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MENSURATION VON
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See also:MENSURATION VON DIAGRAMMEN 38. (a) Preliminary.In-§ 23 See also:der See also:Bereich eines rechten trapezium ist in der See also:Unterseite und den zwei Seiten ausgedrückt ausgedrückt worden; und in § 34 ist der Bereich einer ein wenig ähnlichen See also:Abbildung, die See also:Oberseite, die durch einen See also:Bogen einer Parabel ersetzt wird, in seiner Unterseite ausgedrückt und von drei Längen ausgedrückt worden, die als die Seiten von zwei verschiedenen Abbildungen angesehen werden können, aus denen sie besteht. Wir haben jetzt, die Verlängerung von Formeln dieser See also:Art zu anderen Abbildungen und ihre Anwendung zu betrachten See also:zur Berechnung von Momenten und von See also:Ausgaben. 39, Die Fläche stellt mit See also:dar, welchem uns kommen hauptsächlich unter die Beschreibung der Diagramme der ununterbrochenen Veränderung betroffen werden. See also:Lassen Sie See also:E und See also: Wenn zum Beispiel das Diagramm ein trapezium waren, würde die Berechnung des Bereichs mit dem See also:Finden des Integrals, von x=a zu x=b, eines Ausdruckes der See also: Es kann als erzeugt worden angesehen werden entweder durch ein trapezette, das senkrecht in eine Richtung zu sich bewegt und ändert, sein oberes aber seine Breite unverändert hält, oder durch eine bewegende Ordinante, damit sein Fuß jede mögliche Position innerhalb einer rechteckigen Unterseite hat. 43, Darstellungs- und Definitions.The-Ordinante des trapezette wird durch u und die See also:Abszisse dieser Ordinante bezeichnet, d.h. wird der Abstand seines Fusses von einem bestimmten Fixpunkt oder von einem Ursprung 0 auf der Unterseite (oder der Unterseite produziert), durch x bezeichnet, damit u irgendeine Funktion von x. ist, welches die Seiten des trapezette die "springenden Ordinanten" sind; ihre Abszissen, die xo und xo+H sind, in denen H die Breite des trapezette ist. Die "Mittlerordinante" ist die Ordinante vom mittleren Punkt der Unterseite, d.h. die Ordinante deren Abszisse xo+2H ist. Die "Mittelordinante" oder die durchschnittliche Ordinante ist eine Ordinante von Länge L so, daß hl dem Bereich des trapezette gleich ist. Es erscheint folglich als errechnete Länge anstatt als definitive Linie in der Abbildung; außer daß, wenn es nur eine Ordinante dieser Länge gibt, ist eine Linie, die durch seine Extremität gezeichnet wird, also gesetzt, daß der Bereich des trapezette, das über ihm liegt, einem entsprechenden Bereich unterhalb er und der Außenseite das trapezette gleich ist. Die Formeln, die den Bereich eines trapezette geben, sollten im allgemeinen auch ausgedrückt werden, um den Wert der Mittelordinante (§§ 12 (See also: um der Streifen oder ihre Mittlerordinanten u.'l, 14. . . 44, der Fall vom Brikett, welches die Position des Fusses der Ordinante u vorbei ausgedrückt wird, koordiniert x, y, sich bezogen ein Paar auf Äxte, die zu einem Paar Seiten der Unterseite des Briketts parallel sind. Wenn die Längen dieser Seiten H und K sind, koordiniert die Koordinaten der See also:Winkel des basei.e. von den Rändern des briquetteare (xo, Yo), (xo+H, Yo), (des xo, des Yo+K) und (xo+H, yo+K). Das Brikett kann als in eine Reihe kleine Briketts durch zwei Sätze der parallelen Flächen geteilt worden normalerweise angesehen werden, die Flächen jedes Satzes, der in mehrmals hintereinander gleichen Abständen ist. Wenn die Flächen von einem See also: . . herauf..., oder (iii) die "Mittlerordinanten" 14.4, uI, I. . . ui, I. . . von den kleinen Briketts d.h. die Ordinanten von den See also:Mitten ihrer Unterseiten. Eine Fläche, die zu jedem Paar Seiten des Briketts parallel ist, ist eine "Hauptfläche.", Die Ordinante durch den Schwerpunkt der Abbildung ist die "zentrale Ordinante.", 45, In einigen Fällen sind die Daten für ein trapezette oder ein Brikett nicht nur bestimmte Ordinanten innerhalb oder auf der Grenze der Abbildung, aber auch andere, welche die Fortsetzung der Reihe außerhalb der Abbildung bilden. Für ein trapezette zum Beispiel sie kann sein. . . u_2, u_1, uo, u1... um, um+1 u,, +2..., wo See also:Zug die gleiche Funktion von x=xo+Oh bezeichnet, ob wie zwischen den Begrenzungen O und H oder nicht liegt. Diese Fälle auch sind, so wichtig, den einfacheren Formeln ermöglichend und zentrale See also:Unterschiede mit einbeziehen, verwendet zu werden (§ 76). 