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MENSURATION DER SPEZIFISCHEN ABBILDUNGEN

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V18, Seite 139 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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See also:

MENSURATION See also:DER SPEZIFISCHEN ABBILDUNGEN (GEOMETRISCHE) 22. See also:Bereiche See also:des flachen geradlinigen Figures.The-Folgens See also:sind Ausdrücke für die Bereiche einiger einfacher Abbildungen; die Ausdrücke in (i) und in (ii) werden arithmetisch erhalten, während die in (iii)(See also:V) See also:Zerlegung und Neuordnung miteinbeziehen. (i) Quadrat: seitliches a. Area=See also:a2. (ii) See also:Viereck: Seiten a und b.-See also:Bereich = AB. (iii) Recht-winkliges See also:Dreieck: Seiten a und b, das Recht See also:umgebend ein IE. Bereich = Labor. iv) Parallelogramm: zwei gegenüberliegende Seiten a und a, See also:Abstand zwischen ihnen See also:h.-Bereich = ha. (V) Dreieck: eine See also:Seite a, entferntes h vom gegenüberliegenden See also:Winkel. Bereich =;ha. wenn die See also:Daten für irgendwelche dieser Abbildungen anders als die sind, die oben gegeben werden, sind trigonometrical Verhältnisse normalerweise beteiligt. Wenn zum Beispiel die Daten für das Dreieck Seiten a sind und b, einen Winkel See also:C umgebend, der Bereich Laborsin C ist.

23 Die Abbildungen, die in § 22 betrachtet werden, sind bestimmte Fälle vom trapezium, das ein Viereck mit zwei parallelen Seiten ist. Wenn diese Seiten a sind und b, in Abstand h von einem anders, ist der Bereich h.; (a+ B). Im See also:

Fall des Dreiecks des zum Beispiel b ist See also:null, damit der Bereich See also:J ha ist. Das trapezium wird auch manchmal ein "Paralleltrapez," genannt, aber es ist bequem, diese See also:Bezeichnung für eine andere See also:Abbildung (§ 24) aufzuheben. Die wichtigste See also:Form von trapezium ist die, in der eine der zwei restlichen Seiten der Abbildung zu den zwei parallelen Seiten senkrecht ist. Das trapezium ist dann ein rechtes trapezium; die zwei parallelen Seiten werden die Seiten, die Seite, die zu ihnen die See also:Unterseite senkrecht sind, und die 4. Seite die See also:Oberseite genannt. Indem wir senkrecht die zwei parallelen Seiten jedes möglichen trapezium (See also:z.B. ein paralellogram) produzieren, und eine See also:Linie zu ihnen, außerhalb der Abbildung zeichnen, sehen wir, daß sie als der Unterschied von trapezia mit zwei Rechten behandelt werden kann. Es ist jedoch einfacher, sie in ein einzelnes rechtes trapezium umzuwandeln. See also:Lassen Sie CABD (fig. I) ist ein trapezium, die Seiten Ca und DB, das parallel ist. Zeichnen Sie jede gerade Geraden senkrecht zu Ca und zu DB (produziert, wenn necessalry) und sie in See also:M und N.

Along CA und DB See also:

treffen, auf der See also:gleichen Seite von See also:Mangan, Nehmen MA ' = Ca, Notiz: ' = DB; andjoin A'B '. Dann ist MA'B'N ein rechtes trapezium, dessen Bereich dem von CABD gleich ist; und es hängt mit dem letzten so daß, wenn irgendwelche zwei Linien, die zu Wechselstrom und zu BD parallel sind, AB, CD, Mangan, A'B ', in See also:E, in See also:G, in P, in E ' und in See also:F treffen, H, Q, F ' beziehungsweise zusammen der Bereich des Stückes PE'F'Q des rechten trapezium,B ist gleich dem Bereich des Stückes GEFH des ursprünglichen See also:S, trapezium. Das rechte trapezium also konstruiertes F ' ' können genannt werden das gleichwertige rechte trapezium. Im Fall von einem Parallelogramm, ist das gleichwertige Recht, trapezium ein Viereck; im Fall von einem Dreieck, ist es ein recht-winkliges Dreieck. 24. Wenn wir eine See also:Reihe rechtes trapezia nehmen, ist so, daß eine Seite (§ 23) von der ersten einer Seite der Sekunde gleich ist, die andere Seite der Sekunde einer Seite des Third und so See also:weiter gleich und legt sie mit ihren Unterseiten in eine gerade Geraden und ihre Gleichgestelltseiten, die sich See also:angrenzen, erhalten wir eine Abbildung wie MABCDEFS (fig. 2), der zwei parallele Seiten MA und SF, ein niedriges MS senkrecht zu diesen hat, und der See also:Rest seiner See also:Grenze von A zu geradliniges F, kein See also:Teil der Abbildung, die außerhalb des Raumes zwischen MA ist (produziert) und SF (produziert). Eine Abbildung dieser See also:Art wird ein Paralleltrapez genannt. (i) Wenn von eckigen Punkten B the.other, C, See also:D, E, SenkrechtcBn, CP, DQ, ER, zum niedrigen MS See also:gezeichnet werden (fig. 2), der Bereich ist MN.2(MA+NB)+NP. z (NB+ B PC)+... +RS.Z(RE+SF) = B 1(MN.

