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ÉLASTICITÉ
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ÉLASTICIT . C'est peut-être l'See also:endroit See also:le plus approprié pour quelques remarques sur la théorie de "dimensions." (voir également See also:les UNITÉS, DIMENSIONS ou.) Dans n'importe quel système See also:absolu de la See also:mesure See also:dynamique les unités fondamentales sont ceux de la masse, de la longueur et du See also: La théorie de dimensions nous permet souvent de prévoir, dans une certaine mesure, la façon dans laquelle les grandeurs impliquées dans n'importe quel problème See also:particulier entreront dans le résultat. Ainsi, supposant que la période d'une petite See also:oscillation d'un pendule donné à un endroit donné,is par quantité définie, nous voyons qu'elle doit changer comme SL (l/g). Pour elle peut seulement dépendre de la masse m du plomb, de la longueur 1 de la See also:corde, et de la valeur de g à l'endroit en question; et l'expression ci-dessus est la seule See also:combinaison de ces symboles dont les dimensions sont ceux d'un moment, simplement. Encore, la période de tomber d'une distance a dans un centre indiqué de la force changeant inversement comme See also:place de la distance dépendra seulement de a et du µ constant de l'équation (15). Les dimensions d'A/x2 sont ceux d'une accélération; par conséquent les dimensions de g sont L2t-2. Assuming que le temps en question change pendant que l'asµv, dont les dimensions sont L2+3vT_2y, nous doit avoir x+Ý=o, -2y=1, de sorte que la période de tomber change comme ai/AI, 2, en See also:accord avec (19). L'See also:argument apparaît sous une See also:forme plus démonstrative dans la théorie de systèmes "semblables", ou (plus avec précision) du See also:mouvement semblable des systèmes semblables. Ainsi, vu le xtz = le zz 'dt'2 - x,2 'des équations d2x qui se rapportent à deux particules tombant indépendamment dans deux centres distincts de force, il est évident qu'il soit possible d'avoir x dans un rapport constant à x ', et étame un rapport constant à t ', à condition que x X l''T2 't2x2. x2, et qu'il y a une See also:correspondance appropriée entre les conditions initiales. La relation (44) est équivalente à Al u 2'de x x'3 où x, x'sont deux distances correspondantes quelconques; par exemple elles peuvent être les distances initiales, les deux particules étant censées commencer à partir du See also:repos. La considération des dimensions a été présentée par J. B. See also:Fourier (1822) en liaison avec la See also:conduction de la chaleur. § 13. Le mouvement général d'un Particle.Let P, Q soit les positions d'un point See also:mobile parfois t, t+See also:St respectivement. Un parallèle dessiné par OU de vecteur à PQ, de longueur proportionnel à PQ/St sur n'importe quelle échelle commode, représentera la vitesse See also:moyenne dans l'See also:intervalle il, c.-à-d. un point se déplaçant avec une vitesse See also:constante faisant indiquer la grandeur et la direction par ce vecteur expérience de 4 u le même déplacement résultant PQ dans le même temps. Car la See also:rue est indéfiniment diminuée, le vecteur OU tendra à une limite définie OV; ceci est adopté comme la définition a fourni (43) de la vitesse du point mobile au, t. instantané évidemment OV est parallèle à la tangente au See also:chemin à P, et sa grandeur est ds/dt, où s est l'See also:arc. Si nous projet l'cOv sur la coordination diminue (rectangulaire ou oblique) de la façon habituelle, les projections u, v, W s'appellent les vitesses composantes parallèles aux haches. Si x, y, z soit coordonne de P on le See also:montre facilement que que l'u=at de dz de dx, °=dt'w=at 'l'élan d'une particule est le vecteur obtenu en multipliant la vitesse par la masse dedans. L'See also:impulsion d'une force dans n'importe quel intervalle infiniment See also:petit de rue de temps est le produit de la force dans à; elle doit être considérée comme vecteur. Toute l'impulsion dans n'importe quel intervalle fini de temps est l'intégrale des impulsions correspondant à la rue infinitesimal d'éléments en laquelle l'intervalle peut être subdivisé; l'addition dont l'intégrale est la limite doit naturellement être comprise dans le See also:sens vectorial. La See also:loi de See also:newton deuxièmes affirme que le changement de l'élan est égal à l'impulsion; c'est un rapport quant à l'égalité des vecteurs et ainsi implique l'identité de la direction aussi bien que de la grandeur. Si X, Y, Z sont les composants de la force, alors vu les changements d'une rue infiniment courte de temps nous avons, par la See also:projection sur les haches, le b(mu) = le XSt de coordination, et ainsi de See also:suite, ou décollement mdw=Z. (2) de décollement may=Y de décollement du mau=X le 'par exemple, le chemin d'une particule projetée de toute façon See also:sous la pesanteur sera évidemment confiné au See also:plan See also:vertical par la direction initiale du mouvement. Prenant ceci en tant que xy See also:plat, avec l'See also:axe de x dessiné horizontalement, et See also:cela de y verticalement vers le haut, nous avons X = o, Y = - magnésium; de sorte que le d'x ait mangé = o, dt2 = - le g• la See also:solution est x=At+B, y = - I, gt2+Ct+D. (4) si les valeurs initiales de x, y, z, y sont indiquées, nous avons quatre conditions pour déterminer les quatre constantes arbitraires A, B, C, D. Thus si le début de particules au t=o de temps de l'origine, avec les vitesses composantes nous, contre, nous ont le x=uot, y=vat-'lgt2. Éliminant t nous avons l'équation du chemin, à savoir contre g. y=uox-ù2 ceci est une parabole avec l'axe vertical, du latus-rectum zuo2/g. La See also:gamme sur un plan See also:horizontal par 0 est obtenue en mettant le y=o, à savoir c'est ùovo/g. Si nous dénotons la vitesse résultante à n'importe quel h instantané y s nous avons $2 x2+3,2 = (7) du sot 2gy. qu'un autre exemple important est sujet celui d'une particule à une accélération qui est dirigée toujours vers un point fixe 0 et est proportionnelle à la distance de O. The le mouvement sera évidemment dans un See also:avion, que nous prenons comme z=o plat. See also:Ifµ soit l'accélération à la distance d'unité, les accélérations composantes parallèles aux haches de x et y par 0 car l'origine sera µx, - Ay, d'où le dzx d2 dt2 = -µx, décollement = -µy. (8) la solution est NT de péché de See also:cos nl+B de x=A, NT de péché de cos nt+D de y=C, (9) où n = Jµ. Si P soit la position initiale