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X153

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V02, Seite 541 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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X153 , 7s. 4d. B-£I 20S. Ist. 12d. 368o8d. £153, 7s. 4d. 3067s. 4d. n 0 I 2 3 6+n n 4n 0 4 8 I2 0 I 2 Länge mit 3 n See also:

des Randes in den See also:Zoll. See also:Ausgabe des Würfels.

See also:

O I See also:Null 2 3. 1 cub. innen. 8 cub. innen. 27 cub. innen. von den numerischen Größen bloß mit einander, die See also:Korrespondenz, die entsprechen das ist, Resultat etwas Relation. Die Ausgabe See also:D eines Würfels zum Beispiel trägt eine bestimmte Relation See also:zur Länge eines Randes des Würfels. Diese Relation ist nicht eine des Anteils; aber sie kann durch Tabellierung dennoch ausgedrückt werden, wie an D gezeigt worden. 93, See also:Interpolation.In, das die meisten die Quantität in See also:der zweiten See also:Spalte umkleidet, kann als ununterbrochen sich erhöhen oder sich verringern angesehen werden, während die Zahl in der ersten Spalte sich erhöht und sie Zwischenwerte hat, den Zwischen (d.See also:h. bruchstückweise oder dezimal) See also:Zahlen zu entsprechen, die nicht in der Tabelle gezeigt werden. Die Tabelle ist in solchen Fällen nicht und kann nicht sein, See also:komplett, sogar bis zur Zahl, zu der sie geht. Zum Beispiel hat ein Würfel dessen See also:Rand 11 inch beträgt, eine definitive Ausgabe, nämlich.', 3'-8 cub. innen. Die Ermittlung irgend solchen Zwischenwertes wird von Interpolation (q.See also:v.) durchgeführt. Im Behandeln einer Bruchzahl oder im entsprechenden Wert der Quantität in der zweiten Spalte, wie See also:Vermittler, betrachten wir in Kraft die Nr. 1, 2, 3.

. . und die entsprechenden Zahlen in der zweiten Spalte, als See also:

Bezeichnung zwischen denen der See also:Punkte andere Zahlen liegen, d.h. sehen wir die Zahlen als die Ordnungszahl an, nicht hauptsächlich. Der Übergang ist dem ähnlich, der im See also:Fall geometrischen Maßes (§ 26) entsteht, und es ist eine wesentliche See also:Eigenschaft aller Argumentation hinsichtlich der ununterbrochenen Quantität, wie wir muß in realem See also:Leben beschäftigen. 94, Natur der arithmetischen einfachsten See also:Form Reasoning.The der arithmetischen Argumentation besteht in der Ermittlung der Bezeichnung in einer See also:Reihe, die einer gegebenen Bezeichnung in einer anderen Reihe entspricht, wenn die Relation zwischen den zwei Reihen gegeben wird; und sie deutet, obwohl sie nicht notwendigerweise miteinbezieht, die See also:Einrichtung jeder Reihe als Ganzes durch Ermittlung seiner Maßeinheit an. Eine Methode, welche die Ermittlung der Maßeinheit mit einbezieht, wird eine einheitliche Methode genannt. Wenn die Maßeinheit nicht festgestellt wird, ist die Argumentation algebraisch anstatt arithmetisch. Wenn zum Beispiel drei Bezeichnungen eines Anteils gegeben werden, kann der Fourth durch die Relation erreicht werden, die See also:am See also:Ende von § 57, diese Relation gegeben wird, die dann die See also:Richtlinie von drei benannt wird; aber dieses ist mit dem Gebrauch von einer algebraischen See also:Formel See also:gleichwertig. Schwierigere Formen der arithmetischen Argumentation beziehen den Gebrauch von Reihe mit ein, in der jede Bezeichnung bestimmten Bezeichnungen in zwei oder mehr Reihen gemeinsam entspricht; und Fälle dieser See also:Art werden normalerweise durch spezielle Methoden oder mittels der algebraischen Formeln behandelt. Die altmodischen Probleme über die See also:Menge der See also:Arbeit erledigt durch die bestimmten Anzahlen von Männern, See also:Frauen und Jungen, See also:sind von dieser Art und beziehen wirklich die Lösung der simultanen Gleichungen mit ein. Sie sind nicht zu den grundlegenden Zwecken verwendbar, da die arithmetischen Relationen, die betroffen sind, schwierig und schwer verständlich sind. XI BERECHNUNGSMETHODEN (i.)'Exact-Berechnung. 95, Das See also:Arbeiten von Left.It ist, wo möglich wünschenswert, See also:Betriebe auf Zahlen oder numerische Größen vom links, anstatt vom Recht durchzuführen. Es gibt einige Gründe für dieses.