MA + Wartungstafel Notiz: + Nq. PC+. . + RS. SF). Die Linien MA, Notiz:, PC,... werden die Ordinanten der See also:

Punkte A, B, C benannt. . . . vom niedrigen MS, und vom Teilmangan NP, PQ. . . . von der Unterseite sind die Projektionen der Seiten AB BC CD. . . . auf der Unterseite.

(ii) Ein spezieller Fall ist der, in dem A mit M übereinstimmt, und F mit Abbildung S. The steht dann auf einem niedrigen MS, der Rest seiner Grenze, die eine defekte Linie von M zu S. The ist, das, See also:

Formel dann area=1 wird, (MP.NB+NQ. PC+... +QS. d.h. der Bereich ist Hälfte Summe der Produkte erreichte vorbei RE und multipliziert jede See also:Ordinante mit dem Abstand zwischen den zwei angrenzenden Ordinanten. Es würde möglich sein, diese Form der Abbildung als das allgemeine anzusehen; die Abbildung, die in (i) betrachtet wurde, würde dann den speziellen Fall darstellen, in dem die zwei See also:Ende-Stücke der defekten Linie See also:zur Unterseite senkrecht sind. (iii) Ein anderer spezieller Fall ist der, in dem das Abstandsmangan, NP, PQ. . . Alle RS sind Gleichgestelltes. Wenn dieser Abstand h ist, dann Bereich = h(;MA+NB+PC+... +2SF).

25, den Bereich jeder geradlinigen Abbildung zu See also:

finden, sind verschiedene Methoden vorhanden. (i) Die Abbildung kann in Dreiecke geteilt werden. Das Viereck zum Beispiel besteht aus zwei Dreiecken, und sein Bereich ist das Produkt der Hälfte Länge von einer Diagonale durch die Summe der Senkrechten, die zu dieser Diagonale von den anderen zwei eckigen Punkten gezeichnet werden. Für Abbildungen von mehr als vier Seiten ist diese Methode nicht normalerweise, außer solchen speziellen Fällen eines regelmäßigen Polygons bequem, der in Dreiecke durch die Radien geteilt werden kann, die von seiner Mitte gezeichnet werden. D (ii) nehmen an, daß zwei eckige Punkte, A und E, verbunden werden (fig. 3) damit ein diagonales AE bilden und daß das vollständige CF die Abbildung zwischen Linien durch A und E senkrecht zu AE liegt. Dann ist die Abbildung (normalerweise) die Summe von zwei Paralleltrapezen auf Unterseite AE, und sein Bereich kann G sein, der wie in § 24 errechnet wird. Wenn BN, CP, Fig. 3. DQ. . . Rumpfstation, GT sind die perpen-diculars zu AE von den eckigen Punkten, die Ordinanten Notiz:, PC....

werden den Versatz von der Diagonale zu den eckigen Punkten benannt. Der Bereich des Polygons in fig. 3 wird durch den Ausdruck 2(AP gegeben. NB+NQ. PC+PE. QD+ET. SF+SA. Tg). Es sollte beachtetes (a) sein, daß AP, NQ. SA im zyklischen See also:

Auftrag der Neigungen des See also:Punkt-ABCS genommen werden. . . GA und (b), das in fig.