46, Der Bereich des trapezette, gemessen von der niedrigeren springenden Ordinante bis zur Ordinante, die jedem möglichem Wert von x entspricht, ist irgendeine Funktion von x. in der See also:Darstellung des integralen Kalküls, dieser Bereich ist gleich f-xoudx; aber die Darstellung ist ungünstig, da sie eine See also:Abteilung in Infinitesimalelemente andeutet, die nicht zur See also:Idee eines Bereichs wesentlich ist. Es ist folglich besser, irgendeine unabhängige Darstellung, wie Ay zu benutzen. u. Es wird bequem, See also:sp(b) -0(a) zu bezeichnen, wo 4 (X) jede mögliche Funktion von x ist, vorbei [ ¢(x) ] x _ a gefunden; der Bereich des trapezette dessen springende Ordinanten uo und um sind, kann dann vorbei bezeichnet werden [ Ay. xo u ] x _ oder [ wie. u ] 8 = u, anstelle durch vom f-xoudx. In der gleichen Weise kann die See also:Ausgabe eines Briketts zwischen den Flächen x = xo, y = yo, x = a, y = b vorbei bezeichnet werden [ [ Vx.y-u]y=yo]x=xxo ' 47. Die See also:Aussage, daß die Ordinante u eines trapezette eine Funktion der Abszisse x ist oder daß u=f(x), muß vom u=f(x) als die Gleichung zur Oberseite des trapezette bemerkenswert sein. In der grundlegenden See also:Geometrie beschäftigen wir Linien und Kurven, während im mensuration wir die See also:Bereiche beschäftigen, die durch diese Linien oder Kurven gesprungen werden. Der Kreis zum Beispiel wird geometrisch als eine Linie angesehen, die in einer bestimmten Weise beschrieben wird, während vom Gesichtspunkt von mensuration es eine Abbildung einer bestimmten Form ist. Ähnlich beschäftigt analytische Planimetrie die Kurve, die durch einen Punkt beschrieben wird, der in einer bestimmten Weise bewegt, während analytisches flaches mensuration die Abbildung beschäftigt, die durch eine bewegende Ordinante erzeugt wird, damit seine Länge in eine bestimmte Weise abhängig von seiner Position schwankt. In der gleichen Weise im Fall von einer Abbildung in drei Maßen, wird analytische Geometrie mit der Form der Oberfläche betroffen, während analytisches mensuration mit der Abbildung als Ganzes betroffen wird. 48, Darstellung der Ausgabe durch wichtiges flaches Diagramm Area.An ist die, die die Ausgabe einer festen Abbildung darstellt. Nehmen Sie daß wir nehmen ein Paar parallele Flugzeuge an, so, daß der Körper von einem auf die andere dieser Flächen verlängert. Der See also:Abschnitt durch jede parallele Zwischenfläche wird genannt einen "Querschnitt.", Der Körper kann als durch die bewegliche Ähnlichkeit des Querschnitts zu sich und seine Form oder seine Position erzeugt worden dann angesehen werden hinsichtlich einer örtlich festgelegten Mittellinie ändernd, zu der sie immer senkrecht ist, da sie bewegt. Wenn der Bereich des Querschnitts, in jeder Position, in seinem Abstand von einer der springenden Flächen oder von einer örtlich festgelegten Fläche ausgedrückt bekannt. Eine Ähnlichkeit zu ihnen, die Ausgabe des Körpers kann in dem Bereich eines trapezette ausgedrückt ausgedrückt werden. Lassen Sie See also: Das Resultat des Behandelns dieses Bereichs, als ob es die Ordinante eines trapezette war, führt zu spezielle Formeln, wenn die Daten von der Art sind, die in § 44 erwähnt wird. 49, (b) Mensuration von Diagrammen der algebraischen Kategorie Functions.The erstes der zu betrachtenden Fälle enthält jene Fälle, in denen u eine algebraische Funktion (d.h. eine rationale integrale algebraische Funktion) von x ist, oder von x und von y, eines Grads, der bekannt. ö. Der einfachste Fall ist der, in dem u konstant ist oder eine lineare Funktion von x ist, ist d.h. vom Formpx + vom q., die das trapezette dann ein rechtes trapezium ist, und sein Bereich, wenn m=l, ist +h(uo + u1) oder hul. 51, Der folgende Fall ist der, in dem u eine quadratische Funktion von x ist, ist d.h. von der Form px2 + qx + See also: Then es, kann G gezeigt werden, daß De zu AB parallel ist und daß der Bereich der Abbildung zwischen Spannweitede und Bogende Hälfte Summe der Bereiche DHA und EJB. Hence ist, der Bereich des rechten trapezium KHJL grösser als der Bereich des trapezette KACt3L ist. Wenn wir QD und RE näeher an MC nehmen sollten, würde der ehemalige Bereich noch grösser sein. Wenn andererseits wir sie nah an KA sehr nehmen sollten und lbs beziehungsweise, der Bereich des trapezette das grössere sein würde. Es gibt folglich irgendeine Zwischenposition so, daß die zwei Bereiche gleich sind; d.h. so, daß