An erster See also:

Stelle entspricht ein Betrieb dann dosely, an einem grundlegenden See also:Stadium, mit dem konkreten Prozeß, den es darstellt. Wenn zum Beispiel wir hatte eine Summe £3, I5S. 9d. und andere von £2, 6s. 5d., sollten wir sie, indem wir die Münzen jeder Bezeichnung zusammenfügen und sofort die Hinzufügung mit See also:L. In hinzufügen der zweite Platz, Verlegenheiten dieser Methode die See also:Aufmerksamkeit auf das größere beginnen, und folglich das wichtiger, Teilen der Quantitäten, die betroffen werden, und verhindern folglich arithmetische Prozesse am Werden zu abstrakt im Buchstaben. Im dritten Platz ist es eine bessere Vorbereitung für das Beschäftigen ungefähre Berechnungen. Schließlich zeigt Erfahrung, daß bestimmte Betriebe, in denen das Resultat an der oncee.See also:g.-Hinzufügung oder am See also:Abzug von zwei Zahlen oder von Quantitäten notiert wird und See also:Vermehrung durch etwas kleines numbersare mit einer wenig Praxis schneller und genauer von links nach rechts durchführten. 96, Addition.There ist kein Unterschied prinzipiell zwischen Hinzufügung (oder Abzug) von Zahlen und Hinzufügung (oder Abzug) der numerischen Größen. In jedem Fall bezieht das gruppierensystem Neuordnung mit ein, die das auswechselbare See also:Gesetz andeutet, während das zählende See also:System den Ausdruck einer Quantität in den unterschiedlichen Bezeichnungen erfordert, als eine See also:Darstellung in einer unterschiedlichen See also:Skala (§§ 17, 32) angesehen zu werden. Wir müssen folglich nur numerische Größen betrachten, unsere See also:Resultate, die auf Zahlen anwendbar sind, indem wir die Stellen als Darstellen von Mehrfachverbindungsstellen der Maßeinheiten in den unterschiedlichen Bezeichnungen betrachten. Wenn das Resultat der Hinzufügung in einer Bezeichnung in einer anderen Bezeichnung teils ausgedrückt werden kann, wird der Prozeß technisch Tragen benannt. Der Name ist ein See also:schlechtes, da er nicht mit irgendeiner gewöhnlichen Bedeutung des Verbs entspricht.

Er würde besser beschrieben, wie, wertSEIEND, durch See also:

Analogie mit dem "Ändern" des Abzugs. Wenn See also:z.B. wir See also:finden, daß die Summe von 17s. und von 18s. 35s. ist, nehmen wir 20 der 35 Shillings heraus und tauschen sie gegen £1 aus. um vom links hinzuzufügen, müssen wir voran See also:schauen, um zu sehen, ob die folgende Hinzufügung einen See also:Austausch erfordert. So wenn wir £3, 17s. Od £2, Od 18s. hinzufügen, notieren wir die Summe von £3 und von £2 als £6, nicht als £See also:5 und die Summe von 17s. und von 18s. als 15s., nicht als 35s. Wenn drei oder mehr Zahlen oder Quantitäten zusammen addiert werden, sollte das Resultat immer überprüft werden, indem man aufwärts und abwärts hinzufügt. Heraus zu schauen ist auch nützlich, nach Paaren Zahlen oder Quantitäten, die 1 von der folgenden Bezeichnung bilden, z.B. 7 und 3 oder 8d. und 4d. 97, Subtraction.To subtrahieren £3, 5s. 4d. von £9, 7S. 8d., auf dem gruppierensystem, wir sich aufspalten herauf jede Quantität in seine Bezeichnungen, durchführen die Abzüge unabhängig und umgruppieren dann die Resultate als der "See also:Rest" £6, 2S. 4d.

Auf dem zählenden System können wir zählen entweder nachschicken oder rückwärts, und wir können entweder vom links oder vom Recht arbeiten. Wenn wir nachschicken uns finden das, um £3, 5S. 4d. umzuwandeln in £9, 7s. 8d zählen. wir müssen £6, 2S. und 4d., wenn wir vom links arbeiten, oder 4d., 2S. und £6 mehrmals hintereinander addieren, wenn wir vom Recht arbeiten. Die Zwischenwerte, die durch die aufeinanderfolgenden Hinzufügung erhalten werden, sind unterschiedliches, insofern wir vom links oder vom Recht arbeiten, Sein £9, 5s. 4d. und £9, 7s. 4d. im einem Fall und in £3, in 5s. 8d. und in £3 7s. 8d. im anderen.

Wenn wir rückwärts zählen, sind die Zwischenwerte £3, 7s. 8d. und £3, 5s. 8d. im einem Fall und in £9, in 7s. 4d. und in £9 5s. 4d. im anderen. Die Ermittlung jedes Elements im Rest bezieht Hinweis auf einer Hinzufügung-Tabelle mit ein. um 5s. von 7s. so zu subtrahieren beziehen uns wir auf eine Hinzufügung-Tabelle, welche die Summe aller möglicher zwei Quantitäten gibt, von denen jede eine des ReihencOss ist, sind, 19s. Abzug, indem man vorwärts zählt, wird ergänzende Hinzufügung genannt. um £3, 5S. 8d. von £9, 10s.