3, wenn und Notiz: als Positiv angesehen werden, dann SF, TG UND und SA negativ sind, aber die Produkte UND. SF und SA. Tg sind positiv. Negative Produkte entstehen, wenn in bewegendem von A bis E entlang dem Umkreis jeder Seite der Abbildung die See also:

Projektion des beweglichen Punktes nicht immer in die Richtung AE bewegt. (iii) Nehmen Sie jede gerade Geraden, welche schneidet oder nicht die Abbildung, schneidet und zeichnen Sie Senkrechte AA, Bb, cm, DD. . . FF, Gg zu dieser Linie. Dann mit korrekter See also:Aufmerksamkeit zu den Zeichen, area=2(gb. aA+ac '. bB+bd. C+... +fa.

gG). (iv) Die Abbildung kann durch ein gleichwertiges Paralleltrapez ersetzt werden, auf dem See also:

System, das in § 23 erklärt wird. Nehmen Sie jede mögliche Unterseite X'X, und zeichnen Sie Linien senkrecht zu dieser Unterseite durch alle eckigen Punkte der Abbildung. F ließ die Linien durch B, G, C, D und F (fig. g) schnitt die Grenze der Abbildung wieder in B ', in G ', in C ', in D ' und in F und trifft die Unterseite X'X in See also:K, in See also:L, in M, in N und in P; die Punkte A und E, die an den Extremitäten der Abbildung ist, und die Linien durch sie die Unterseite in a und in e. dann treffend, wenn wir Ordinanten KB nehmen, Fahrwerk, Mc, Nd, Leistungsfaktor, Gleichgestelltes zu B'B, GG ', C'C, D'D, FF ', die Abbildung abecdfe sind das gleichwertige Paralleltrapez, und jede mögliche Ordinante, die von der Unterseite zur Oberseite LM N P e X dieses Paralleltrapezes gezeichnet wird, ist die Ordinante (produziert) die innerhalb der ursprünglichen Abbildung fällt. 26, See also:Ausgaben Körper mit dem Folgen der Fläche Faces.The sind Ausdrücke für die Ausgaben einiger einfacher fester Abbildungen. (i) Würfel: seitliche a.-See also:Ausgabe = a3. (ii) Rechteckiger Parallelepiped: Seiten a, b, c.-Ausgabe = See also:ABC. (iii) Rechtes See also:Prisma. Ausgabe = Länge des Bereichs des Randes X des Endes. (iv) Schiefes Prisma. Ausgaben- = HöhenX Bereich des Endes = der Länge des Bereichs des Randes X des Querschnitts; die "Höhe", die der Senkrechtabstand zwischen den zwei Enden ist. Der Parallelepiped ist ein bestimmter Fall.

(V) See also:

Pyramide mit geradliniger Unterseite. Ausgabe = Höhe X }. Bereich der Unterseite. Das See also:Tetraeder ist ein bestimmter Fall. (vi) See also:Keil: Ähnlichkeit umrandet a, b, c; Bereich von Querschnittss. Volume = i(a+b+c)S. Diese Formel hält für den allgemeinen Fall, in dem die Unterseite ein trapezium ist; der Keil, der folglich durch den Schnitt eines dreieckigen Prismas durch irgendwelche zwei Flächen gebildet wird. (vii) See also:Frustum der Pyramide mit geradliniger Unterseite: Höhe h; Bereiche der Enden (d.h. Unterseite und Oberseite) A und B. Volume=h. j-(A+ fAB+B). 27, Die Abbildungen, die in § 26 betrachtet werden, sind bestimmte Fälle des prismoid (oder des prismatoid), das als feste Abbildung mit zwei parallelen flachen geradlinigen Enden definiert werden kann, jedes der anderen (d.h. Gesichter des Seitenteils), die ein Dreieck mit einem eckigen Punkt in einem Ende der Abbildung und seiner gegenüberliegenden Seite im anderen sind.