de la particule, nous pouvons commodément prendre See also:OP comme axe de x, et dessinons Oy parallèle à la direction du mouvement chez P. I'OP=a, et soyons ainsi la vitesse à P, nous avons, au commencement, le x=a, y=o, x=o, jy=so; d'où NT de cos de x=a, NT de péché de y=b, (à) si b. = so/n. Le chemin est donc une See also:ellipse dont a, b sont les semi-diameters conjugués, et est décrit dans la période 24dµ; d'ailleurs, la vitesse à un point quelconque P est égale à,/• OD de µ, où l'cOd est le conjugé de semi-diameter à OP, ce See also:type de mouvement s'appelle l'See also:harmonique elliptique. Si les haches de coordination sont les See also:principales haches de l'ellipse, le NT d'See also:angle dedans (ainsi) est identicalwith "l'angle excentric." Le mouvement du plomb "d'un pendule sphérique," e. de I un pendule See also:simple dont les oscillations ne sont pas confinées à un plan vertical, est de ce caractère, si la inclination extrême de la corde au vertical soit petite. L'accélération est vers la verticale par le point de See also:suspension, et est égale à gr/l, approximativement, si r dénotent la distance de See also:cette verticale. Par conséquent le chemin est approximativement, une ellipse, et la période est 27r, /(l/g). Le problème ci-dessus est identique à celui de l'oscillation d'une particule dans une cuvette sphérique See also:lisse, à proximité du plus See also:bas point, si la cuvette a n'importe quelle autre forme, le See also:boeuf de haches, Oy peut être pris tangentiel aux See also:lignes [ de la See also:courbure au plus bas point 0; les équations du petit mouvement de A sont alors le d"x X d2y o ont mangé = - généraliste, = (lt2 = - g, où p, p2, sont les principaux rayons de courbure chez O. The que le mouvement est donc la résultante de deux vibrations simples dans des directions perpendiculaires, des périodes 2,r Í (pug), 21r SL (p2/g). Les circonstances sont réalisées dans le pendule du P de See also:Blackburn, "qui se compose de fig. 65, du See also:poids P pendant d'un point C d'une corde ACB dont les extrémités A, B soyez fixe. Si E soit le point dans lequel la See also:ligne de la corde rencontre le See also:ab, nous avons See also:pl=CP, p2 = PE que beaucoup d'adaptations pour dessiner réellement les courbes résultantes ont été conçus. Il est parfois commode de résoudre les accélérations dans les directions ayant une relation plus intrinsèque au chemin. Ainsi, dans un chemin plat, laissez P,q être deux positions consécutives, correspondant au C fois t, t + rue; et laissez les normals à P, See also:rassemblement de Q en C, en faisant un angle et '. laissez v (= s) soit la vitesse à P, v+Sv que chez Q. In la rue de temps la vitesse parallèle à la tangente au ~P P change de v à v+Sv, l'ulti- YIG.66. mately, et le tion tangentiel d'accelera- à P est donc dv/dt ou N. Again, la vitesse parallèle à la normale à P change d'o à vSl/i, finalement, de sorte que l'accélération normale soit vdil, ldt. Depuis le dî ds v2 DL - dt=v de ds -, cuve = Td DTP, (12) où p est le See also:rayon de courbure du chemin à P, les accélérations tangentielles et normales de d¢ de dv de ds de dv de dv sont également exprimés par v dv/ds et v2/p, respectivement. Prenez, par exemple, le See also:cas d'une particule se déplaçant sur une courbe lisse dans un plan vertical, sous l'See also:action de la pesanteur et la See also:pression R de la courbe. Si les haches de x et de y soient horizontales et verticales dessinés (ascendant), et si ¢ soit la inclination de la tangente à l'horizontal, nous avons 2 mvas = - péché de magnésium ¢ = - les mgrs, pv = - magnésium cos ¢+R. (13) que l'ancienne équation donne v2 = C - 2gy, et le dernier détermine alors R. Dans le cas du pendule la tension de la corde remplace la pression de la courbe. Si l soit la longueur de la corde, 4'sa inclination à la verticale de haut en bas, nous avons Ss=104 ', de sorte que v=ldt/, /dt. La résolution tangentielle donne alors des ldis de z = - le péché 4'de g. Si nous nous multiplions par 24/dt et intégrons, nous obtenons (&See also:amp;P) T cos ¢+const., (16) le &P/l au lequel est vu pour être équivalent (14). Si le pendule oscillent entre les limites 4'= = a, nous avons 2=M22Zpp (cos 4'cos a) = (See also:chantez l'ilk lasing); (17) et, mettant l'a¢ = le péché 42 de péché du péché à., nous trouvent pour la période (t) d'une oscillation complète T = irdu•ay = I l f2l 4f d4, • Jo (1sine Za.sin24 de 4 g ') = 4'~ l • See also: M. See also:Legendre pour des valeurs de T3 s'étendant de 0° à 90°. La table suivante donne la période, pour différentes amplitudes a, en termes de celle de l'oscillation dans un arc infiniment petit [ à savoir 2 * '/(l/g ] comme unité. s = est le péché 4', (22) l'équation (21) assumerait la même forme que le § 12 (5). Le mouvement le See also:long de l'arc serait alors exactement simple-harmonique, et la période 2rJ (k/g) serait la même pour toutes les amplitudes. Maintenant l'équation (22) est l'équation intrinsèque d'une cycloïde; à savoir, la courbe est cela tracée par un point sur la circonférence d'un See also:cercle du rayon '-,k qui roule du côté de dessous d'une ligne droite horizontale. Puisque l'evolute d'une cycloïde est une cycloïde égale l'See also:objet 'est atteint au See also:moyen de 'deux joues en métal, ayant la forme de l'evolute près du See also:cusp, sur lequel la corde s'enveloppe alternativement pendant que le pendule See also:balance. Le See also:dispositif a été See also:longtemps abandonné, la difficulté étant réunie d'autres manières, mais le problème, à l'origine étudié par C. See also:Huygens, est important dans l'See also:histoire des mathématiques. Les accélérations composantes d'un point décrivant une courbe tortuous, dans les directions de la tangente, la normale principale, et le binormal, respectivement, sont trouvées comme suit. Si OV, OV 'soit des vecteurs représentant les vitesses à deux See also:points consécutifs P, P 'du chemin, l'avion VOV 'est finalement parallèle au plan osculating du chemin à P; l'accélération résultante est donc dans l'avion osculating. En outre, les projections de VV'sur l'cOv et sur une perpendiculaire à l'cOv dans l'avion VOV 'sont Sv et vbe, où le Se est l'angle entre les directions des tangentes à P,p '. Depuis le Se = les Ss/p, où les solides solubles = le PP'=vat et le p est le rayon de courbure principale à P, les accélérations composantes le long de la tangente et normale principale sont dv/dt et vde/dt, respectivement, ou vdv/ds et v2/p. Par exemple, si une particule se déplace sur une See also:surface See also:douce, sous aucunes forces excepté la réaction de la surface, v est constant, et la normale principale au chemin coïncidera avec la normale sur la surface. Par conséquent le chemin est un "géodésique" sur la surface. Si nous résolvons le long de la tangente au chemin (si avion ou tortuous), l'équation du mouvement d'une particule peut, être écrit See also:mes solides totaux = C, (23) où 'C est le composant tangentiel de la force. Intégration en ce qui concerne s nous trouvons le jmvlz I.mve = f ainsi Cds; (24)pp ', nous avons SV = - SSs ou S = - ay. (27) en particulier, en prenant pp 'parallèles à chacun de (rectangulaire) coordonnez les haches en See also:succession, nous trouvent la X-See also:hache 'Yay ZOz 'l'équation (24) ou (26) donne maintenant 1mv12 +Vi = smvoz+See also:Vo; (29) c.