4d. zu subtrahieren, auf dem gruppierensystem, müssen wir ändern sind aus dem IOS heraus in 12d., damit wir £3 subtrahieren, 5S. 8d. von £9, 9s. 16d. Auf dem zählenden System wird es gefunden, daß, wenn wir die Zahl Shillings im Rest feststellen, wir 5s. von 9S. subtrahieren, wenn wir nachschicken zählen und vom links oder rückwärts arbeiten und vom Recht arbeiten; während, wenn wir rückwärts zählen, schickt das Arbeiten vom links oder nach und arbeitet vom Recht, der Abzug, ist von 6s. von IOS. In den ersten zwei Fällen die aufeinanderfolgenden See also:

Werte; (im direkten oder Rückauftrag) sind £3, 5S. 8d., £9, 5S. 8d., £9, 9S. 8d. und £9, IOS 4d.; während in den letzten zwei Fällen sie £9, IOS 4d., £3, 10S. 4d., £3, 6s. 4d. und £3 sind, 5S. 8d. Beim Subtrahieren vom links, schauen wir voran, um zu sehen, ob 1 in irgendeiner Bezeichnung für das Ändern reserviert sein muß; so in subtrahierenden 274 von 637 sollten wir hinunter 2 von 6 als 3, nicht als 4 und 7 von 3 als 6 uns setzen.

98, Multiplication-Table.Forvermehrung und -See also:

abteilung benutzen wir eine Vermehrung-Tabelle, die eine Mehrfachtabelle ist, geordnet, wie erklärt im § 6 und Geben der aufeinanderfolgenden Mehrfachverbindungsstellen, bis 9mal oder See also:weiter, von den Zahlen von See also:r (oder besser, von O) bis Io, 12 oder 20. Die Spalte (See also:vertikal) geht 3 gibt die Mehrfachverbindungsstellen 3 voran, während die Reihe (See also:horizontal) beginnend mit 3 die Werte von 3 x von I gibt, von 3 x von 2. . . um mit 3 zu multiplizieren verwenden wir die Reihe. um uns durch 3, in der Richtung des Faches zu teilen, verwenden wir auch die Reihe; aber, sich durch 3 als Maßeinheit zu teilen benutzen wir die Spalte. 99, Vermehrung durch eine kleine Number.The-See also:Idee eines großen r) = des AP ro'+(aq+bp)IO3+(ar+bq+cp) See also:Io2+(br+cq) 1o+cr. Folglich werden die Stellen in den Paaren multipliziert und gruppiert entsprechend der See also:Energie von zu, welchem jedes Produkt enthält. Eine Methode des Durchführens des Prozesses wird hier für den Fall von 162,427 gezeigt. Mehrfachverbindungsstelle einer kleinen Zahl ist einfacher als die einer kleinen Mehrfachverbindungsstelle einer großen Zahl, aber die Berechnung von der letzten ist einfacher. Es ist folglich bequem, wenn man das Produkt von zwei Zahlen findet, um das kleinere als der Vervielfacher zu nehmen. um 3 mal 427 zu finden, See also:wenden wir das verteilende Gesetz (§ 58 (vi)) diese 3,427 = 3(400+20+7)=3.400+3.20+3.7 an. Dieses, wenn wir 3,427 als 427+427+427 ansehen, ist eine direkte Konsequenz des auswechselbaren Gesetzes für Hinzufügung (§ 58 (iii)), das uns ermöglicht, die Hunderte, die 10 und die separat zu addieren.

3,400, wir freat als die Maßeinheit auch finden (als zusätzlich), damit 3.400=3.4.100 = 12,100 = 1200; und ähnlich für 3,20. Diese sind Beispiele des vereinigenden Gesetzes für Vermehrung (§ 58 (iv)). auch. Das spezielle Cases.The-Folgen sind einige spezielle Richtlinien: (i) um mit 5 zu multiplizieren, multiplizieren Sie mit niedrigem und teilen Sie sich durch 2. (und andererseits, sich durch 5 zu teilen, multiplizieren wir mit 2 und teilen uns durch Io.), (ii) Beim Multiplizieren mit 2; vom links fügen Sie t hinzu, wenn die folgende See also:

Abbildung des Multiplikanden 5, 6, 7, 8 oder 9 ist. (iii) Beim Multiplizieren mit 3, vom links, fügen Sie 1 hinzu, wenn die folgenden Abbildungen nicht kleiner als 33 sind. . . 334 und nicht grösser als 66. . . 666, und 2, wenn sie 66 sind. . . 667 und aufwärts.

(iv) um mit 7 zu multiplizieren, behandeln 8, 9, 11 oder 12, den Vervielfacher als 10-3, 10-2, 10-1, 10+1 oder 10+2; und ähnlich für 13, 17, 18, 19, &See also:

c. (V) um mit 4 oder 6 zu multiplizieren, können wir entweder vom links mit 2 multiplizieren und dann mit 2 oder 3, oder multiplizieren Sie vom Recht mit 4 oder 6; oder wir können den Vervielfacher als 51 oder 5+1 behandeln. Fäule. Vermehrung durch ein großes Number.When, das beide Zahlen, wir groß sind, spaltete sich herauf eine von ihnen, vorzugsweise der Vervielfacher, in unterschiedliche Teile auf. 231,4273 So = (200+30+ I) 4273=200.4273+30.4273+1.4273. Dieses gibt die teilweisen Produkte, dessen Summe das komplette Produkt ist. Der Prozeß wird völlig in A unten, in A B 854600 128190 231 4273 231 987063 987063 10 -042730 und kürzer in B. To multiplizieren 4273 mit 200, wir verwenden das auswechselbare Gesetz gezeigt, das 200,4273 = 2 X10 0(4273 = 2X4273XIoo=8J46X100=854600 gibt; und ähnlich für 30,4273. In B werden der Anschluß es der teilweisen Produkte ausgelassen. Es ist normalerweise bequem, eine einleitende Tabelle von den Mehrfachverbindungsstellen bis zu den Zeiten I0 heraus zu bilden; die Tabelle, die bei 5mal (§ auch) überprüft wird und zu den ro-Zeiten. Die Hauptschwierigkeit ist in der korrekten Plazierung der beschränkten teilweisen Produkte. Der erste See also:Schritt ist, das Produkt von zwei Zahlen, da das Enthalten von so vielen Stellen die zwei Zahlen zu betrachten zusammenfügte. Die Tabelle von Mehrfachverbindungsstellen ist dann, wie in Schritt C.