Zwei anliegende Gesichter in der gleichen Fläche können zusammen bilden ein trapezium. Kürzer, kann die Abbildung als See also:

Polyeder mit zwei parallelen Gesichtern definiert werden, die alle See also:Gipfel enthalten. Wenn See also:R und S die Enden eines prismoid, des A und des B ihre Bereiche, h der Senkrechtabstand zwischen ihnen und C der Bereich eines Abschnitts durch eine Fläche sind, die zu R und zu S parallel ist und auf halbem Wege zwischen ihnen, ist die Ausgabe des prismoid §h(A+4C+B). Dieses bekannt als die prismoidal Formel. Die Formel ist ein See also:Abzug von einer allgemeinen Formel, später betrachtet (§ 58) und kann in den verschiedenen Weisen überprüft werden. Das lehrreichste ist, das prismoid als aufgebaut (durch Hinzufügung oder Abzug) von den einfacheren Abbildungen anzusehen, die bestimmte Fälle von ihm sind. (i) Lassen Sie R und S der Gipfel und die Unterseite einer Pyramide sein. Dann A See also:O, C =;B und Ausgabe = 4hB = eh(A -1- 4C + B). Das Tetraeder ist ein bestimmter Fall. (ii) Lassen Sie R ein See also:Rand eines Keils mit parallelen Enden sein und S das See also:Gesicht, das die anderen zwei Ränder enthält. Dann ließ A = 0, C = iB und Ausgabe =;hB = sh(A+4C+B)• (iii) R und S zwei gegenüberliegende Ränder eines Tetraeders sein. Dann kann das Tetraeder als der Unterschied eines Keils mit parallelen Enden, einer der Ränder, die sind-R, und eine Pyramide angesehen werden deren Unterseite ein Parallelogramm ist, eine Seite des Parallelogrammes, das S ist (sehen Sie fig.

9, § 58). Folglich durch (i) und (ii), hält die Formel für diese Abbildung. (iv) Für das prismoid im allgemeinen lassen Sie ABCD. . . seien Sie ein Ende und abcd. . . das andere. Nehmen Sie irgendeinen Punkt P im letzten, und bilden Sie Dreiecke, indem Sie P zu jeder der Seiten AB BC verbinden. . . AB bc.. von den Enden und auch zu jedem der Ränder. Dann wird das prismoid in eine Pyramide mit Gipfel P und Unterseite ABCD... und in eine Reihe tetrahedra, wie PABa oder PAab geteilt.

Durch (i) und (iii) die Formeleinflüsse für jede dieser Abbildungen; und folglich hält sie für das prismoid als Ganzes. Eine andere Methode des Überprüfens der Formel soll einen Punkt Q im Mittlerabschnitt nehmen und teilt sich herauf das prismoid in zwei Pyramiden mit Gipfel Q und gründet ABCD. . . und abcd. . . beziehungsweise und eine Reihe tetrahedra, das Q als ein Gipfel hat. 28, Der Kreis und verbündete das mensttration Figures.The p des Kreises wird auf der See also:

Eigenschaft gegründet, daß die Bereiche der unterschiedlichen Kreise zu den Quadraten auf ihren Durchmessern proportional sind. Das See also:konstante Verhältnis durch 4r bezeichnend, ist der Bereich eines Kreises ira2, in dem a der See also:Radius ist, und r=•14159 ungefähr. Das Ausdruckszra für die Länge des Umkreises kann abgeleitet werden, indem man die See also:Begrenzung auf den Bereich betrachtet, der von einem Kreis von Radius a durch einen konzentrischen Kreis des Radius AA abgeschnitten wird, wenn a unbestimmt See also:klein wird; dieses ist ein grundlegender Fall von der Unterscheidung. Die Längen der See also:Bogen des gleichen Kreises, der zu den theangles proportional ist, subtended durch sie in der Mitte, wir erhalten die See also:Idee des circulaimasses. Lassen Sie 0 die allgemeine Mitte von zwei Kreisen, von Radien a und b sein, und lassen Sie die Radien, die einen Winkel B umgeben (kreisförmiges Maß) schneiden ihre Umkreise in A, in B und in C, D beziehungsweise (fig. See also:5).