der Bereich des trapezette von KL dargestellt wird. +(QD + BEZÜGLICH). Diese Position finden, lassen Sie uns schreiben QM = See also:HERR = 0. Kilometer. Dann WC = 02. VC, VW = (I 02) VC; gebogener Bereich ACB = J des Parallelogrammes AFGB = aKL. VC; Parallelogramm AHJB = Kiloliter. VW = (1 02) KILOLITER. VC. Folglich sind die Bereiche des trapezette und des trapezium wenn i92=1,0=I/V3 gleich. Dieser Wert von 0 ist derselbe für alle Parabeln, die durch D und B überschreiten und ihre Äxte senkrecht zu Kiloliter haben. Er folgt daß, vom Nehmen von zwei Ordinanten in einer bestimmten Position hinsichtlich der springenden Ordinanten, der Bereich jedes Parabolischen trapezette dessen obere Durchläufe durch ihre Extremitäten in diesen Ordinanten ausgedrückt und von der Breite des trapezette ausgedrückt werden können. Die gleiche Formel hält auch (§ 52) für jedes Kubiktrapezette durch die See also:Punkte. 57. Dieses ist ein bestimmter Fall von einem allgemeinen Theorem, wegen des See also:Gauss, daß, wenn u eine algebraische Funktion von x des Grads 2p oder 2p+I ist, der Bereich ausgedrückte in'terms von sein kann die p- + i-Ordinanten, die in den verwendbaren Positionen genommen werden. 58, Das Prismoidal Formula.It folgt von §§ 48 und 51, die, wenn V eine feste Abbildung ist, die von einer Fläche K auf eine parallele Fläche L verlängert und wenn der Bereich jeder Querschnittsähnlichkeit zu diesen Flächen eine quadratische Funktion des Abstandes des Abschnitts von einer örtlich festgelegten Fläche ist, die zu ihnen parallel ist, Formel Simpsons angewendet werden kann, um die Ausgabe des Körpers zu finden. Wenn die Bereiche der zwei Enden in den Flächen K und L so und S2 sind und der Bereich des Mittlerabschnitts (d.h. der Abschnitt durch eine Fläche parallel zu diesen Flächen und auf halbem Wege zwischen ihnen) S2 ist, ist die Ausgabe $$H(So + 4S1 + S2), wo H die Gesamtbreite ist. Diese Formel trifft auf solche Abbildungen wie den See also:Kegel, den Bereich, das See also:Ellipsoid und das prismoid zu. Im Fall des Bereichs zum Beispiel dessen See also:Radius R ist, des Bereichs des Abschnitts in Abstand x von der Mitte, ist r(R2x2), das eine quadratische Funktion von x ist; die Werte von so: Sr und S2 sind beziehungsweise O, irR2 und O, und die Ausgabe ist Bereich = H(uo + û1 + u2) = yh(uo + û1 + U2). Dieses ist Formel Simpsons. Wenn anstelle vom uo, anstelle u1 und von u2, haben wir das uo mit vier Ordinanten, uns, U2, und u2, damit m = 3, es gezeigt werden kann daß Bereich = eh(uo + ú1 + ú2 + wir). Dieses ist Simpsons zweiter Formel. Es kann von der Formel abgeleitet werden, die oben gegeben wird. Die Bereiche der drei Streifen, indem wir A, B, und See also: Es gibt zwei Kategorien Fälle, insofern innen gleichmäßig oder See also:ungerade ist; es ist bequem, sie für jene Fälle zuerst zu betrachten, in denen die Daten die springenden Ordinanten der Streifen sind. (i) Wenn m gleichmäßig ist, ist ulm one_of die gegebenen Ordinanten, und wir können hùlm, hû'm... in ulm und seinen sogar zentralen Unterschieden ausgedrückt ausdrücken (sehen Sie UNTERSCHIEDE, KALKÜL von). Schreibend in = 2p und die Koeffizienten der aufeinanderfolgenden Unterschiede gruppierend, finden wir folglich c. 2R. 4?rR2 = tirR2. Bereich = 2ph up+p23ùp ' 3p4 5p2 3ûp +, zu zeigen, daß der Bereich eines Querschnitts eines prismoid von 6 360 die Form ax2 + bx + c ist, wo x 3p8 21p4 + 28p2 6 der Abstand des Abschnitts von A B 15120 3 un + See also:Ende des ••• eins ist, können wir als innen fortfahren, wenn u von Grad 2f oder 2f + i in x ist, wir erfordern, um bis zur &21un-Höhe zu gehen, also sind hg.I h, der Fall von einer See also:Pyramide, von, Bereich des e, daß m nicht kleiner als Formel 2f. Simpsons sein muß (erstes), für vorbei die Fläche, die zum niedrigen Fall, Einflüsse für f = i parallel ist, und wird erhalten, indem man p = i nimmt und und in Abstand x vom See also:Gipfel, Unterschiede nach 3ù ist zu ignorieren. offenbar Bereich x2/h2 X der Unterseite. (ii) Wenn m ungerade ist, sind die gegebenen Ordinanten uo. . . u;m_l, ulm+;, Im Fall von einem See also:Keil mit... um. Wir haben dann Ähnlichkeitsenden, die das Verhältnis x2/h2 bezüglich m2 3 x 3m4 50m2 + 135 4 setzte durch x/h ist. Für ein See also:Tetraeder Bereich = mh µ141m + 24 u;m µ3 + ulm mit 5760 µb + zwei von deren gegenüber von Rändern FIG. 9 sind. AB und DIGITALSCHALLPLATTE, benötigen wir den Bereich des Abschnitts durch eine Fläche, die zu AB parallel ist und CD ließ den Abstand zwischen den parallelen Flächen durch AB und CD h sein, und lassen Sie eine Fläche in Abstand x von der Fläche durch AB schneiden den Randwechselstrom, 3m6 _ 147m4 + 18131n2 4725µ30m.