Phoenix-squares

The zunächst ' ist, den Vervielfacher und den Multiplikanden über den teilweisen Produkten zu ordnen. Für grundlegende Arbeit kann der Multiplikand sofort nach dem Vervielfacher, wie in D kommen; die letzte Abbildung jedes teilweisen Produktes kommt dann sofort unter die entsprechende Zahl des Vervielfachers. Eine bessere Methode, die D See also:

E 4273!231 o8546 12819 04273 0987063 oben zur Vermehrung von Dezimalstrichen und der ungefähren Werte von Zahlen führt, soll die erste Abbildung des Vervielfachers unter die erste Abbildung des Multiplikanden, wie in E legen; die erste Abbildung jedes teilweisen Produktes kommt dann unter die entsprechende Zahl des Vervielfachers. 102, See also:Vertrag abgeschlossene teilweise Produkte Multiplication.The werden manchmal ausgelassen; der Prozeß speichert See also:Zeit im See also:Schreiben, aber ist nicht See also:einfach. Die Grundregel ist daß z.B. (a. 102+b. Io+c) (P. Io2+q. I0+ 4273 x 0987063 200 0854600 X - 200 132463 30 128190 x - 230 04273 1 04273 x - 231 0000 die Grundregel ist diese 162.427=100.427+60.427+2.427 = 1,42700+6,4270+2,427; aber, anstelle vom Schreiben hinunter die unterschiedlichen Produkte, schreiben wir (in Wirklichkeit) 42700, 4270 und 427 in unterschiedliche Reihen, mit den Vervielfachern 1, 6, 2 im Seitenrand und multiplizieren dann jede Zahl in jeder Spalte mit dem entsprechenden Vervielfacher im Seitenrand und bilden See also:Genehmigung, damit alle mögliche Abbildungen "See also:getragen werden können.", So wird die zweite Abbildung (vom Recht) durch 1+2.2+6.7=47, das t gegeben, das getragen wird. 103, Vermehrung der See also:Aliquote Part.For durch einen korrekten See also:Bruch oder einen Dezimalstrich, ist es manchmal bequem, besonders wenn wir Mischquantitäten beschäftigen, den Vervielfacher in die Summe oder den Unterschied einer Anzahl von Brüchen umzuwandeln, von denen jeder 1 als sein Zähler hat. Solche Brüche werden Aliquoteteile genannt (von der See also:Lat.-Aliquote, von einiger, von mehreren).

Dieses kann in einem gutem normalerweise getan werden viele Weisen. So * = tîand auch = 2+3 und 15%='15=T16+26 = e +41. Die Brüche sollten im Allgemeinen gewählt werden, damit jedes See also:

Teil des Produktes von einem früheren Teil durch eine verhältnismässig einfache Abteilung erhalten werden kann. 2 so + - -- g?i ist ein einfacherer Ausdruck für T I als z ++o -. der Prozeß kann manchmal angewendet werden zwei oder dreimal nacheinander; so (t *) (1D und - H-=4 ' i = (I4) (1+-)• 104. Practice.The oben ist ein bestimmter Fall von der Methode, die Praxis genannt wird, aber die Bezeichnung der Methode ist verwirrend. Es gibt zwei Arten Praxis, einfache Praxis und zusammengesetzte Praxis, aber die letzte ist der zwei das einfachere. um die See also:Kosten von 2 Pfund zu finden, die 8 See also:Unze See also:Butter an 2d. ein See also:lbs, wir ist, multiplizieren Sie ist 2d. durch 2T~ = 22. Dieser direkte Prozeß wird "zusammengesetzte" Praxis genannt, ", das einfache "Praxis eine Anwendung des auswechselbaren Gesetzes miteinbezieht. um die Kosten der n-See also:Artikel am La zu finden, bs.-Cd jedes, drücken wir La, bs.-Cd in der Form L(a+See also:f) aus, wo f ein Bruch ist (oder die Summe einiger Brüche); wir sagen dann, daß die Kosten, seiend nX£(a+f), gleich sind (a+f)X£n und wenden die Methode der zusammengesetzten Praxis an, d.h. zerteilt die Methode der Aliquote. 105, Vermehrung eines MischNumber.When ein Mischquantität oder eine Mischzahl muß mit einer großen Zahl, es multipliziert werden ist manchmal bequem, das ehemalige in einer nur seiner Bezeichnungen ausgedrückt auszudrücken. So £7 multiplizieren, 13s. 6d. durch 469 können wir das ehemalige in irgendwelchen der Weisen £7.675, °o von £1, 1534s., 153•5s., 307 Sixpencestücke oder Pence 1842 ausdrücken. Ausdruck im £ und in den Dezimalstrichen von £t wird normalerweise empfohlen, aber er hängt von den Umständen ab, ob irgendeine andere Methode möglicherweise nicht einfacher sein kann.