-à-d. la See also:somme des énergies cinétiques et potentielles est constante quand aucun travail n'est effectué par les forces étrangères. Par exemple, si le See also: Actuellement nous prenons seulement le cas où le boeuf rectangulaire de haches, Oy tournent dans leur propre avion, avec la vitesse angulaire W au sujet de l'See also:once, qui est fixe. Dans l'intervalle aux projections de la ligne joignant l'origine à tout point (x, y, z) sur les directions des haches de coordination au temps t sont changés de x, y, See also:manteau de péché du manteau de z (x+Sx) cos (y+See also:Sy), le manteau du péché (x+Sx) wat+ (y+ay) cos, z respectivement. Par conséquent les vitesses composantes parallèles aux positions instantanées des haches de coordination au temps t sont u=xwy, v=Y+wz, w-=-i. (32) de la même manière nous constatons que les accélérations composantes sont l'itam, v+wu, See also:ea. (33) par conséquent si W soit constant les équations de la prise de mouvement les formes m(z2wy-wet)=X, m(y+èc wzy)=Y, mz=Z. (34) ceux-ci deviennent identiques aux équations du mouvement à haches fixes que relatives nous ont fournis présentent une force factice mw2r agissant à l'extérieur de l'axe de z, où le r=J (x2+y2), et une deuxième force factice 2mwv perpendiculairement au chemin, où v est le composant de la vitesse relative parallèle à l'avion xy. L'ancienne force s'appelle par des auteurs de French l'See also:ordinaire de centrifugeuse de force, et le dernier le composee de centrifugeuse de force, ou force de Coriolis. Pendant qu'une application (34) de nous peut prendre la caisse du pendule d'un Blackburn symétrique pendant d'une See also:barre horizontale qui est faite pour tourner de x See also:mettez en boîte la valeur également soit obtenu en tant qu'une série infinie en augmentant la fonction à intégrer dans (18) par le théorème See also:binomial, et limite d'intégration par limite. Aérez ainsi 7 le g• I+ìsin2za+2ì42sinâs+ de Ni du 5 1,1804 I.o Co 1z Iz z r=2r du 9 •4 1,1087 2,0724 du 8 1,6551 du 3 1,0585 du 7 •6 1,2817 •2 1,0253 1,4283 du •I 1,0062 d'See also:air... #. (19) si un être petit, une approximation (habituellement suffisamment) est r=2rJ (l/g). (I + 'zaz). Dans le cas extrême de a = r, l'équation (17) est immédiatement intégrable; ainsi le temps de la position la minima est t = J (l/g). notation tan (!r + 10. (20) ceci devient See also:infini pour 0 = r, prouvant que le pendule tend seulement asymptotiquement dans la position la plus élevée. La variation de la période avec l'See also:amplitude était en même temps un See also:obstacle à l'exécution précise des horloges de pendule, puisque les erreurs produites sont cumulatives. Elle a été donc cherchée pour remplacer le pendule circulaire par une autre See also:adaptation librement de ce défaut. L'équation du mouvement d'une particule dans n'importe quel chemin lisse est des dzs a mangé = - le péché de g IA (21) où 'est la inclination de la tangente à l'horizontal. Si le péché > le G étaient exactement et pas simplement approximativement proportionnels à l'arc s, la parole NS, 'aileron. 67. i c.-à-d. l'See also:augmentation de l'énergie cinétique entre deux positions quelconques est égal au travail effectué par les forces. Le résultat suit également des équations cartésiennes (2); à savoir. nous avons m(3z+yy+22)=Xx+Y51+Z2, (25) d'où, sur l'intégration en ce qui concerne t, 2m(xz-I-yz+iz) = f (Xz+Yj'+Zi)dt+const. (26) = f (Xdx+Ydy+Zdz)+const. si les haches soient rectangulaires, ceci a la même interprétation que (24). Supposez maintenant que nous avons un champ de la force constant; c.-à-d. la force agissant sur la particule est toujours identique au même endroit. Le travail qui doit être effectué par des forces étrangères au champ afin d'apporter la particule du repos en une certaine position See also:standard A au repos dans n'importe quelle autre position P ne sera pas nécessairement le même pour tous les chemins entre A et P. I'il est différent pour différents chemins, alors en apportant la particule de A à P par un chemin, et encore de P arrière à A par des autres, nous pourrions fixer un gain de travail, et le See also:processus pourrait être répété indéfiniment. Si le travail exigé est le même pour tous les chemins entre A et P, et met donc pour un See also:circuit fermé, le champ serait See also:conservateur. Dans ce cas-ci le travail exigé pour apporter la particule du repos à A au repos à P s'appelle l'énergie potentielle de la particule en position P; nous le dénotons par V. If PP 'soit un élément linéaire ou dessiné en toute direction à partir de P, et S soit la force due au champ, résolu dans la direction (28) autour d'un axe vertical à mi-chemin entre les points d'See also:attachement de la corde supérieure. Les équations du petit mouvement sont alors du type (35) z2wyw2x = p2x, Y +2wxw2Y = q2y. Ceci est satisfait par (36) z=A cos (at+s), le péché de y=B (ot+e), si (37) (az } wzp2)A+2vwB=o, àwA+ (02 -}-See also:w2 g2) B = o. Éliminant le rapport A:b nous avons (38) (02+w2 - p2) (02+w2 q2) -402w2 = o. On le montre facilement que les racines de cette équation quadratique dans Q2 sont toujours vraies, et qu'elles sont d'ailleurs deux positif à moins que w2 se trouve entre p2 et q2. Le rapport B/a est déterminé dans chaque cas par l'une ou l'autre des équations (37); par conséquent chaque See also: Forces Centrales. Le mouvement de See also:Hodograph.The d'une particule sujet à une force qui See also:passe toujours par un point fixe 0 est nécessairement dans une orbite See also:plate. Pour sa See also:recherche nous avons besoin de deux équations; celles-ci