+. 96768o wo/Unterseeboot. . . bezeichnen Sie 3(ulm; + ulm+;), 5(bùlm_i + BC, BD, See also:ANZEIGE, in P, Q, R, S (fig. 9). Dann ist der Abschnitt der Pyramide durch diese Fläche das Parallelogramm PQRS. Durch zeichnenden Wechselstrom und Anzeige parallel zu BC und BD um die Fläche durch CD, in c und in d und im Produzieren von QP und von RS zu treffen, um Wechselstrom und Anzeige in q und in r zu treffen sehen, wir, daß der Bereich von PQRS ist (x-/hx2/h2)Xbereich von $CDd; dieses ist auch eine quadratische Funktion von x., welches die See also:Angelegenheit für ein prismoid durch die Methode von § 27 (iv) dann im Allgemeinen hergestellt werden kann. Die Formel bekannt als die prismoidal Formel. 59, Moments.Since, das alle Punkte auf jeder möglicher Ordinante in einem gleichen Abstand von der Mittellinie von u, es sind, wird leicht gezeigt, daß der erste Moment (hinsichtlich dieser Mittellinie) eines trapezette dessen Ordinante ist, u dem Bereich eines trapezette gleich ist dessen Ordinante xu ist; und dieser Bereich kann durch die Methoden der vorhergehenden Abschnitte gefunden werden, in den Fällen wo u eine algebraische Funktion von x. ist, welches die Formeln See also:am Finden der Momente bestimmter Ausgaben dann angewendet werden können. Im Fall des Parabolischen trapezette des zum Beispiel xu ist von Grad I in x, und folglich ist der erste Moment h(xouo+4xlui+xù2)• n der See also:Kasten, folglich jedes möglichen Körpers dessen Querschnitt in Abstand x von einem Ende eine quadratische Funktion von x ist, soll die Position des Querschnitts durch den Schwerpunkt gefunden werden, indem sie die Position des Schwerpunktes der Partikel der Massen feststellt, die zu so proportional sind, des S2 und des 4S1, gesetzt worden an den Extremitäten und an der Mitte einer Linie, die von einem Ende des Körpers zum anderen gezeichnet wird. Der Schwerpunkt einer Hemisphäre von Radius R zum Beispiel ist derselbe wie der Schwerpunkt der Partikel der Massen O, TR2 und 4.'-, r.See also:R2, gesetzt an den Extremitäten und an der Mitte seiner Mittellinie; d.h. ist der Schwerpunkt in dem Abstand, der vom flachen See also:Gesicht IR ist. õ. Die Methode kann auf das Finden der Sekunde, dritte verlängert werden. Momente eines trapezette hinsichtlich der Mittellinie von u., wenn u eine algebraische Funktion von x des Grads p nicht übersteigend ist und wenn der Bereich eines trapezette, für das die Ordinante V vom Grad ist, der nicht ¢+q. übersteigt, können durch eine Formel Xov0+yivi+ ausgedrückt werden. . . +Xmvm, der qthmoment des trapezette ist 71oxOQUO+XixIÛ1+... +XmxrQum, und der Mittelwert von x4 ist (Xox0û0 + Xix1û1 +... + Xmxmgum)f(Xouo + Xiul+... + XmUm)• die Berechnung dieses letzten Ausdruckes wird vereinfacht, indem man beachtet, daß wir nur mit den gegenseitigen Verhältnissen von X0, X1 betroffen werden. . . und von uns, u1. . nicht mit ihren tatsächlichen Werten. 61, Cubature eines Briquette.To verlängern diese Methoden auf ein bri-yette, in dem die Ordinante u eine algebraische Funktion von x und von y, die Äxte von x und von y ist, das zu den Seiten der Unterseite parallel ist, wir betrachten, daß der Bereich eines Abschnitts in Abstand x vom flachen xo in den Ordinanten ausgedrückt ausgedrückt wird, in denen es die Reihe der Flächen, Ähnlichkeit zum y=o, durch die gegebenen Ordinanten des Briketts (§ 44) schneidet; und daß der Bereich des Abschnitts dann durch die Ordinante eines trapezette dargestellt wird. Diese Ordinante ist eine algebraische Funktion von x, und wir können eine verwendbare Formel wieder anwenden. Nehmen Sie zum Beispiel daß u vom Grad ist, der nicht 3 in x übersteigt, und des Grads an, der nicht 3 in y übersteigt, d.h. dieses es enthält Bezeichnungen im xaya xsy2, x2ys, &c.; und nehmen Sie an, daß die Ränder, die parallel sind zu, welchem x und y gemessen werden, von den Längen 2h und 3k, das Brikett sind, das in sechs Elemente durch die Fläche x=xo+h geteilt werden und die Flächen y=yo+k, y=yo+2k und daß die 12 Ordinanten, welche die Ränder dieser sechs Elemente bilden, gegeben werden. Die Bereiche der Seiten, für die x=xo und x=xo+2h und vom Abschnitt durch die Fläche x=xo+h, durch