Eine Summe Geld kann nicht als Dezimalstrich von £I genau ausgedrückt werden, es sei denn es eine Mehrfachverbindungsstelle von 4d ist. Eine Richtlinie für ungefähre See also:

Umwandlung ist, die = •05 von £1 ist und die 21d. = •oi von £I. Für genaue Umwandlung schreiben wir •I£ für jedes 2S., und •ooi£ für jedes See also:Farthing über 2s. hinaus, ihre Zahl, die ist, firstincreased durch ein twenty-fourth. 106, Division.Of die zwei Arten der Abteilung, obgleich die Idee des Faches möglicherweise ist, das grundlegendere, der Prozeß des Messens ist das einfachere durchzuführen, da es mit einer Reihe Abzügen gleichwertig ist. Abfahrend von der See also:Dividende, zählen wir im Theorieunterhalt auf dem Subtrahieren der Maßeinheit und die Zahl Abzügen, die durchgeführt werden müssen, bis nichts gelassen ist. In der tatsächlichen Praxis selbstverständlich subtrahieren wir große Mehrfachverbindungsstellen hintereinander. So um 987063 durch 427 zu teilen, heben wir das See also:Verfahren des §felsens, aber mit mittelbaren Zwischenstadien auf. Wir konstruieren zuerst die Mehrfachtabelle C und subtrahieren dann mehrmals hintereinander Zoozeiten, ózeiten und r-Zeiten; diese Zahlen, die die durchschnittlichen tial Quotienten sind. Die Theorie der Process wird völlig in F. Treating x als der unbekannte Quotient gezeigt, der der ursprünglichen Dividende, 427 427 427 69174 F 4273 200 30 C 4273 8546 12819 4273 1 entspricht - 04273 2 - 08546 3 - 12819 231 4273 231 08546 231 I2819 04273 0987063 r 6 2 erhalten wir die aufeinanderfolgenden Dividenden, die Quotienten x200, x2óand x231 entsprechen. Die ursprüngliche Dividende wird als 0987063 geschrieben, da seine Ausgangsabbildungen grösser als die des Divisors sind; wenn die Dividende mit begonnen hatte (z.B..) 3.

. . es würde nicht notwendig gewesen sein, das Ausgangso. an jedem Stadium der Abteilung einzusetzen, welche die Zahl Stellen in der verringerten Dividende um eine verringert wird. Die abschließende Dividende, die 0000 ist, haben wir x231 = O und folglich x = 231. 107, Methoden von Division.See also:

W::at werden beschrieben, da unterschiedliche Methoden der Abteilung (durch einen einzelnen Divisor) hauptsächlich unterschiedliche Methoden des Schreibens der aufeinanderfolgenden Abbildungen sind, die in den Prozeß auftreten. In der See also:langen Abteilung wird der Divisor auf das links der Dividende und den Quotienten auf dem Recht gesetzt; und jedes teilweise Produkt, mit dem Rest nach seinem Abzug, wird innen voll gezeigt. In der kurzen Abteilung werden der Divisor und der Quotient beziehungsweise auf das links und unterhalb der Dividende gelegt, und die teilweisen Produkte und die Reste werden nicht an See also:allen gezeigt. Die österreichische Methode (in Großbritannien die italienische Methode manchmal benannt) unterscheidet sich von diesen in zwei Respekt. Das erste und am wichtigsten, ist, daß der Quotient über die Dividende gesetzt wird. Die Sekunde, die nicht zur Methode wesentlich ist, ist, daß die Reste gezeigt werden, aber nicht die teilweisen Produkte; die Reste, die durch das Arbeiten vom Recht und das Verwenden der ergänzenden Hinzufügung erreicht werden. Es ist zweifelhaft, ob die Kürze dieses letzten Prozesses wirklich seine grössere Schwierigkeit entschädigt. Der See also:Vorteil der österreichischen Anordnung für den Quotienten G H 4273 4273 2 2 0987063 0987063 08546 08546 Lügen in der See also:Anzeige, die sie vom zutreffenden Wert jedes teilweisen Quotienten gibt. Eine Änderung der Methode, entsprechend mit D des §felsens, wird in G gezeigt; die Tatsache, daß das teilweise Produkt 08546 von zwei Leerstelleerscheinen gefolgt wird, daß die Tabelle 2 einen teilweisen Quotienten 200 darstellt.