peuvent être obtenues en variété de formes. Puisque l'impulsion de la force dans n'importe quel élément de rue de temps a le moment zéro environ 0, la même sera vraie de l'élan additionnel produit. Par conséquent le moment de l'élan (considéré comme vecteur localisé) environ 0 sera constant. Dans les symboles, si v soit la vitesse et le p la perpendiculaire de 0 à la tangente au chemin, pv=h, (1) où h est une constante. Si les solides solubles soient un élément du chemin, l'cOs est deux fois le See also:secteur inclus par Ss et les rayons dessinés à ses extrémités de O. Hence si SA soit ce secteur, nous avons SA=2 See also:OS = le hilt 4, ou par conséquent des secteurs égaux sont balayés plus de par le vecteur de rayon dans des périodes égales. Si P soit l'accélération vers 0, nous avons des vds du dv DR = - des PDS puisque dr/ds est le cosinus de l'angle entre les directions de r et les solides solubles. Nous supposerons que P est une fonction de r seulement; alors intégrant (3) nous trouvons v2 = - fPdr+const., (4) qui est identifié comme équation d'énergie. Combinant ceci avec (1) nous avons le -=C -2 JPdr du pz h2, (5) qui détermine complètement le chemin excepté quant à son See also:orientation en ce qui concerne O. Si la loi de l'attraction soit celle de la place See also:inverse de la distance, nous avons P = 12/See also:r2, et p~ de z = C+2t. Maintenant dans un conique dont le See also:foyer est à 0 nous avons 1 2 I P=r- a - 'où 1 est moitié du latus-rectum, a est moitié de l'axe See also: I'en cela nous mettait r=1/u, et élimine t au moyen de (15), nous obtiennent l'équation générale des orbites centrales, à savoir. z• de HP du dù do2 +It (17) si, par exemple, la loi soit celle de la place inverse, nous avons P=µu2, et la solution est de la forme u=h2{1+ecos(oa) }, (18) où e, a sont des constantes arbitraires. Ceci est identifié comme l'équation polaire d'un conique s'est rapportée au foyer, See also:demi de latus-rectum étant h2/z. le décollement 2 de dA (2) (6) (7) (9) (à) (3) la direction de 0 augmentant), le centre de la force comme poteau va-$w a laissé P, Q soit les positions d'un point mobile parfois t, t + rue, et écrit OP=r, OQ=r+Sr, LPOQ=so, 0 étant n'importe quelle origine fixe. Si u, v soit les vitesses composantes à P le long et perpendiculaire à OP (dans nous avons u = décollement de rue de lim 'v = lim. r AINSI = transformateur rotatif. (13) (16) est alors n'importe quelle autre loi de la force, donnant une vitesse finie de l'infini, sous lequel toutes les orbites finies sont nécessairement les courbes fermées. Si c'est le cas, l'angle absidal doit évidemment être commensurable avec r, et puisqu'il ne peut pas changer de manière discontinue l'angle absidal dans une orbite presque circulaire doit être constant. Égalisant l'expression (30) à r/m, nous constatons que f(a)=C/a ', où n=3m2. La force doit donc changer comme puissance de la distance, et n doit être moins de 3. D'ailleurs, le cas n=2 est le See also:seul dans lequel l'orbite See also:critique (27) peut être considérée comme la forme limiteuse d'une courbe fermée. Par conséquent la seule loi de la force qui satisfait les conditions est celle de la place inverse. Au début du § 13 la vitesse d'un point mobile P a été représentée par un vecteur OV tiré d'une origine fixe O. The que le lieu du point V s'appelle le hodograph (q.v.); et il s'avère que la vitesse du point V le long du hodograph représente dans la grandeur et dans la direction l'accélération dans l'orbite originale. Ainsi dans le cas d'une orbite plate, si v soit la vitesse de P, la inclination de la direction du mouvement à une certaine direction fixe, le polaire coordonne de V peut être prise pour être v, II; par conséquent les vitesses de V le long et de perpendiculaire à l'cOv seront dv/dt et vdtti/dt. Ces expressions donnent donc les accélérations tangentielles et normales de P; cf. § 13 (12). Dans le mouvement d'une projectile sous la pesanteur le hodograph est une ligne verticale décrite avec la vitesse constante. Dans le mouvement harmonique elliptique la vitesse de P est parallèle et proportionnelle au CD de semi-diameter qui est conjugué au rayon CP; le hodograph est donc une ellipse semblable à l'orbite réelle. Dans le cas d'une orbite de central décrite en vertu de la loi de la place inverse nous avons v=h/SY=h. SZ/b2, où S est le centre de la force, que SY est la perpendiculaire à la tangente à P, et Z est le point où YS rencontre le cercle See also:auxiliaire encore. Par conséquent le hodograph est semblable et pareillement situé au lieu de Z (le cercle auxiliaire) tourné autour de S par un angle droit. Ceci s'applique à une orbite elliptique ou hyperbolique; le cas de l'orbite parabolique peut être examiné séparément ou traité comme un cas de See also:limitation. Fig. annexée 70 montre les See also:divers cas, avec le hodograph dans son orientation appropriée. Le poteau O du hodograph est à l'intérieur sur ou en dehors du cercle, selon que l'orbite est une ellipse, une parabole ou une hyperbole. En tout cas d'une orbite centrale le hodograph (une fois tourné par un angle droit) est semblable et pareillement situé "au polaire réciproque" de l'orbite en ce qui concerne le centre de la force. Ainsi pour une orbite circulaire avec le centre de la force à un point excentric, le hodograph est un conique avec le poteau comme foyer. Dans le cas d'une particule oscillant sous la pesanteur sur une cycloïde douce du repos au cusp le hodograph est un cercle par le poteau, décrit avec la vitesse constante. § 15. La cinétique d'un système des élans discrets de Particles.The des multiples particules constitue un système des vecteurs localisés qui, aux fins de résoudre et de prendre des moments, peuvent être réduits comme un système des forces dans le See also:statics (§ 8). De ce fait prenant n'importe quel point 0 comme See also:base, nous avons d'abord un élan linéaire dont les composants se sont rapportés aux haches rectangulaires par 0 sont la loi du cube inverse P=µ u8 est intéressant en See also:revanche. Les orbites peuvent être divisées en deux classes selon que le. 'See also: 
