die Koeffizienten von a-,/3, y auf den zwei Seiten beziehungsweise vergleichen, haben wir die Werte von x, y, z; tatsächlich multiplizierten diese Quantitäten, jede mit a, b., c-a` b "c" a ", b ", c "sind im ersten Fall erhalten in den Formen a, b, c, d '. b ', c ', d ' a ", b"I c ", EL "aber diese sind b, c, d, IS, d, Al, ld a,b I, b ', c ', d ' c ', d ', ein ' d ' a ', b ' b ', c" d ' c ", d ", ein "d ' a", b ' oder, was die gleiche Sache ist, Ib, c, d lc, a, d, La, b, d b ', c ', d ' c ', ', d ', beziehungsweise. 6. See also:Vermehrung von zwei bestimmenden Faktoren des gleichen Order.The-Theorems wird sehr leicht von der letzten vorhergehenden Definition eines bestimmenden Faktors erreicht. Sie wird einfach folglich (a, ',"), (R, See also:Florida ', R"), (' Y, y', y") (a, b, c) "a, b, c-a", R, Y ausgedrückt, (', b ', das c')` L, das ', b ', c ' 1,1 ', Q ', Y ' (", b ', c '),,", b ", c ' a ", l3 ', Y ", wo der, ist Ausdruck auf der linken Seite steht für ein bestimmendes (a, ',") d.See also:h. aa+ba'+ Ca ", (a, b, c)(/3,/3 ',/3") d.h. a13+bs'+c/3 ", (a, b, c)('y, 'Y', 'y"), das ay+by'+cy ist "; und ähnlich sind die Bezeichnungen in den zweiten und dritten Linien die Lebenfunktionen mit (', b ', c ') und (", b ", c") beziehungsweise. Es gibt eine anscheinend willkürliche Umstellung Linien und Spalten; das Resultat würde gut, wenn auf der linken Seite, die wir geschrieben hatten (a, S, y), (',/3 ', y '), (", 13 ", y") halten oder was die gleiche Sache ist, wenn auf der rechten Seite wir den zweiten bestimmenden Faktor umgestellt hatten; und irgendein von diesen ändert wurde, es konnte Gedanke sein, erhöhen die Eleganz der Form, aber, aus einem See also:Grund, die nicht brauchen erklärt zu werden, ' die wirklich angenommene worden Form ist das vorzuziehende. um die Methode des Beweises anzuzeigen, beobachten Sie, daß der bestimmende Faktor auf der linken Seite, lineare Funktion des qua von seinen Spalten, I, das der Grund der Anschluß mit dem entsprechenden Theorem für die Vermehrung von zwei matrices.a, ist a, b, ein ' r sein kann ' i-a"r r b, b ", wo das ' ' Bezeichnungszus ' nicht eine Bezeichnung des a/By-determinant ist und seine coefficient(See also:as ein bestimmender Faktor mit zwei identischen columns)vanishes; oder sonst ist es von einer Form wie ta3'7 "ein,b,c ein ' b ' c ' a", b ", c "das heißt, jede Bezeichnung, die nicht enthält als Faktor das See also:ABC-bestimmende Letzte verschwindet, das notiert wird; die Summe aller weiteren Faktoren t a$'y "ist das a#7-determinant der See also:Formel; und das abschließende Resultat ist dann, das, das der bestimmende Faktor auf der linken Seite dem Produkt auf der rechten Seite der Formel gleich ist. 7. Aufspaltung von einen bestimmenden Faktor in ergänzendes Determinants.Consider, für Einfachheit, ein bestimmender Faktor des 5.