Eine alternative Anordnung, entsprechend E von § 1o1 und entsprochen für vorgerücktere Arbeit, wird in H gezeigt. 108, Abteilung mit Remainder.It ist bis jetzt, das die Abteilung genau durchgeführt werden kann, d.h. ohne einen entscheidenden Rest zu See also:

lassen angenommen worden. Wo dieses nicht der Fall ist, sind Schwierigkeiten See also:passend zu entstehen, die an der Störung, zwischen den zwei Arten der Abteilung zu unterscheiden hauptsächlich liegen. Wenn wir sagen, daß die Abteilung von 41d. durch 12 Quotienten 3d. mit Rest 5d. gibt, sprechen wir lose; für tatsächlich verteilen uns nur 36d. aus dem 41d., andere restliche undistributed 5d. heraus. Es kann durch eine Unterteilung der Maßeinheit nur verteilt werden; d.h. ist das zutreffende Resultat der Abteilung 3151d. Andererseits können wir durchaus hervorquellen ausdrücklich das Resultat des Teilens von 41d. durch 1s (= 12d.) als 3 mit 5d. (nicht "5") rüber für dieses gibt nur dieses 41d.=3s. 5d. an; obwohl das Resultat als Ás genauer ausgedrückt werden konnte. Abteilung mit einem Rest hat folglich eine bestimmte See also:Luft von unreality, das betont wird, wenn die Abteilung mittels der Faktoren (§ 42) durchgeführt wird. Wenn wir 935 durch 240 teilen müssen, 12 und 20 als Faktoren nehmend, hängt das Resultat von der Tatsache ab, die, in der Darstellung (20) (12) von § 17, 935=3 r7 11. Im unvollständigen See also:Fach ist der Quotient 3, und die Reste 11 und 17 werden in Kraft mißachtet; wenn, nachdem wir den Quotienten 3 gefunden haben, wir wissen möchten, was Rest durch eine direkte Abteilung produziert würde, soll die einfachste Methode 3 mit 240 multiplizieren und das Resultat von 935 subtrahieren. Im kompletten Fach sind die aufeinanderfolgenden Quotienten 77'2 und Abteilung des o• 30122=3 in der Richtung des Messens führt zu ein solches Resultat wie 935d.=£3, 17s.

Iid.; wir können, wenn wir bitte, das 17s. 11d auszudrücken. als 215d. aber es gibt keinen bestimmten See also:

Grund, warum wir so tun sollten. 109, Abteilung durch ein MischNumber.To teilen sich durch,a gemischte Zahl, wenn der Quotient gesehen wird, um groß zu sein, es speichert normalerweise Zeit, den Divisor entweder als gewöhnlicher Bruch oder Dezimalstrich einer Maßeinheit von einer der Bezeichnungen auszudrücken. Genaue Abteilung durch eine Mischzahl wird nicht häufig im realen Leben angefordert; wo approximatedivision angefordert wird (z.B., wenn die See also:Rate einer "Dividende ' festgestellt wird), ist ungefährer Ausdruck des Divisors in der größten Maßeinheit ausgedrückt genügend. r zu. Berechnung der quadratischen Root.The-Berechnung der Quadratwurzel einer Zahl hängt von der Formel (iii) von § õ ab. um die Quadratwurzel von N zu finden, finden wir zuerst irgendeine Zahl deren Quadrat kleiner als N ist, und See also:a2 von N zu subtrahieren: Wenn die komplette Quadratwurzel a+b ist, ist der Rest nach subtrahierendem a2 (à+b)b. schätzen wir folglich b, indem wir den Rest durch à teilen, und bilden das Produkt (à+b) b., wenn dieses dem Rest gleich ist, wir haben gefunden die Quadratwurzel. Wenn er die Quadratwurzel übersteigt, müssen wir den Wert von b ändern, um ein Produkt zu erhalten, das nicht den Rest übersteigt. Wenn das Produkt kleiner als der Rest ist, erhalten wir einen neuen Rest, der N(See also:adb)2 ist; wir nehmen dann die volle Quadratwurzel an, um c, damit der neue Rest (à+2b+c) c gleich ist, und der Versuch zu sein zum Finden von c, genauso wie wir versuchten, b zu finden. Eine analoge Methode des Findens der Kubikwurzel, basiert auf der Formel für (a+b)3, verwendet, in den Lehrbüchern, aber in ihm gegeben zu werden ist ohne praktischen Gebrauch. um eine See also:Wurzel anders als eine Quadratwurzel zu finden können wir Logarithmen verwenden, wie erklärt in § 113. (ii.) Ungefähre Berechnung. 111, Multiplication.When müssen wir zwei Zahlen multiplizieren, und das Produkt wird nur angefordert, oder kann, zu einer bestimmten Anzahl von bedeutenden Abbildungen ungefähr korrekt nur sein, benötigen wir arbeiten nur zu zwei oder drei weiteren Abbildungen (§ 83) und beheben dann die abschließende Abbildung im Resultat mittels der überflüssigen Abbildungen. Eine allgemeine Methode soll die Stellen in einer der Zahlen See also:aufheben; aber dieses ist zur altmodischen Methode des Notierens Produkte vom Recht nur angebracht.