Simpsons zweiter Formel gefunden werden können; nennen Sie diese AO und See also:A2 und See also:A1. Der Bereich des Abschnitts durch eine Fläche in Abstand x vom Randx=xo ist eine Funktion von x dessen Grad derselbe wie ist, der von der Formel u. folglich Simpsons zutrifft, und die Ausgabe ist }h(Ao+Â1+ wie). Der Prozeß wird vereinfacht, indem man zuerst die allgemeine Formel notiert und die Werte von u., dann, ersetzend ist die Formel, im oben genannten Fall, Ih ] Ik (uo, O + úo, 1 + úo, s + uo, $) + 4 X Ik(ui, O +...) + §k (wir, O +..) wo 0.0 für die die Ordinante x=xo+9h, y=yo+l'k bezeichnet. Das Resultat ist dasselbe, als ob wir Ik(vo + 3v1+3v2 + gegen) mit §h(uo + û1 +us) multiplizierten, und ersetzte dann uovo, uovl. durch uo O, u0,1..., Die See also:Vermehrung wird im anliegenden Diagramm gezeigt; die Faktoren I und f werden draußen, damit das Summenuo, o+úo, 1+ gehalten. . . +ûl, o+.... kann errechnet werden, bevor es mit;h multipliziert wird. ek. 62, Das oben genannte ist bestimmter Fall des a von einer allgemeinen Grundregel, die das Erreichen eines Ausdruckes wie Ih(uo+ûl+U2) oder Ik(vo+é1+3v2+vs) ein Betrieb ist, der am uo oder an Vl durchgeführt wird und die dieser Betrieb die Summe einer Anzahl von Betrieben wie der ist, die Ihuo oder limo erreicht. Die Ausgabe des Briketts, für das u eine Funktion von x ist und y durch den Betrieb der doppelten Integration gefunden wird, bestehend aus zwei aufeinanderfolgenden Betrieben, einer, der hinsichtlich x sind, und der andere hinsichtlich y; und diese See also:Betriebe können (in den Fällen, mit denen wir betroffen werden), werden durchgeführt in jedem See also:Auftrag. Abfahrend von jedem möglichem Ordinantenue, ist ¢, das Resultat der Integrierung hinsichtlich x durch einen Abstand 2h (im Beispiel betrachtet in § 61) dasselbe wie das Resultat des Betriebsfh(i + -Ê + -E2), wo e-` den Betrieb des Änderns von x in x+h bezeichnet (sehen Sie UNTERSCHIEDE, CALCULUSoF). In die Integration mit Respektspielzeug kann ähnlich (im bestimmten Beispiel) wird ersetzt durch den Betrieb Ik(1+É'+É'2+E's), wo E ' die Änderung von y y + k. das Resultat des Durchführens beider Betriebe bezeichnet, um die Ausgabe zu erhalten, ist das Resultat des Betriebes, der durch das Produkt dieser zwei Ausdrücke bezeichnet wird; und in diesem Produkt können die Energien von E und von E ' entsprechend algebraischen Gesetzen behandelt werden. Die Methoden von §§ 59 und õ können auf das Finden der Position der zentralen Ordinante eines Briketts oder Abstand des Mittelq ' der Elemente des Briketts von einer Hauptfläche ähnlich verlängert werden. 63, (c) Mensuration von Diagrammen, die Generally.We nahe bei haben, betrachten die Verlängerung der vorhergehenden Methoden zu den Fällen, in denen u nicht notwendigerweise eine algebraische Funktion von x oder von x und von y ist. Die allgemeine Grundregel ist, daß die numerischen Daten, von denen ein bestimmtes Resultat abgeleitet werden soll, im das genaue allgemeinen nicht sind, aber wird nur zu einem bestimmten Grad Genauigkeit gegeben. Dieses begrenzt die Genauigkeit des Resultats; und wir können die Abbildung durch eine andere Abbildung folglich ersetzen, die mit ihr ungefähr übereinstimmt, vorausgesetzt daß die weitere Ungenauigkeit also eingeführt mit den ursprünglichen Ungenauigkeiten des Maßes See also:vergleichbar ist. Die Relation zwischen der Ungenauigkeit der Daten und der zusätzlichen Ungenauigkeit wegen des Ersatzes einer anderen Abbildung ist der Relation zwischen den Ungenauigkeiten im mensuration einer Abbildung ähnlich, die von einer gegebenen Form (§ 20) sein soll. Die Ausgabe eines See also:Frustum eines Kegels zum Beispiel kann in bestimmten Größen ausgedrückt durch eine bestimmte Formel ausgedrückt werden; aber nicht nur gibt es irgendeine Störung im Maß dieser Größen, aber es gibt keine materielle Abbildung, die ein genauer Kegel ist. Die Formel kann jedoch verwendet werden, wenn die See also:Abweichung von der konischen Form verhältnismäßig kleiner als die Störungen des Maßes ist. Die Bedingungen sind folglich denen ähnlich, die in der See also:Interpolation (q.v.) entstehen. Die Daten sind dieselben in beiden Fällen. Im Fall eines trapezette zum Beispiel der Daten sind die Größen bestimmter Ordinanten; das Problem Interpolation soll die Werte von Zwischenordinanten feststellen, während das von mensuration den Bereich der Abbildung feststellen soll, von der diese die Ordinanten sind. Wenn, wie normalerweise der Fall, kann die Ordinante während jedes Streifens des trapezette als algebraische Funktion der Abszisse ungefähr ausgedrückt werden, die Anwendung des integralen Kalküls gibt den Bereich der Abbildung. 