Auftrages, 5 = z+3 und ließ die oberen zwei Linien ist a, b, c, d, e ', b ', c ', d ', e ' dann, wenn wir, wie diese Elemente am bestimmenden Faktor teilnehmen, es werden sofort gesehen, daß sie nur durch die bestimmenden Faktoren des zweiten Auftrages I e ' hereinkommen, I, &c. betrachten, das gebildet werden kann, indem man alle mögliche zwei Spalten am Vergnügen vorwählt. Außerdem die restlichen drei Linien durch ein ' b "darstellend, c", d "e" a ", b "" c", d "", e" sie ist gesehen weiteres, daß der Faktor, der den bestimmenden Faktor multipliziert, der mit See also:

allen möglichen zwei Spalten des ersten Satzes gebildet wird, der bestimmende Faktor des dritten Auftrages ist, der mit den ergänzenden drei Spalten des zweiten Satzes gebildet wird; und es scheint folglich, daß der bestimmende Faktor des 5. Auftrages eine Summe aller Produkte des Form}a, b-c"ist, e", I ein ' b "c", d ", ", das c"d ", "" das Zeichen t, das in jedem Fall so ist, daß das Zeichen der Bezeichnung ab'.c"d"'e" erreicht von den diagonales Elementen der Teilbestimmenden Faktoren das tatsächliches Zeichen dieser Bezeichnung sein kann, im bestimmenden Faktor des 5. Auftrages; für das Produkt, das das Zeichen offensichtlich +. beobachten das für einen bestimmenden Faktor des n-th Auftrages notiert wird, die Aufspaltung ist zu nehmen, um zu sein I + (n I), fallen wir zurück nach den Gleichungen, die am Anfang gegeben werden, um die See also:Genese eines bestimmenden Faktors zu zeigen. 8. Irgendwie bestimmender Faktor ', b ', das ich aus den Elementen des ursprünglichen bestimmenden Faktors heraus mir bildete, durch das Vorwählen der Linien und Spalten am Vergnügen, wird einen Minderjährigen des ursprünglichen bestimmenden Faktors benannt; und wenn die Zeilenzahl und Spalten oder See also:Auftrag des bestimmenden Faktors, n I ist, dann solcher bestimmender Faktor wird einen ersten Minderjährigen benannt; die Zahl den ersten Minderjährigen ist = N2, die ersten Minderjährigen tatsächlich, entspricht den einigen Elementen des bestimmenden Faktors -- das heißt, der Koeffizient darin von jeder möglicher Bezeichnung, was auch immer das entsprechende erste Minderjährige ist. Die ersten Minderjährigen, jeder teilten sich durch den bestimmenden Faktor selbst, bilden ein System der Elemente, die zu den Elementen des bestimmenden Faktors umgekehrt sind. Ein bestimmender Faktor ist symmetrisch, wenn jede zwei Elemente, die symmetrisch hinsichtlich der dexter Diagonale aufgestellt werden, miteinander gleich sind; wenn sie gleich sind und Entgegengesetztes (das heißt, wenn die Summe der zwei Elemente = O) ist, ist diese Relation, die nicht auf die diagonalen Elemente selbst verlängern, die willkürlich bleiben, dann der bestimmende Faktor Schieflauf; aber, wenn die Relation auf die Diagonalbezeichnungen verlängert (das heißt, wenn diese jedes = O) sind-, dann, der bestimmende Faktor ist Schieflaufsymmetrisches; so sind die bestimmenden Faktoren a, h, See also:g a, See also:v,µ O, v,u h, b, See also:f V, h, X ", O, X g, f, c L X, c-µ, X, O beziehungsweise symmetrisches, Schieflauf- und Schieflaufsymmetrisches: in a, in b, in c, in d ', in b ', in c ', in d ' a ', d "ein ' b- ', c-' d ' a"r b", c"r, d ", welches die Theorie von den sehr umfangreichen algebraischen Entwicklungen und Anwendungen in algebraischem See also:Geometrie r a zuläßt, b, c, d und andere Teile Mathematik. Für weitere Entwicklungen der Theorie von bestimmenden Faktoren sehen Sie ALGEBRAISCHES FORMS. (A. Ca.) 9. History.These-Funktionen bekannt ursprünglich als "Endergebnisse," ein Name, der an ihnen von See also:Pierre See also:Simon See also:Laplace angewendet wurde, aber jetzt durch den See also:Titel "bestimmende Faktoren," ein Name ersetzt war, der zuerst an bestimmten Formen von ihnen durch See also:Gauss Carl See also:Friedrich angewendet wurde.