Eine bessere Methode soll die Positionen der Dezimalkommata ignorieren und multipliziert die Zahlen, als ob sie Dezimalstriche 2734 3 zwischen • 1 und i-o waren. Die Methode E von § des • 314' 59 für angenommen werden, den Multiplikanden und den Vervielfacher werden mit einem See also:

Raum nachdem da viele Stellen (von jedem) wie wird angefordert im Produkt geschrieben (auf der Grundregel erklärt in §101); und die Vermehrung wird vom links, zwei Extraabbildungen durchgeführt, die innen gehalten werden. So 0859 zum Multiplizieren 27,343 mit 3'1Î5927 zu einer Dezimalstelle, benötigen wir Abbildungen 2+1+1=4 im Produkt. Das Resultat ist o85.9=85.9, die Position des Dezimalkommas, das indem es die Abbildungen vor den Dezimalkommata in den ursprünglichen Zahlen festgestellt wird, zählt. 112, Division.In die gleiche Weise, wenn wir ungefähre Abteilung durchführen, fangen entfernen wir Dose an einem bestimmten Stadium an, den Divisor abzukürzen und eine Abbildung (aber mit Korrektur der abschließenden Abbildung von, von teilweisem Produkt) an jedem Stadium. So um 85'9 durch 3'1415927 zu zwei Orten von Dezimalstrichen zu teilen, teilen wir in Wirklichkeit •o859 durch ' 3.1415927 bis vier Orte von Dezimalstrichen. In 9 42 wird die Arbeit, wie hier gezeigt, ein O vor den 859, auf der Grundregel eingesetzt, die in § 106 erklärt wird. Das Resultat der Abteilung ist 27,34. 113, Logarithms.Multiplication, Abteilung, Einwicklung und Entwicklung, wenn die Resultate nicht genau sein können, werden normalerweise einfach, auf jeden Fall zu einem ersten Näherungswert, mittels einer Tabelle von Logarithmen durchgeführt. So um die Quadratwurzel von 2 zu finden, haben wP See also:Maschinenbordbuch 112 = Maschinenbordbuch (ì) = 1 Maschinenbordbuch 2. Wir nehmen Maschinenbordbuch 2 von der Tabelle heraus, halbieren es und finden dann von der Tabelle die Zahl, von der dieses der See also:Logarithmus ist. (SEHEN SIE LOGARITHMUS.), Die Schiebenrichtlinie (sehen Sie See also:RECHENMASCHINEN), ist ein einfacher Apparat für die mechanische Anwendung der Methoden von Logarithmen. Wenn ein erster Näherungswert auf diese Art erreicht worden ist, können weitere Näherungswerte in den verschiedenen Weisen erreicht werden.

So wirgefunden 12 = 1,414 ungefähr wirgefunden hatten, schreiben wir./2 = 1,414-1-0, woher 2=(1.414)2+(2.818)0+02. Da 02 kleiner als ist, 4 von 0820 29 027 34 10 94 0 27 14 2 3141 5927 2734 0859 00 0628 32 230 68 219 91 10 77 135 r 26 (•001)2, können wir drei weitere Abbildungen ungefähr erhalten, indem wir 2(I.414)2 durch 2,818 teilen. 114, Binomiales Theorem.More im Allgemeinen, wenn wir a als ungefährer Wert für die pthwurzel von N erreicht haben, das binomiale Theorem gibt als ungefähre Formel p.(N=a+B, in der N = ap+pap-1B. 115, Series.A-Zahl kann durch eine Reihe Bezeichnungen, so häufig ausgedrückt werden, daß, indem wir aufeinanderfolgenden Bezeichnungen nehmen, wir mehrmals hintereinander genauere Näherungswerte erreichen. Ein Dezimalstrich ist selbstverständlich eine Reihe dieser Art, z.B. 3'14159. . . Mittel 3+1/IO+4/102+1/103+5/104+ 9/IOS+... Eine Reihe Aliquoteteile ist eine andere Art, ist z.B. 3'1416 ein wenig weniger als 3 r~ -1 7. Wiederkehrende Dezimalstriche sind eine bestimmte Art Reihen, die aus dem Ausdruck eines Bruches als Dezimalstrich entstehen. Wenn der Nenner des Bruches, wenn er in seinen niedrigsten Bezeichnungen ist, alle anderen Hauptfaktoren als 2 und 5 enthält, kann er nicht als Dezimalstrich genau ausgedrückt werden; aber nachdem ein bestimmter See also:

Punkt ein definitive Reihe Abbildungen ständig wiederkehrt.

Das See also:

Interesse dieser Reihen ist jedoch hauptsächlich theoretisch. 116, Anhaltendes Products.Instead von als der Summe einer Reihe Bezeichnungen ausgedrückt werden, eine Zahl kann als das Produkt einer Reihe Faktoren ausgedrückt werden, die mehrmals hintereinander mehr und mehr fast gleich bis 1 werden. Z.B., 3.1416=3X I MI = 3XiiH=3X$}X$$$$=3(1+s1r) (1 Außentemperatur). Folglich um mit 3,1416 zu multiplizieren, können wir mit 3-i multiplizieren und subtrahieren 25100 (_ •0004) des Resultats; oder, sich durch 3,1416 zu teilen, können wir 3 vorbei teilen, dann subtrahieren - h des Resultats und fügen dann hinzu - See also:Silikon g des neuen Resultats. 117, Anhaltende Fractions.The-Theorie der anhaltenden Brüche (q.v.) gibt eine Methode des Ausdrückens einer Zahl, in bestimmten Fällen, als anhaltendes Produkt. Ein anhaltender Bruch, der Art betrachten wir, sind ein Ausdruck des &c der Form a+ b+ c+d+. wo b, c, d... Ganzzahlen sind und a eine Ganzzahl oder null ist. Der Ausdruck wird normalerweise, für Kompaktheit, &c a+b+ c+ d+ geschrieben. Die Zahlen a, b, c, d. . . werden die Quotienten benannt.