Ce problème a été étudié par R. See also:Cotes (1682-1716), et les diverses courbes obtenues sont connues comme spirales de Cotes. Un point sur une orbite centrale où la vitesse radiale (dr/dt) disparaît s'appelle un See also:apse, et le rayon correspondant s'appelle une apse-ligne. Si la force. est toujours le même à la même distance que n'importe quelle apse-ligne divisera l'orbite symétriquement, comme est vu en imaginant la vitesse à l'apse à renverser. Il suit que l'angle entre les apse-lignes successives est constant; ce s'appelle l'angle absidal de l'orbite. Si dans une orbite centrale la vitesse est égale à la vitesse de l'infini, nous avons, de (5), See also:gabarit = 2 r Pdr; (26) ceci détermine la forme de l'orbite critique, car il s'appelle. Si P=p/r ", sa équation polaire est (27) ''de me=a de r"cos, où le m=l (3n), excepté dans le cas n=3, quand l'orbite est une spirale équiangle. Le cas n = 2 donne la parabole en tant qu'avant. Si nous éliminons de/dt entre (15) et (16) nous obtenons cl2r h2 d 2Ta=-P=f(r), dites. Nous pouvons nous appliquer ceci à la recherche sur la stabilité d'une orbite circulaire. Assumant ce r=a+x, où x est petit, nous avons, approximativement, d2xh2 (3x) _ f (a) X f, (a) dt2 un '~a par conséquent si h et un être se reliaient par la relation h2=a3f(a) appropriée à une orbite circulaire, nous avons d 2 + { f'(a)+af(a) } x=o. (28) si le coefficient de x soit positif les See also:variations de x sont simple-harmoniques, et x peut demeurer de manière permanente petit; on dit qu'alors l'orbite circulaire est See also:stable. La See also:condition pour ceci peut être écrite da{a2f(a)}>o, c.-à-d. l'intensité de la force dans la région pour laquelle le r=a doit, presque, diminuer avec l'augmentation de la distance moins rapidement que selon la loi du cube inverse. Encore, la demi période de x est r/~ { f'(a)+á-lf(a) }, et puisque la vitesse angulaire dans l'orbite est h/a2, approximativement, l'angle absidal est, finalement, des solides solubles un af'(de r~)+3f(a) ou, dans le cas du f(a) = du k/r ",/de r/(3n). C'est en accord avec les résultats connus pour n=2, n = -1. Nous avons vu qu'en vertu de la loi de la place inverse toutes les orbites finies sont elliptiques. La question se présente si là z(mx), Z(my), m(m2); (1) son vecteur représentatif est le même quelque point 0 soyez choisi. Deuxièmement, nous avons un élan angulaire dont les composants sont z{m(ya23)1, E{m(xyy)1, (2) ceux-ci qui sont les sommes des moments des élans des multiples particules au sujet des haches respectives. C'est sujet aux mêmes relations comme See also:couple dans le statics; il peut être représenté par un vecteur qui , cependant, en général See also:changez avec la position de O. L'élan linéaire est identique comme si la masse entière ont été concentrées au centre de la masse G, et dotées de la vitesse de ce point. Ceci la suit immédiatement de l'équation (8) du §, si nous imaginons les deux See also:configurations du système là visé pour être ceux qui correspondent aux instants t, t+bt. ainsi E (PS de m•) = E(m).Gst analytiquement que nous avons Z(mx) Z(mx) = (m). • (4) avec deux formules semblables. la solution dont est l'au=sin m (0a). (20) l'orbite a donc deux asymptotes, sous un angle See also:jante inclinée. Dans le dernier cas que l'équation est de la forme du 2 = mù, de sorte que (29) (30) (3) encore. si la position instantanée de G soit prise aussi bas, l'élan angulaire du mouvement absolu est le même que l'élan angulaire du mouvement à G. See also:For relatif la vitesse d'une particule m à P peut être remplacé par deux composants dont un (v) est identique dans la grandeur et la direction avec la vitesse de G, tandis que l'autre (v) est la vitesse à G relatif. L'agrégat du m'D de composants de l'élan est équivalent à un vecteur localisé simple Z(m). v dans une ligne par G, et a donc le moment zéro autour de n'importe quel axe par G; par conséquent dans la prise des moments autour d'un tel axe nous devons seulement considérer à symboles relatifs de G. In de vitesses, nous avons E{m(yzzy)I=2(m). (ydtaiddi +z{m(n3"See also: Analytically que nous avons de (5), See also:dtz{m(yizy)}=z(m). (ydt2zdt~) +dtz{m(s3'3'n))• (6) si nous mettons x, y, s=o, le théorème est prouvé en ce qui concerne des haches parallèles au boeuf. Considérez après l'énergie cinétique du système. Si d'un point fixe 0 nous tirons les vecteurs OV1, OV2. . . pour représenter les vitesses des multiples particules m, m2. . . et si nous construisons le vecteur (7) ceci représentera la vitesse du masse-centre, par (3). Nous trouvons, exactement comme dans la See also:preuve du premier théorème de See also:Lagrange (§ r1), ce (8) ZE (m. OV2) _,E (m). AE d'cOk2+ (m. KV2); c.-à-d. toute l'énergie cinétique est égale à l'énergie cinétique de la masse entière supposée concentrée à G et se déplacer avec ce point, ainsi que l'énergie cinétique du mouvement à G. The relatif dernier peut s'appeler l'énergie cinétique See also:interne du système. Analytiquement nous avons (2) \ 2/z+kd1/+(!)2 de 1j iztm(z2+y2+e)}=;z(m) - { - E{m(i-2+i2+3-2)I. (9) il y a également un analogue au théorème de Lagrange en second lieu, à savoir. (m.KV2)=1EE(mpmq.VpVg2)~ (E/S) Z(m) qui exprime l'énergie cinétique interne en termes de vitesses relatives des multiples paires de particules. Cette See also:formule est due à Mobius. Les théorèmes précédents sont purement cinématiques. Nous avons maintenant pour considérer l'effet des forces agissant sur les particules. Celles-ci peuvent être divisées en deux catégories; nous avons d'abord, les forces étrangères exercées sur les diverses particules d'en dehors, et, deuxièmement, les forces mutuelles ou internes entre les diverses paires de particules. On le suppose de que ces derniers sont sujets à la loi de l'égalité l'action et la réaction. Si les équations du mouvement de chaque particule soient formées séparément, chaque une telle force interne apparaîtra deux fois plus de, avec les signes opposés pour ses composants, à savoir en tant qu'affectation du mouvement de chacune des deux particules entre lesquelles il agit. La pleine élaboration est en général difficile, le problème comparativement simple de "trois See also:corps," par exemple, dans l'See also:astronomie de la gravité étant encore non résolue, mais quelques théorèmes généraux peuvent être formulés. Le premier de ces derniers peut s'appeler le principe de l'élan linéaire. S'il n'y a aucune force étrangère, l'élan linéaire résultant est constant de tous points. Pour considérez deux particules quelconques à P et à Q, agissant sur un un autre avec les forces égales et opposées dans la ligne PQ. Dans la rue de temps une certaine impulsion est donnée à la première particule dans la direction (parole) de P à Q, tandis qu'une impulsion égale et opposée est donnée à la seconde dans la direction de Q à P. Since produit de ces