Dann ist der Bereich von ABDC Zb28za20=(ba) 4(b+a)B. Wenn wir AB und CD in P und in Q beziehungsweise halbieren und den Bogen PQ eines Kreises mit Mitte 0 beschreiben, ist die Länge dieses Bogens z (b+a)e; und b a = AB-folglich Bereich ABDC- = AB-X Bogen PQ. Die Abbildung ABDC ist ein Sektor eines Rings, der nach dem Schnitt aus einem konzentrischen Kreis der Teil eines Kreises ist, nach links. 29, Vom Halten des Kreises für die Begrenzung auf einen See also:

Polygon, folgt sie daß die Formeln (iii) und (V) des Einflußes des § 26 für einen rechten kreisförmigen See also:Zylinder und einen rechten kreisförmigen See also:Kegel; d.h.. Ausgabe rechter kreisförmiger Zylinder- = LängenX Bereich der Unterseite; Ausgabe rechter kreisförmiger Kegel = Höhe X ein Bereich der Unterseite. Diese Formeln halten auch für jeden rechten Zylinder und irgendeinen Kegel. 30, Die gebogenen Oberflächen des Zylinders und des Kegels sind developable Oberflächen; d.h. sie können auf einer Fläche entrollt werden. Die gebogene Oberfläche jedes rechten Zylinders (ob Rundschreiben oder nicht) wird ein Viereck und folglich Umkreis sein Bereich = LängencX der Unterseite. Die gebogene Oberfläche eines rechten kreisförmigen Kegels wird ein Sektor eines Kreises und sein Bereich = slant Umkreis der Höhe X der Unterseite. 31, Wenn a der Radius eines Bereichs ist, dann (i) Ausgabe Bereich = ire; (ii) Oberfläche der sphere=4ra2=curved-Oberfläche des Umgrenzens des Zylinders. Das erste von diesen ist ein bestimmter Fall von der prismoidal Formel (§ 58). um (i) und (ii) zusammen zu erreichen, zeigen wir, daß die Ausgabe eines Bereichs zur Ausgabe des Würfels proportional ist dessen Rand der See also:Durchmesser ist; das konstante Verhältnis durch 8X bezeichnend, ist die Ausgabe des Bereichs Xaa, und darauf, indem er zwei konzentrische Bereiche (cf.

§ 28) nimmt, ist der Bereich der Oberfläche 3X¢2. Diese Oberfläche kann oben in Elemente aufgespaltet werden, von denen jedes einem entsprechenden See also:

Element der gebogenen Oberfläche des Umgrenzenzylinders gleich ist, damit Oberfläche 3Xa2=curved von cylinder=à. 2ra=4ra2. Folglich a=See also:tr. Die Gesamtoberfläche des Zylinders ist 4ra2+ra2+ra2=62ra2, und seine Ausgabe ist à.ir¢2=22raa. Folglich Ausgabe Bereich = Ausgabe des Umgrenzens des Zylinders; Oberfläche des Bereichs = i-Oberfläche des Umgrenzens des Zylinders. Diese letzten Formeln liegen an See also:Archimedes. 32, Momente und Centroids.For ist jeder materielle Körper dort ein Punkt, der hinsichtlich des Körpers, so örtlich festgelegt ist, daß der Moment des Körpers hinsichtlich jeder möglicher Fläche derselbe ist, als ob die vollständige See also:Masse an diesem Punkt gesammelt wurden; der Moment, der die Summe der Produkte jedes Elements der Masse des Körpers durch seinen Abstand von der Fläche ist. Dieser Punkt ist der Schwerpunkt des Körpers. Die Ideen des Momentes und des Schwerpunkts werden auf geometrische Abbildungen, ob Körper verlängert, oberflächlich oder linear. Der Moment einer Abbildung hinsichtlich einer Fläche wird gefunden, indem man die Abbildung in Elemente der Ausgabe, des Bereichs oder der Länge teilt, jedes Element mit seinem Abstand von der Fläche multipliziert, und die Produkte addiert. Im Fall eines flachen Bereichs oder der flachen ununterbrochenen Linie ist der Moment hinsichtlich einer geraden Geraden in der Fläche derselbe wie der Moment hinsichtlich einer Senkrechtfläche durch diese Linie; d.h. es ist die Summe der Produkte jedes Elements des Bereichs oder der Länge durch seinen Abstand von der geraden Geraden. Der Schwerpunkt einer Abbildung ist ein Punkt, der hinsichtlich der Abbildung geregelt werden, und so, daß sein Moment hinsichtlich jeder möglicher Fläche (oder, im Fall eines flachen Bereichs oder der Linie, hinsichtlich irgendeiner Linie in der Fläche) derselbe ist, als ob die vollständige Ausgabe, der Bereich oder die Länge an diesem Punkt konzentriert wurden.