Jeder genaue Bruch kann als anhaltender Bruch ausgedrückt werden, und es gibt Methoden für das Ausdrücken als anhaltende bestimmte andere Zahlen der Brüche, z.B. Quadratwurzeln, deren Werte nicht als Brüche genau ausgedrückt werden können. Die aufeinanderfolgenden Werte 6, ein I..., erreicht worden, indem man die aufeinanderfolgenden Quotienten berücksichtigt, werden Näherungswerte, d.h. Näherungswerte zum zutreffenden Wert genannt. Die folgenden ist die Haupteigenschaften der Näherungswerte. (i) Wenn wir die Reihe von Näherungswerten vorbei i und vorangehen - h -, dann wird der Zähler (oder der Nenner) jeder Bezeichnung der Reihe ein ab+i 1, b nach den ersten zwei, gefunden, indem man den Zähler (oder Nenner) der letzten vorhergehenden Bezeichnung mit dem entsprechenden Quotienten multipliziert und den Zähler (oder Nenner) der Bezeichnung vorher das hinzufügt. Wenn a null ist, können wir b als der erste Näherungswert ansehen und gehen die Reihe voran, vorbei - u. und -. (ii) konvergenter, das jeder ein Bruch in seinen niedrigsten Bezeichnungen ist. (iii) Die Näherungswerte sind wechselnd kleiner und grösserer als der zutreffende Wert. (iv) Jedes, das konvergent ist, ist zum zutreffenden Wert als jeder möglicher andere Bruch näher dessen Nenner kleiner als der des Näherungswertes ist. (V) Der Unterschied von zwei aufeinanderfolgenden Näherungswerten ist des Produktes ihrer Nenner das wechselseitige; ~ I 1.b e. ab+ 1 _ _ 1 und See also:

abc+c+a ab+r1 g ist +i b b(bc+, das es von diesen letzten drei Eigenschaften daß folgt, wenn die bestimmten Fälle des successiveIn zwei oder mehr Faktoren kombiniert werden können, um einen Ausdruck der Form I=See also:k zu produzieren, in der k eine Ganzzahl ist. Ich ich I zum Beispiel, 3,141 5927=3(1+3T) (I22.106) (I+333'113). aber die letzten zwei dieser Faktoren können wie kombiniert werden (1 1).

22,113 Folglich • 3.5415927=1'Bi'2fsa (i.) Systeme von Measures.l 118. Metrisches metrisches System System.The wurde in See also:

Frankreich am Ende des 18. Jahrhunderts angenommen. Das System ist gänzlich dezimal. Die Hauptmaßeinheiten der Länge, des Gewichts und der Ausgabe sind das Meßinstrument, das See also:Gramm (oder das Gramm) und der Liter. Andere Maßeinheiten werden von diesen durch Vermehrung oder Abteilung durch See also:Energien von zu, die Namen abgeleitet, die durch Präfixe bezeichnet werden. Die Präfixe für Vermehrung vorbei so, 102, ro3 und Io4 sind Deca -, hecto -, Kilo und myria - und die für Abteilung durch niedriges, Io2 und io3 sind deci -, centi- und milli -; das ehemalige ableitend vom Griechen und der letzte vom Latein. So bedeutet Kilogramm Gramm See also:i000 und Zentimetermittel - r eines Meßinstruments. Es gibt auch bestimmte spezielle Maßeinheiten, wie das Hektar, das einem quadratischen hectometre gleich ist, und das Mikron, das u eines Millimeters ist. Das Meßinstrument und das Gramm werden durch die Standardmasse definiert, die in See also:Paris konserviert werden. Der Liter ist einem Kubikdecimetre gleich. Das Gramm sollte dem See also:Gewicht eines Kubikzentimeter reinen Wassers bei einer bestimmten Temperatur gleich sein, aber die See also:Gleichheit ist nur ungefähr.

Das metrische System ist jetzt innen Gebrauch im grösseren Teil der zivilisierten See also:

Welt, aber einige der See also:Masse behalten die Namen der alten veralteten Masse. In See also:Deutschland zum Beispiel im Pfund ist 2 Kilogramm, und ist IHM lbs-See also:Englisch ungefähr gleich. 119, Britische britische Systeme Systems.The haben verschiedene Ursprung und sind noch abhängig von den Veränderungen, die durch lokalen See also:Verbrauch oder durch den Verbrauch der bestimmten Geschäfte verursacht werden. Die folgenden Tabellen werden als Abbildungen der Anordnung gegeben, die anderwohin hallo diesem Artikel angenommen wird; die Eintragungen in jeder möglicher Spalte bezeichnen Mehrfachverbindungsstellen oder Vor-Mehrfachverbindungsstellen der Maßeinheit, die am See also:Kopf der Spalte angegeben wird, und die Eintragungen in irgendeiner Reihe geben den Ausdruck von einer Maßeinheit in der Bezeichnung der anderen Maßeinheiten. LÄNGEN-Zoll. Fuß. Gelände. IChain. See also:Furlong. Meile.

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