impulsions égal et élans opposés dans les deux particules, que l'élan linéaire résultant du système est inchangé. Si les forces étrangères agissent, on le See also:voit de manière semblable que l'élan linéaire résultant du système a lieu dans n'importe quelle See also:heure indiquée modifiée par l'addition géométrique de toute l'impulsion des forces étrangères. Il suit, de la théorie cinématique précédente, que le masse-centre G du système se déplacera exactement comme si les entiers, la masse ont été concentrés là et ont été See also:agis dessus par le parallèle appliqué par forces étrangères à leurs directions originales. Par exemple, le masse-centre d'un système librement de la force étrangère décrira une ligne droite avec la vitesse constante. Encore, le masse-centre pf une chaîne Z(m.OV) de 0 = des particules de z(m) s'est relié par des See also:cordes, projetées de toute façon sous la pesanteur, décrira une parabole. Le deuxième résultat général est le principe de l'élan angulaire. S'il n'y a aucune force étrangère, le moment de l'élan autour de n'importe quel axe fixe est constant. Pour dans le bt de temps l'action mutuelle entre deux particules à P et à Q produit des élans égaux et opposés dans la ligne PQ, et ceux-ci auront des moments égaux et opposés autour de l'axe fixe. Si les forces étrangères agissent, tout l'élan angulaire autour de n'importe quel axe fixe est dans le bt de temps accru par toute l'impulsion étrangère autour de cet axe. Les relations cinématiques au-dessus d'expliqué maintenant mènent à la conclusion qu'en calculant l'effet des forces étrangères dans un bt infiniment court de temps nous pouvons prendre à des moments autour d'un axe passant par la position instantanée de G exactement comme si G étaient fixe; d'ailleurs, le résultat sera identique si dans ce processus nous utilisons les vitesses vraies des particules ou simplement leurs vitesses à G. If relatif là ne sont aucune force étrangère, ou si les forces étrangères ont le moment zéro autour de n'importe quel axe par G, le vecteur qui représente l'élan angulaire résultant à G relatif est constant de tous points. Un avion par la perpendiculaire de G à ce vecteur a une direction fixe dans l'See also:espace, et s'appelle l'avion invariable; il peut parfois être commodément employé comme plan de la référence. Par exemple, si nous faisons relier deux particules par une corde, l'avion invariable traverse la corde, et si W soit la vitesse angulaire dans cet avion, l'élan angulaire à G relatif est mÇOlrl. r1 +m2wrz. r2 = (mlrl2 - f m2r22)w, où r1, r2 sont les distances du ml, m2 de leur masse-centre G. Hence si les forces étrangères (par exemple pesanteur) ont le moment zéro au sujet de G, W sera constant. Encore, la tension R de la corde est donnée par le __ 'n1-2 R=mlw2rl m, +m2wà, où a=rl+r2. En outre par (E/S) l'énergie cinétique interne est. m, m2 wà2 1ml-Fmi l'augmentation de l'énergie cinétique du système de n'importe quel intervalle de temps naturellement sera égal à tout le travail effectué par toutes les forces agissant sur les particules. Dans beaucoup de questions concernant des systèmes des particules discrètes la force interne Rp9 (que nous compterons le positif quand attrayant) entre deux particules quelconques m, magnésium est une fonction seulement du RPG de distance entre elles. Dans ce cas-ci le travail effectué par les forces internes sera représenté par - E f Rpgdrpq, quand l'addition inclut chaque paire de particules, et chacun intégral doit être pris entre les limites appropriées. Si nous écrivons V = EfRpgdrpq, (ii) quand rP9 s'étend de sa valeur dans une certaine See also:configuration standard A du système à sa valeur dans n'importe quelle autre configuration P, il est plat que V représente le travail qui devrait être effectué afin d'apporter le système du repos dans la configuration A au repos dans la configuration P. Hence V est une fonction définie de la configuration P; ce s'appelle l'énergie potentielle interne. Si T dénotent l'énergie cinétique, nous pouvons dire alors que la somme T + V est dans n'importe quel intervalle de temps accru d'une quantité égale au travail effectué par les forces étrangères. En particulier, s'il n'y a aucune force étrangère T + V est constant. Encore, si certaines des forces étrangères sont dues à un champ de la force conservateur, le travail qu'ils effectuent peut être compté comme diminution de l'énergie potentielle relativement au champ comme dans le § 13. § 16. Cinétique d'un corps See also:rigide. Principles.When fondamentaux que nous passons de la considération des particules discrètes à celui des distributions continues de matière, nous exigent un certain postulat See also:physique au delà de ce qui est contenu dans les See also:lois du mouvement, dans leur formulation originale. Ce postulat additionnel peut être présenté sous de diverses formes. Un plan est de supposer que n'importe quel corps celui qui puisse être traité de comme si il se sont composés de particules matérielles, c.-à-d. points mathématiques dotés de coefficients d'inertie, séparé par des intervalles finis, et agissant sur un un autre avec des forces dans les lignes les joignant sujet à la loi de l'égalité l'action et la réaction. Dans le cas d'un rigidbody nous devons supposer que ces forces s'ajustent afin de préserver les distances mutuelles des diverses particules inchangées. Sur cette base nous pouvons affirmer les principes de l'élan linéaire et angulaire, comme dans le § 15. Une variante doit adopter le principe d'abord formellement déclaré par le d'See also:Alembert de J. Le R. et depuis connu par son nom. Si x, y, z soit le rectangulaire coordonne d'un masse-élément m, le MX d'expressions, mon, mz doit être égal aux composants de toute la force sur m, ces forces étant partiellement étrangères et en See also:partie forces exercées sur m par d'autres éléments de masse du système. Par conséquent (See also:mille, mon, m2) s'appelle la force réelle ou efficace sur le m. selon la formulation des d'Alembert, les forces étrangères ainsi que les forces efficaces renversées remplis les conditions statiques de l'équilibre. En d'autres termes, l'assemblage entier des forces efficaces est statiquement équivalent aux forces étrangères. Ceci mène, par les principes du § 8, aux équations (MX) = X, Z(m)) = Y, E(m2) = Z, (m(yz-zy)}=L, { m(zx-xz) } = M, { m(xy-yx) } = N, (i) où (X, Y, Z) et (L, M, N) sont les coupleconstituents de forceand du système des forces étrangères, désigné 0 sous le nom