Der Schwerpunkt wird manchmal die Mitte der Ausgabe, Mitte des Bereichs oder Mitte des Bogens genannt. Der See also:

Beweis des Bestehens des Schwerpunkts einer Abbildung ist derselbe wie der Beweis des Bestehens des Schwerpunktes eines Körpers. (Sehen Sie See also:MECHANIKER.), Der Moment, wie oben beschrieben wird manchmal der erste Moment benannt. Der zweite Moment, dritter Moment. . . von einer Fläche oder von einer festen Abbildung werden in der gleichen Weise gefunden, indem man jedes Element mit dem Quadrat, dem Würfel... seines Abstandes von der Linie oder der Fläche multipliziert, hinsichtlich deren die Momente gedauert werden. Wenn wir das erste teilen, Sekunde, Third. . . Momente durch die Gesamtausgabe, den Bereich oder die Länge der Abbildung, erhalten wir den Mittelabstand, Mittelquadrat des Abstandes, Mittelwürfel des Abstandes. . . von der Abbildung von der Linie oder von der Fläche. Der Mittelabstand einer flachen Abbildung von einer Linie in seiner Fläche oder jeder möglicher Abbildung von einer Fläche, ist folglich derselbe wie der ' Abstand des Schwerpunkts der Abbildung von der Linie oder von der Fläche.

Wir benötigen manchmal die Momente hinsichtlich einer Linie oder einer Fläche durch den Schwerpunkt. Wenn kein der Bereich einer flachen Abbildung und Ni, N2 ist. . . sind seine Momente hinsichtlich einer Linie in seiner Fläche, die Momente MI, M2. . . hinsichtlich einer parallelen Linie durch den Schwerpunkt werden durch Mi = NZ = xNo = O, M2=N22xNi+x2No=N2-x2No, - MQ=NQgxNQ_i+q(q2(2()4'igxQ iNi+)4xNo gegeben; wo x = der Abstand zwischen den zwei Linien = N1/No. Diese Formeln halten auch für umwandelnde Momente einer festen Abbildung hinsichtlich einer Fläche in Momente hinsichtlich einer parallelen Fläche durch den Schwerpunkt; x seiend der Abstand zwischen den zwei Flächen. Eine Linie durch den Schwerpunkt einer flachen Abbildung (gezeichnet in die Fläche der Abbildung) ist eine zentrale Linie und eine Fläche durch den Schwerpunkt einer festen Abbildung ist eine zentrale Fläche, der Abbildung. Der Schwerpunkt eines Viereckes ist seine Mitte, d.h. der Koinzidenzpunkt seiner Diagonalen. Der erste Moment einer flachen Abbildung hinsichtlich einer Linie in seiner Fläche kann als erreicht worden angesehen werden, indem man unbestimmt den Bereich in grundlegende See also:

Streifen durch eine Reihe parallele Linien nahe zusammen teilt, und den Bereich jedes Streifens in seiner Mitte konzentriert. Ähnlich kann der erste Moment einer festen Abbildung als erreicht worden angesehen werden, indem man die Abbildung in grundlegende Prismen durch zwei Sätze der parallelen Flächen teilt, und die Ausgabe jedes Prismas in seiner Mitte konzentriert. Dieses hält auch für höhere Momente, vorausgesetzt daß die Ränder der grundlegenden Streifen oder die Prismen zur Linie oder zur Fläche parallel sind, hinsichtlich deren die Momente gedauert werden.

33, Körper und Oberflächen von See also:

Revolution.The, das fest sind oder von Oberflächen erzeugt durch die Umdrehung einer Fläche schlossen Abbildung, oder eine flache ununterbrochene Linie über eine gerade Geraden in seiner Fläche, sie nicht schneiden, ist ein Körper der Umdrehung oder der Oberfläche der Umdrehung, die gerade Gerade, die seine See also:Mittellinie ist. Die Umdrehung braucht, nicht See also:komplett zu sein, aber kann durch jeden möglichen Winkel sein. Der See also:Abschnitt eines Körpers der Umdrehung durch eine Fläche senkrecht zur Mittellinie ist ein See also:Ring oder ein Sektor eines Rings (fig. 5) oder besteht aus zwei oder mehr solchen Abbildungen. Wenn der Körper in Elemente durch eine Reihe solcher Flächen geteilt wird und wenn h der Abstand zwischen zwei nachfolgenden Flächen ist, die Abschnitte wie ABDC in fig. 5 bilden, ist die Ausgabe des Elements zwischen diesen Flächen, wenn h sehr klein ist, ungefähr h x Bogen AB X PQ = h. AB OP.0. Das entsprechende Element der rotierenden Abbildung ist ein ungefähr Viereck des Bereichs h. AB, und ist der Abstand des mittleren Punktes jeder Seite des Viereckes von der Mittellinie OP. Folglich ist die Gesamtausgabe des Körpers M.0, in dem M die Summe der Quantitäten h.AB.OP ist, ist d.h. der Moment der Abbildung hinsichtlich der Mittellinie. Die Ausgabe ist folglich Gleichgestelltes zu S. y.0, in dem S der Bereich der rotierenden Abbildung ist, und See also:Silikon ist der Abstand seines Schwerpunkts von der Mittellinie. Ähnlich kann eine Oberfläche der Umdrehung durch Flächen zur Mittellinie in Elemente senkrecht geteilt werden, von denen jedes ein ungefähr Abschnitt der Oberfläche eines rechten kreisförmigen Kegels ist.

Indem man jedes solche Element (§ 30) in einen Sektor eines kreisförmigen Rings entrollt, wird es gefunden, daß das ganze Gebiet der Oberfläche M'.9=L.a.0, in dem M ' der Moment der ursprünglichen Kurve hinsichtlich der Mittellinie ist, L ist die Gesamtlänge der ursprünglichen Kurve ist und 2 der Abstand des Schwerpunkts der Kurve von der Mittellinie ist. Diese zwei Theoreme können angegeben werden, wie folgt: (i) Wenn irgendeine flache Abbildung über eine externe Mittellinie in seiner Fläche rotiert, ist die Ausgabe des Körpers, der durch die Umdrehung erzeugt wird, dem Produkt des Bereichs der Abbildung gleich und der Abstand reiste durch den Schwerpunkt der Abbildung. (ii) Wenn irgendeine Linie in einer Fläche über eine externe Mittellinie in der Fläche rotiert, ist der Bereich der gebogenen Oberfläche, die durch die Umdrehung erzeugt wird, dem Produkt der Länge der Linie gleich und der Abstand reiste durch den Schwerpunkt der Linie. Diese Theoreme wurden von Pappus von See also:

Alexandria (c. A.D. 300) entdeckt, und wurden im Allgemeinen bekannt von Guldinus (c. A.D. 1640) gebildet. Sie bekannt manchmal als Theoreme Guldinuss, aber werden richtig als die Theoreme von Pappus beschrieben. Die Theoreme sind vom Gebrauch, nicht nur für das Finden der Ausgaben oder der Bereiche der Körper oder der Oberflächen der Umdrehung, aber auch andererseits für das Finden der Schwerpunkte oder der Schwerpunkte. Sie können, zum Beispiel, See also:am Finden des Schwerpunkts eines Halbrundes oder vom Bogen eines Halbrundes angewendet werden. 34, Segment der Parabola.The-Parabel leistet sich ein einfaches Beispiel des Gebrauches der infinitesimals.

Lassen Sie AB (fig. 6) ist jeder möglicher Bogen einer Parabel; und nehmen Sie an, daß wir den Bereich der Abbildung benötigen, die durch diesen Bogen und die Spannweite AB gesprungen wird. Zeichnen Sie die Tangenten an A und an B und an T treffen; zeichnen Sie Fernsehapparat, der zur Mittellinie der Parabel parallel ist und den Bogen in C und die Spannweite in V treffen; und m-abgehobener Betrag die Tangente an C, treffend AN und an BT in a und in b. dann (sehen Sie PARABEL), TC=CV, AV=VB und K AB ist zu AB, damit aC=Cb parallel. Folglich Bereich des Dreiecks ACB = zweimal Bereich des DreieckaTb. Den Prozeß mit den Bogen Wechselstrom und See also:

COLUMBIUM wiederholend und die See also:Wiederholung unbestimmt fortsetzend, teilen uns wir herauf den angeforderten Bereich und den Rest des Dreiecks ATB in entsprechende Elemente, jedes Element des ehemaligen Seins die doppelten entsprechenden Elemente vom letzten. Folglich ist der angeforderte Bereich der doppelte Bereich des Restes des Dreiecks, und folglich ist er zweidrittel des Bereichs des Dreiecks. Die Linie TCV ist zur Mittellinie der Parabel parallel. Wenn wir eine Linie senkrecht zu TCV zeichnen und TCV treffen, das in M und in den Ähnlichkeiten durch A produziert werden und B in K und in L, ist der Bereich des Dreiecks ATB iKL. FERNSEHAPPARAT = KILOLITERCCv; und folglich sprang der Bereich der Abbildung durch AK, See also:BL, KL und der Bogen AB, ist =}KL(AK+4CM+BL) Des i(L }(AK+BL)+IKLÇM4(AK+BL) }. Ähnlich für eine entsprechende Zahl K'L'BA außerhalb der Parabel, ist der Bereich eK'L'(K'A+4M'C+LB). 35, Der See also:Ellipse und das grundlegende mensuration See also:Ellipsoid.For der Ellipse soll als durch Projektion des Kreises erreicht worden angesehen werden und das Ellipsoid durch Projektion des Bereichs. Folglich ist der Bereich eines Ellipse dessen Äxte à und 2b sind, Trab; und die Ausgabe eines Ellipsoids dessen Äxte à, 2b und 2c sind, ist tirabc.

Der Bereich eines Streifens eines Ellipse zwischen zwei Linien, die zu einer Mittellinie parallel sind, oder die Ausgabe des Teils (Frustum) eines Ellipsoids zwischen zwei Flächen, die zu einem Hauptabschnitt parallel sind, können in der gleichen Weise gefunden werden. 6 Beispiele der Applications.The-Formeln von § 24 für den Bereich eines Paralleltrapezes sind vom speziellen Wert beim See also:

Land-See also:Vermessen. Die Maße eines polygonalen Feldes oder anderer Bereich werden normalerweise wie in § 25 (ii) genommen; ein diagonales AE wird als die Grundlinie und für die Punkte B, C, D genommen. werden die Abstände, AP, AQ, entlang der Grundlinie und die Längen und die Richtungen des Versatzes Notiz:, PC, QD betreten. . . Der Bereich wird dann durch die Formel von § 25 (ii) gegeben. 37, Das mensuration der Bodenbewegung bezieht See also:Betrachtung der Vierecke deren Maße durch spezielle Daten gegeben werden, und der prismoids mit ein deren Abschnitte solche Vierecke sind. Im gewöhnlichen See also:Kasten drei der vier seitlichen Oberflächen des prismoid seien Sie zu den zwei Enden senkrecht. In den speziellen Fällen sind zwei dieser drei seitlichen Oberflächen zum Third gleichmäßig geneigt. (i) In fig. ließen 7 niedriges BC=à und ließen h sind der Abstand, senkrecht gemessen zu BC, vom mittleren Punkt von BC zu V. CHR. auch, lassen Winkel ABC = a-0, Winkel BCD=r-4 ', Winkel zwischen BC und See also:ANZEIGE = 0. Dann (als der Unterschied von zwei Dreiecken) Bereich ABCD = (h-cot 4.+a)2 (h-cot 4'a)2 2(cot 4'cot 4 ') 2(COt ¢+cot e) ' (ii), wenn 4'=0, dieses Zapfenbereich = Säurenummer wird, Säurenummer 0 Säurenummer 0)2 a2 Btang 4'(h +a.

(iii) Wenn ¢ = O, damit ANZEIGE BC parallel ist, es Bereich = àh+ z wird (cot 0 + cot ¢)h2. (iv) Die Ausgabe eines prismoidal Ausschnitts mit vertikalen Enden und mit den Seiten finden, die zur Vertikale, damit 0=0 gleichmäßig geneigt sind, lassen Sie die See also:

Werte von h, 4' für die zwei Enden ist und ha, 4'a, und otcot 01 m, cot O See also:schreiben des cot 4"(a + h, cot B), n, = cot,p, + cote (a + hallo cot 0), cot B des cot 2 des m-cot,k (a + h2 cot B), n2FTe-c°t 02 + cot B (a + ha-cot 0).

End of Article: MENSURATION DER SPEZIFISCHEN ABBILDUNGEN

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