64, Es gibt drei Kategorien zu betrachtende Fälle. Im Fall bestimmter Zustände der mathematischen Funktionen des Durchganges sind erfüllt, und zu dem der See also:Umfang der Wert, der durch jede bestimmte Formel gegeben wird, vom zutreffenden Wert sich unterscheidet, kann innerhalb bestimmter Begrenzungen geschätzt werden; die Hauptungenauigkeit, in den vorteilhaften Fällen, liegend an der Tatsache, daß die numerischen Daten nicht See also:absolut genau sind. In den körperlichen und mechanischen Anwendungen in denen konkrete Maße beteiligt sind, gibt es, wie im vorhergehenden Abschnitt, die zusätzliche Ungenauigkeit unterstrichen, die See also:passend ist, von Genauigkeit in der Abbildung selbst zu wünschen. Im Fall statistischer Daten gibt es die weitere Schwierigkeit, daß es keinen realen Durchgang gibt, da wir mit einer begrenzten Zahl betroffen werden. von den Einzelpersonen. Die korrekte Behandlung der Abweichungen von der mathematischen Genauigkeit, in der zweiten und im Third der oben genannten Kategorien von Fällen, ist eine spezielle Angelegenheit. In was folgt, ihm wird angenommen, daß die Zustände des Durchganges (die den Durchgang nicht nur von u aber auch von einigen seiner differentialpcoefficients andeuten), erfüllt sind, abhängig von den kleinen Störungen in den Werten von u wirklich gegeben; die Begrenzungen auf diese Störungen, die bekannt sind. 65, Es ist nur notwendig, das trapezette und das Brikett zu betrachten, da die Fälle, die auftreten, auf einer oder anderer dieser Formen in der Praxis verringert werden können. In jedem Fall sind die Daten die Werte bestimmter äquidistanter Ordinanten, wie in §§ 43-45 beschrieben. Die BezeichnungsQuadratur-formel und -formel werden manchmal auf Formeln für das Ausdrücken des Bereichs eines trapezette oder die Ausgabe eines Briketts, in solchen Daten ausgedrückt eingeschränkt. So ist eine See also:Quadratur-Formel eine Formel für das Ausdrücken von ]See also:As. u ] oder, fudx in einer Reihe gegebenen Werten von u ausgedrückt, während eine Cubatureformel eine Formel für das Ausdrücken ist [ [ gegen, y. u ] ] oder f, das in den Werten von u für bestimmte Werte von x ausgedrückt im See also:Verbindung mit bestimmten Werten von y fudxdy ist; diese Werte nicht ' notwendigerweise liegend innerhalb der Begrenzungen auf die Integrationen. 66, Es gibt zwei Hauptmethoden. Das erste, das gewußt gut ist, aber ist von begrenzter Anwendung, besteht, wenn es jeden aufeinanderfolgenden See also:Teil der Abbildung durch eine andere Abbildung ersetzt deren Ordinante eine algebraische Funktion von x oder von x und von y ist, und den Bereich oder die Ausgabe dieser letzten Abbildung (genau oder ungefähr) in den gegebenen Ordinanten ausgedrückt ausdrückt. Die Sekunde besteht im Nehmen verhältnismässig, im einfachen Ausdruck, der auf diese Art und das Vorstellen der Korrekturen erhalten wird, denen die Werte von Ordinanten an oder nahe den See also:Grenzen der Abbildung miteinbeziehen Sie. Die verschiedenen Methoden werden zuerst für das trapezette, die Verlängerungen zum Brikett betrachtet, das nur See also:kurz behandelt wird. 67, Die trapezoide einfachste Methode Rule.The soll das trapezette durch eine Reihe trapezia ersetzen. Wenn die Daten uo sind, konservieren Sie..., Um, die Abbildung, die gebildet wird, indem es die Oberseiten dieser Ordinanten verbindet, ist ein Paralleltrapez dessen Bereich. ist k(}uo+u1+u2+... +Um1+Zumi. Dieses wird der trapezoide oder Sehnenbereich genannt und wird von C1 bezeichnet werden. Wenn die Daten uQ, u sind. um-i-ich, können wir eine Reihe trapezia bilden, indem wir die Tangenten an den Extremitäten dieser Ordinanten zeichnen; die Summe der Bereiche von diesen trapezia ist k(ul+ui+... +um, das dieses den tangentialen Bereich genannt wird und wird von T1 bezeichnet. Kann ich I 4 L, XI 3 3 I 3 3 I 3 3 tangentialer Bereich I 4 I2 I2 4 in Sehnenbereichen ausgedrückt ausgedrückt werden. Wenn wir wo P, Q, R. . . erfüllen Sie die k-Gleichungen = das I, schreiben Sie CF für den Sehnenbereich, der erhalten wird, indem Sie nehmen Ordinanten an P+Q+R+..., Abstände ah, dann T1=2C;C1•, wenn das trapezette, wie von Pp2+Qq2+Rr2+ gesehen... = O oben, überall konvexer Körper oder überall See also:konkav ist, der zutreffende Bereich Pp4 LF Qq4 + Rr4 +.... = O, Lügen zwischen C und T1. 