de la base, et les See also:additions sortent l'excédent tous les masse-éléments du système. Ces équations peuvent être écrites d (MX) = X, décollement E(mJ) = Y, dtE(mt) = Z, dE(m(yz-zy)}=L, atE{m(zx-xz)}=M, dtE{m(xy-yx)}=N, et ainsi See also:exprimez que le taux de changement de l'élan linéaire dans n'importe quelle direction fixe (par exemple qui du boeuf) est égal à toute la force étrangère dans cette direction, et que le taux de changement de l'élan angulaire autour de n'importe quel axe fixe est égal au moment des forces étrangères autour de cet axe. Si nous intégrons en ce qui concerne t entre les limites fixes, nous obtenons les principes de l'élan linéaire et angulaire sous la forme précédemment donnée; Par conséquent, n'importe quelle forme de postulat nous adoptons, nous sommes menés aux principes de l'élan linéaire et angulaire, qui forment en fait la base de tout notre travail suivant. Il doit être noté que les rapports précédents ne soient pas prévus pour être limités aux corps rigides; on assume qu'ils se tiennent pour tous les systèmes matériels quoi que. Le See also:statut particulier de corps rigides est que les principes en question sont dans la plupart des cas suffisants pour la détermination complète du mouvement, les équations dynamiques (1 ou 2) étant égal en nombre aux degrés de liberté (six) d'un solide rigide, tandis que dans les cas où la liberté est plus grande nous devons appeler l'aide d'autres hypothèses physiques supplémentaires (cf. ÉLASTICITÉ; See also:HYDROMECHANICS). L'augmentation de l'énergie cinétique d'un corps rigide de n'importe quel intervalle de temps est égale au travail effectué par les forces étrangères agissant sur le corps. C'est une conséquence immédiate du postulat fondamental, dans l'une ou l'autre des formes au-dessus d'indiqué, puisque les forces internes n'effectuent dans l'ensemble aucun travail. Le rapport peut être sorti à un système les corps rigides, de si les réactions mutuelles comprennent les efforts dans des liens inextensibles, ou les pressions entre les surfaces douces, ou les réactions au See also:roulement entre en See also:contact (§ 9). § 17. Two-dimensionali Problems.In le cas de la rotation autour d'un axe fixe, les principes prennent une forme très simple. La position du corps est indiquée par un simple coordonnent, à savoir l'angle B par lequel un certain avion passant par l'axe et fixé dans le corps a tourné d'une position standard dans l'espace. Puis d9/dt, = parole de W, est la vitesse angulaire du corps. L'élan angulaire d'une particule m à une distance r de l'axe est maw. r, et tout le élan angulaire est E(mr2). W, ou Iw, si je dénote le moment de l'inertie (§ rr) autour de l'axe. Par conséquent si N soit le moment des forces étrangères autour de l'axe, nous avons le dt(Iw) = le N. (i) que ceci peut être comparé à l'équation du mouvement rectiligne d'une particule, à savoir d/dt.(Mu) = X; il prouve qu'I mesure l'inertie du corps en ce qui concerne la rotation, juste comme M mesure son inertie en ce qui concerne la See also:traduction. Si N = o, W est constant. } (2) comme premier exemple, supposent que nous avons un volant libre pour tourner autour d'un axe horizontal, et qu'un poids m accroche par une corde verticale des circonférences d'un axe du rayon b (fig. 72). Négligeant la résistance de friction nous avons, si R soit la tension de la corde, Iw=Rb, mit=mgR, d'où le bl~ MB2 = le MB2 g. (2) ceci donne l'accélération de m comme modifiée par l'inertie de la roue. "un pendule composé" est un corps de n'importe quelle forme qui est libre pour tourner autour d'un axe horizontal fixe, la seule force étrangère (autre que les pressions de l'axe) étant celui de la pesanteur. Si M soit toute la masse, k le rayon de la giration (le § ii) autour de l'axe, nous avons d(Mk2de) _ le péché B de Nigh, (3) où 0 est l'angle que l'avion contenant l'axe et le centre de des marques de la gravité G avec la verticale, et le h est la distance de G de l'axe. Ceci coïncide avec l'équation du mouvement d'un pendule simple [ § r3 (i5) ] de la longueur 1, si 1=k2/h. Le plan du See also:diagramme (fig. 73) est censé être un avion par la perpendiculaire de G à l'axe, qu'elle rencontre en O. If nous produisent OG à P, faisant = 1 OP, le point P s'appelle le centre de l'oscillation; le plomb d'un pendule simple d'cOp de longueur suspendu de 0 gardera l'étape avec le mouvement de P, si correctement commencé. Si K soit le rayon de la giration autour d'un axe parallèle par G, nous avons k2=K2+h2 par le § II (i6), et donc le l=h+K2/h, d'où ALLEZ. Le généraliste = le K2. (4) que ceci prouve que si le corps étaient balancés d'un axe parallèle par P le nouveau centre de l'oscillation serait à différentes haches parallèles de O. For, la période d'une petite oscillation change comme v 1, ou v (Aller-}-op); c'est sujet See also:mineur, à la condition (4), quand See also:GO=gp=k. La relation réciproque entre les centres de la suspension et l'oscillation est la base de la méthode de See also:Kater de déterminer g expérimentalement. Un pendule est construit avec deux arêtes en lame de See also:couteau parallèles aussi presque comme possible dans le même avion avec G, la position d'un d'elles étant réglables. S'il pourrait arranger de que la période d'une petite oscillation devrait être exactement la même au sujet de l'un ou l'autre See also:bord, les deux arêtes en lame de couteau en général occuperaient les positions des centres conjugués la suspension et l'oscillation; et les distances entre elles seraient la longueur 1 du pendule simple équivalent. Pour si h, +K2/See also:hi = h2+K2/h2, puis à moins que h1=h2, nous doive avoir K2=hih2, l-hi+h2. L'égalité exacte des deux périodes observées (TI, T2, parole) ne peut pas naturellement être fixée dans la See also:pratique, et une modification est nécessaire. Si nous écrivons le See also:Li = salut + K2/hi, 12 = h2 + K2/h2, nous trouvons, sur l'élimination de K, 11+12 11 -12 3 salut { See also:hertz h 2 hih2 I 'd'où 44 7r2 _ (r12 1_7.22) (See also:installation r22) g salut + h2 + salut h2 la distance hi+h2, qui se produit dans premier la limite sur la See also:main droite peuvent être mesurés directement. Pour la deuxième limite nous avons besoin des valeurs salut, h2 de séparément, mais si le ri, r2 sont presque égal tandis que salut, h2 sont distinctement inégaux cette limite sera relativement petite, de sorte qu'une See also:connaissance approximative de salut, h2 soit suffisante. Comme un exemple final nous