Die Mikrobe der Theorie von bestimmenden Faktoren soll in den See also:

Schreiben von Gottfried Wilhelm See also:Leibnitz (1693) gefunden werden, die übrigens bestimmte Eigenschaften aiscovered, als, das eliminant eines Systems der linearen Gleichungen verringernd. See also:Gabriel See also:Cramer, in einer See also:Anmerkung zu seinem analysieren DES-lignescourbesalgebriques (1750), gab die Richtlinie, die das Zeichen eines Produktes wie herstellt plus, oder minus, insofern die Zahl Versetzungen von der typischen Form gleichmäßig oder ungerade gewesen ist. Bestimmende Faktoren wurden auch von See also:Etienne Bezout 1764 eingesetzt, aber das zuerst verbundene See also:Konto dieser Funktionen wurde 1772 von See also:Charles Auguste Vander-monde veröffentlicht. Laplace entwickelte ein Theorem von Vandermonde für die Expansion eines bestimmenden Faktors und See also:Joseph 1773 See also:Louis See also:Lagrange, in seiner See also:Abhandlung auf Pyramiden, verwendete bestimmende Faktoren des dritten Auftrages und prüfte, daß das Quadrat eines bestimmenden Faktors auch ein bestimmender Faktor war. Obgleich er die Resultate erreichte, die jetzt mit bestimmenden Faktoren gekennzeichnet wurden, besprach Lagrange nicht diese Funktionen systematisch. In i8oi Gauss veröffentlichte seine arithmeticae auf Disquisitions, die, obgleich geschrieben in eine unverständliche Form, einen neuen See also:Antrieb zu den Untersuchungen dieses und kindred Themen gaben. Zum Gauss ist die See also:Einrichtung des wichtigen Theorems, das das Produkt von zwei bestimmenden Faktoren von dem zweiten See also:passend und dritte Aufträge ist ein bestimmender Faktor. Die Formulierung der allgemeinen Theorie liegt an Augustin Louis See also:Cauchy, dessen See also:Arbeit der Vorläufer der leuchtenden Entdeckungen war, die in den folgenden Dekaden Hoene-Wronski und J. Binet in See also:Frankreich, Carl Gustav See also:Jacobi See also:Deutschland und See also:James Joseph in von See also:Sylvester und in von See also:Arthur See also:Cayley in See also:England gebildet wurden. Jacobis erforscht wurden veröffentlicht im See also:Journal Crelles (1826-1841). In diesen Papieren wurde das Thema durch die neuen und wichtigen Theoreme umgestaltet und angereichert, durch die der Name von Jacobi unauflöslich mit dieser See also:Niederlassung der See also:Wissenschaft verbundenIST. Die weitreichenden Entdeckungen von and'Cayleyrank Sylvester als einer der wichtigsten Entwicklungen der reinen Mathematik.

Zahlreiche neue See also:

Felder wurden erschlossen und sind mit Sorgfalt von vielen Mathematikern erforscht worden. Skew-bestimmende Faktoren wurden von Cayley studiert; Axisymmetricbestimmende Faktoren durch Jacobi, V. A. Lebesque, Sylvester und O. See also:Hesse und centro-symmetrische bestimmende Faktoren durch See also:W. R. F. See also:Scott und G. Zehfuss. Continuants sind von Sylvester besprochen worden; alternants durch Cauchy, Jacobi, N. Trudi, H. Nagelbach und G.

Garbieri; circulants durch E. Catalan, W. See also:

Spottiswoode und J. W. L. See also:Glaisher und Wronskians durch E. B..Christoffel und G. Frobenius. Die bestimmenden Faktoren, die aus binomialen Koeffizienten bestehen, sind von V. von Zeipel studiert worden; den Ausdruck der definitiven Integrale als bestimmende Faktoren durch A. See also:Tissot und A. Enneper und den Ausdruck von anhaltenden Brüchen als bestimmenden Faktoren durch Jacobi, V. Nachreiner, S.

See also:

Gunther und E. Fiirstenau. (sehen Sie T.

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