68, Andere Richtlinien für Trapezettes.The-Verlängerung dieser Methode besteht, wenn sie das trapezette in kleine trapezettes, jedes teilen, das aus zwei oder mehr Streifen besteht und jedes dieser kleinen trapezettes durch eine neue Abbildung ersetzt, deren Ordinante V eine algebraische Funktion von x ist; diese Funktion, die gewählt wird, damit die neue Abbildung mit der ursprünglichen Abbildung übereinstimmt, soweit die gegebenen Ordinanten betroffen werden. Dies heißt, daß, wenn das kleine trapezette aus k-Streifen besteht, v vom Grad k oder kI in x ist, insofern die Daten die springenden Ordinanten oder die Mittlerordinanten sind. Wenn A den zutreffenden Bereich des ursprünglichen trapezette bezeichnet und. B der gesamte Bereich der ersetzten Abbildungen, haben wir ein B, wo-bezeichnen ungefähre See also:Gleichheit. Der Wert von B wird durch die Methoden von §§ 49-55 gefunden. Die folgenden ist einige Beispiele. (i) Nehmen Sie an, daß die springenden Ordinanten gegeben werden und daß m eine Mehrfachverbindungsstelle von 2 ist. Dann können wir die Streifen in den Paaren nehmen und behandeln jedes Paar als Parabolisches trapezette. Formel Simpsons an jedem von diesen anwendend, haben wir A - p-ah(uo + û1 + u2) + ah(u2 + û3 + u4) +... Bundesrepublikah(uo + û1 + 2% + û3 + Ù4 +... + ùm-2 + ûm-1 + um). Dieses ist See also:Richtlinie Simpsons. (ii) Ähnlich wenn m eine Mehrfachverbindungsstelle von 3 ist, gibt die wiederholte Anwendung von Simpsons zweiter Formel Simpsons zweiter th(uo der Richtlinie A a + ú1 + ú2+ Ù3 + ú4 + - •• + úm_4 + ùm-3 + úm_2 + úm_1 + um). (iii) Wenn Mittlerordinanten gegeben werden und m eine Mehrfachverbindungsstelle von 3 ist, gibt die wiederholte Anwendung der Formel von § 55 A4-jh(ú44+ù;+314 +314;+... +ùm_l+úm-k). 69, Die Formeln werden schwierig, wenn die Zahl Streifen in jedem der kleinen trapezettes groß ist. Die Methode wird dann durch das Ersetzen von B durch einen Ausdruck geändert, der die Bereiche der ersetzten Abbildungen ungefähr gibt. Dieses stellt eine weitere Ungenauigkeit vor; aber dieses letzte kann im Vergleich mit den bereits betroffenen Hauptungenauigkeiten unwesentlich sein (cf. § 20 (iii)). Nehmen Sie, zum Beispiel, dieses m=6 und das an, die wir das trapezette als Ganzes betrachten; die Daten, die die springenden Ordinanten sind. Da es sieben von diesen gibt, ist v von Grad 6 in x; und wir haben (§ 54 (i)) B=6h(v3+26213+1*6'vo+B I, b4v3)=6h(u3+16ù3+1 p6û8+~4 g6, u3) - wenn wir 54' ersetzen, gibt 56u3 in diesem Ausdruck durch 5496143, die Methode von § 68 iah A-11 (uo + ü1 + 142 + 6u3 + u4 + üs + u6); der Ausdruck auf der rechten See also:Seite, die ein ungefährer Ausdruck für B ist und von ihm nur durch 2-16H66u3 sich unterscheidet. Dieses ist Richtlinie Weddles. Wenn m eine Mehrfachverbindungsstelle von 6 ist, können wir einen Ausdruck for.A erhalten, indem wir die Richtlinie an jeder See also:Gruppe von sechs Streifen anwenden. 70, Einige der Formeln, die durch die oben genannten Methoden erreicht werden, können in den Sehnen- oder tangentialen Bereichen ausgedrückt einfach ausgedrückt werden, die in den verschiedenen Weisen genommen werden. Betrachten Sie z.B. Richtlinie Simpsons (§ 68 (i)). Der Ausdruck für A kann in die Form ' See also:Patio + ul+ 142 + 143 geschrieben werden +. . . + um_2+ um-1 + %um) ah(auo+ u2 + u4+ - - - +um-2+See also:aura)• jetzt, wenn p irgendein See also:Faktor von m ist, es Reihen äquidistantes Ordinantenuo, herauf, u2p gibt. ump, u,;,; und der Sehnenbereich, wie durch diese Ordinanten festgestellt ist ph(auo+up+ u2p+. . . . +um-p+aura), das von Cp bezeichnet werden kann. Mit dieser Darstellung kann der Bereich, wie durch Richtlinie Simpsons gegeben worden in die Form tClaC2 oder C1+a(CÇ2) geschrieben werden. Die folgenden ist einige Beispiele von Formeln dieser Art, in Sehnenbereichen ausgedrückt. (i) m eine Mehrfachverbindungsstelle von 2 (Richtlinie Simpsons). A11-a(4C1 C211"c1 + (Cl C2)• (ii) m eine Mehrfachverbindungsstelle von 3 (Simpsons zweiter Richtlinie). Ein 1-1 1(9C1 C3) --°cCl + Ein s(C1 C3). (iii) m eine Mehrfachverbindungsstelle von 4. Ein 1i 1s(64C1 òC2+C4) 11 C1+e(C1 Co) a'6(Cl C4). (iv) m eine Mehrfachverbindungsstelle von 6 (Richtlinie Weddles oder seine wiederholte Anwendung). -1 -- 11o(15C16C2+C3) S1-Cl +1(C1 C2)?5(C2 Co. (V) m eine Mehrfachverbindungsstelle von 12. Ein 1' - 316(56C1 28C2 +803 C4) 11 _ C1+6(Cl C2) 6(C2 C3) + 1i6(Cs C4). Dort sind ähnliche Formeln in den tangentialen Bereichen ausgedrückt Ti, T2, T3 folglich (iii) von § 68 können A 1 schriftlich? T3 kk(9T1). 