peut noter l'See also:arrangement, souvent utilisé dans des See also:mesures physiques, où un corps exécute de See also:petites oscillations autour d'un axe vertical par son masse-centre G, sous l'See also:influence d'un couple dont le moment change comme angle de rotation de la position d'équilibre. L'équation du mouvement est du type I A = le KB, (6) et la période est donc 7 = 21rsl(I/K). Si par l'attachement d'un autre corps du moment connu de l'inertie I', la période est changée du See also:massif de See also:roche de r, nous avons 7'=21r, /t(I+I')/Kl. Nous sommes ainsi See also:permis de déterminer tous les deux I et K, à savoir. I/i't2), K=4, r2rÌ/(r'2r2). (7) les couples peuvent être dus au magnétisme de la See also:terre, ou du torsionof un See also:fil de suspension, ou d'une suspension "bifilar". Dans le dernier cas, le corps accroche par deux fils verticaux de longueur égale l dans un avion par le mouvement de G. The étant supposé pour être petit, les tensions des deux cordes peut être pris pour avoir leurs valeurs statiques Mgb/(a+b), Mga/(a+b), où a, b sont les distances de G des deux fils. Quand le corps est See also:tordu par un angle 0 les fils font les angles ae/l, be/1 avec la verticale, et le moment des tensions au sujet de la verticale par G est en conséquence KB, où K = M gab/l. Que la détermination du mouvement il a seulement été emploie un des équations dynamiques. Les équations restantes servent à déterminer les réactions du corps See also:tournant sur ses See also:roulements. Supposez, par exemple, qu'il n'y a aucune force étrangère. Prenez les haches rectangulaires, dont l'once coïncide avec l'axe de la rotation. La vitesse angulaire étant constante, la force efficace sur une particule m à une distance r d'once est mw2r vers cet axe, et ses composants sont en conséquence w2mx, w2my, O. Since les réactions sur les roulements doit être statiquement équivalent au système entier des forces efficaces, ils réduiront à une force (X Y Z) à 0 et un couple (L M N) indiqué par X = wÈ(mx) = wÈ(m), Y = wÈ(my) = w2Z(m) y, Z = o, L=w2Z(myz), M=w2X(mzx), N = o, (8) où x, y se rapportent les réactions de G. The de masse-centre donc ne réduisent pas à un simple la force à 0 à moins qu'E (myz) = o, (mzx) = o, c.-à-d. à moins que l'axe de la rotation soit un axe principal de l'inertie (§ II) au O. pour que la force puisse nous disparaître doit également avoir z, - y=o, c.-à-d. le masse-centre 'doit se situer à l'axe de la rotation. Ces considérations sont importantes dans l'"équilibrage" des See also:machines. Nous notons plus loin que si un corps soit libre pour tourner autour d'un point fixe 0, il y a trois lignes mutuellement perpendiculaires par ce point autour duquel il peut tourner de façon constante, sans davantage de See also:contrainte. La théorie de principal ou de haches "permanentes" a été étudiée la première fois de ce point de vue par J. A. Segner (1755). L'origine du "moment de déviation" nommé parfois appliqué à un produit de l'inertie est également maintenant évidente. Procédant au mouvement général d'un corps rigide dans deux dimensions nous pouvons prendre pendant que les trois coordonne du corps que le cartésien rectangulaire coordonne x, de y du masse-centre G et de l'angle 6 par lesquels le corps a tourné d'une certaine position standard. Les composants de l'élan linéaire sont alors MX, Mq, et l'élan angulaire à G relatif car la base est I9, où M est la masse et le I le moment de l'inertie au sujet de G. If les forces étrangères soit réduit à une force (X, Y) à G et un couple N, nous avons MX = à X, mes = Y, IE = N. (9) si les forces étrangères ont le moment zéro au sujet de G que la vitesse angulaire 0 est constante. Ainsi un See also:disque circulaire a projeté sous la pesanteur de magnésium dans fig. 74 de rotations de plan vertical. avec la vitesse angulaire constante, tandis que son centre décrit une parabole. Nous pouvons nous appliquer les équations (9) au cas d'un solide du roulement de révolution avec son axe horizontal sur un plan de la inclination a. si l'axe de x soit pris parallèle à la pente de l'avion, avec x augmentant en bas, nous ont le péché aF, l'See also:aR de cos d'o=Mg, MK2B=See also:Fa (E/S) de MX = de magnésium où K est le rayon de la giration autour de l'axe de la symétrie, a est la distance constante de G de l'avion, et R, F sont les composants normaux et tangentiels de la réaction de l'avion, comme montré dans fig. 74. Nous avons également le z=See also:ao cinématique de relation. Par conséquent a2 - Le gsina de K2 x=x21, R=Mg cos a, le péché de magnésium de F=K2+as a. (ii) l'accélération de G est donc moins que dans le cas du glissement sans friction dans le rapport a2/(K2+a2). Pour un homogène ce rapport de sphe:e est, pour un See also:cylindre circulaire See also:uniforme ou le disque 3, pour un cercle circulaire ou une See also:coquille cylindrique mince 4. - l'équation de l'énergie pour un corps rigide a été déjà énoncée (en effet) comme corollaire des prétentions fondamentales. (5) R il peut également déduire des principes de l'élan linéaire et angulaire comme incorporé dans les équations (9). Nous avons M(zx+YY)+IBA+XX+Vy+N6, (12) d'où, intégrant en ce qui concerne t, 1M (x2+512)+Ì92 = f (Xdx+Ydy+NdO)+const. le côté à gauche est l'énergie cinétique de la masse entière, supposée concentré à G et à se déplacer avec ce point, ainsi que l'énergie cinétique du mouvement à G relatif (§ 15); et le See also:membre droit représente le travail intégral effectué par les forces étrangères dans les déplacements infinitesimal successifs en lesquels le mouvement peut être résolu. La formule (13) peut être facilement vérifiée dans le cas du pendule composé, ou du roulement plein en bas d'une pente. En tant qu'autre exemple, supposez que nous avons un cylindre circulaire dont le masse-centre est à un point excentric, See also:roulant sur un plan horizontal. Ceci inclut le cas d'un pendule composé dans lequel l'arête en lame de couteau est remplacée par une See also:goupille cylindrique. Si un être le rayon du cylindre, du h la distance de G de son axe (0), du K le rayon de la giration autour d'un axe See also:longitudinal par G, et du 0 la inclination d'cOg à la verticale, l'énergie cinétique est 1MK202+ 2M. CG2. 82, par le § 3, puisque le corps tourne autour de la ligne du contact (c) en tant qu'axe instantané, et l'équation potentielle de cos O. L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
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