71, Die allgemeine Methode des Konstruierens der Formeln aus § 70 für Sehnenbereiche ist diese, wenn p, q, r. . . sind k der Faktoren (einschließlich I) von m, nehmen wir A -2 PCp+ QC4+RC, +.. • pp2k-2 + Qg2k-2 + Rr2k-2 +... = 0. Das letzte k -1 dieser Gleichungen geben I/P: 1/Q: I/R:..., = p2(p2 g2)(p2 r2)... g2(g2p2)(g2r2)...: r2(r2 p2)(r2 q2)...:... Dieses mit der ersten Gleichung kombinierend, erhalten wir die Werte von P, Q,R. die gleiche Methode beantragen tangentiale Bereiche, indem wir nehmen A1-PTp+QTQ+RT.+..., vorausgesetzt daß p, q, r. . . sind ungerade See also:Zahlen. 72, Die See also:Rechtfertigung der oben genannten Methoden liegt in bestimmten Eigenschaften der Reihe der aufeinanderfolgenden Unterschiede von u., welches die grundlegende See also:Annahme ist, daß jede Gruppe Streifen des trapezette durch eine Abbildung ersetzt werden kann, für die Unterschiede von u, über denen eines bestimmten Auftrages, verschwinden (§ 54). Die Legitimität dieser Annahme und der weiteren Annahme, die dem Bereich der neuen Abbildung ermöglicht, durch eine ungefähre Formel anstelle von einer genauen Formel vorbei ausgedrückt zu werden, muß durch Hinweis auf den tatsächlichen Unterschieden auf jeden Fall überprüft werden. 73, Korrektur mittels der extremen vorhergehenden Methoden Ordinates.The, obwohl, verschiedene Einwände des geöffneten tq in der Praxis, wie das folgende anscheinend See also:einfach sind: (i) Die See also:Anweisung der Einwandkoeffizienten der unterschiedlichen Ordinanten und sogar die Vorwähler von Ordinanten, mit dem See also:Ziel das Finden von C2, Co, &c. (§ 70), ist unangenehm. (ii) Diese Anweisung der unterschiedlichen Koeffizienten bedeutet, daß unterschiedliche Gewichte zu den unterschiedlichen Ordinanten gegeben werden; und die relativen Gewichte können möglicherweise nicht mit den relativen Genauigkeiten des Maßes übereinstimmen. (iii) Unterschiedliche Formeln müssen für unterschiedliche Werte von m angenommen werden; die Methode ist folglich für den See also:Aufbau einer Tabelle unpassend, die aufeinanderfolgende Werte des Bereichs bis zu den aufeinanderfolgenden Ordinanten gibt. (iv) um zu finden was Formel angewendet werden kann, ist es notwendig, die aufeinanderfolgenden Unterschiede von u zu nehmen; und es ist dann gerade, wie einfach in den meisten Fällen eine Formel zu verwenden, die direkt diese Unterschiede miteinbezieht und folglich den Grad der Genauigkeit des Näherungswerts zeigt. Die alternative Methode besteht folglich, wenn sie eine einfache ' Formel, wie die trapezoide Richtlinie und Beheben sie, um den gegenseitigen Relationen der Unterschiede zu entsprechen nimmt. 74, um die Methode zu veranschaulichen, nehmen Sie an, daß wir das Sehnenbereichscl benutzen und daß das trapezette tatsächlich Parabolisch ist. Der Unterschied zwischen C1 und dem zutreffenden Bereich besteht eine Reihe Bereiche, die durch Spannweiten und Bogen gesprungen werden; dieser werdene Unterschied kleiner, wie wir die Abbildung in eine grössere Anzahl von Streifen unterteilen. Die Tatsache, daß Cl nicht den zutreffenden Bereich gibt, liegt an der Tatsache, der, beim Überschreiten von einer Extremität der Oberseite jedes möglichen Streifens zur anderen Extremität die Tangente zum trapezette seine Richtung ändert. Wir haben folglich und "- - - b-Richtungen der Tangenten. Lassen Sie KABL (fig.) ist einer der Streifen, des abgehobenen Betrages der Breite h. die Tangenten an A und an B und an T treffen; und durch t-abgehobenen Betrag IST eine Linie, die zum KA und zu lbs, den Bogen AB in C und in der Spannweite AB treffend in V. Draw AD parallel ist und zu diesem lin und ZUM DF- und TG-Senkrechten zu lbs, an erster See also:Stelle senkrecht, zu sehen, ob die erencedose e ausdrückliches n f-hdif d e dann AD=EB=ah benennt, und die Dreiecke K AVD und BVE sind gleich. Der Bereich des trapezette ist kleiner (in fig. See also:niedrig) als der Bereich des trapezium KABL durch zweidrittel des Bereichs des Dreiecks ATB (§ 34). Zusätzliche Informationen und AnmerkungenEs gibt keine Anmerkungen dennoch für diesen Artikel.
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