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KALKÜL VON

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V08, Seite 764 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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KALKÜL VON . Bevor dem See also:

Lassen diesem Thema See also:des Anschlußes See also:der Grundregel von stationärer Tätigkeit mit einem weithin bekannten Theorem von See also:Optik, kann beachtet werden. Für die See also:Bewegung eines Partikels in einem konservativen Kraftfeld nimmt die Grundregel die Gestalt See also:S See also:f vds=0. an. (zu) auf der korpuskularen Theorie des Lichtes ist See also:V zum brechenden See also:indexµ des Mittels, woher S f ADS = 0. proportional. . . (ii) In der See also:Formel (2) wird die See also:Energie in der hypothetischen Bewegung vorgeschrieben, während die See also:Zeit der Durchfahrt von der Initiale zum abschließenden See also:con-figuration variabel ist. Andere und im Allgemeinen mehr bequemes Theorem Hamiltons, wegen Hamiltons, wird die Zeit von prin- DurchfahrtIan vorgeschrieben, um zu sein dieselbe, wie in der tatsächlichen Bewegung, während ciple. die Energie unterschiedlich sein in kann und nicht in braucht (in der See also:Tat) konstant seien Sie. Unter diesen Bedingungen haben wir t'(T V)dt s f = 0. . (12) See also:c, wo t, t ' die vorgeschriebenen Zeiten des Überschreitens durch die gegebenen Ausgangs- und abschließenden Konfigurationen See also:sind. Der See also:Beweis von (12) ist See also:einfach; wir haben SJ-t(TV)dt = f: (STSV)dt = f I (Mm(±U ySj/+ibi)SV}dt = [ Em(isx+ioy+zoz) ] "t f: ', See also:Papier.lösekorotron 12m (lax+pay+2Sz) +SV }. Die integrierten Bezeichnungen verschwinden an beiden Begrenzungen, da durch See also:Hypothese die Konfigurationen an diesen Augenblicken örtlich festgelegt sind; und die Bezeichnungen unter dem Integralzeichen verschwinden durch Grundregel der See also:d'Alemberts. Die Tatsache, die (12) in der Veränderung nicht die Zeit der Durchfahrt beeinflußt, See also:macht die Formel einfach von der Anwendung in jedem möglichem See also:System von koordiniert.

So um Gleichungen Lagranges abzuleiten, haben wir f (STSV)dt = f-/aqSq+a4 aq Sql... Papier.lösekorotron = [ p1Sq+p2Sg2+... ] See also:

O ' _ es "1 (P1_aq +aq) Eqi+ (1~àQz+aQ2 Eq2+... dt.(14), welches die integrierten Bezeichnungen an beiden Begrenzungen verschwinden; und so See also:dass der See also:Rest des rechten Mitgliedes verschwinden kann, ist es notwendig, daß die Koeffizienten von SQ1, Sq2... unter dem Integralzeichen für alle See also:Werte von t, da verschwinden sollten die Schwankungen der Frage unabhängig sind. und Thema nur zum See also:Zustand des Verschwindens an den Begrenzungen auf Integration. Wir werden folglich zu Gleichung Lagranges der Bewegung für ein konservatives System geführt. Es scheint, daß die Formel (12) sowie eine kompakte Verkörperung des Ganzen der gewöhnlichen See also:Dynamik ein bequemes ist. Die Änderung der Hamiltongrundregel, die See also:am See also:Kasten der zyklischen Systeme See also:passend ist, ist von See also:J. Larmor gegeben worden. Verlängerung, wenn wir See also:schreiben, wie in § 1 (25), zu den zyklischen Systemen. See also:R=tkx-See also:k'x'-k"x "..., . (15) haben wir von (RV)dt=0. c, vorausgesetzt daß die Veränderung nicht das zyklische Momentum s beeinflußt, K ', K ",..., und das die Konfigurationen manchmal t und t ' sind unverändert, soweit sie vom offensichtlichen koordinieren qi, gz,-... gm• das Ausgangs abhängen und abschließende Werte von ignoriert werden im allgemeinen beeinflußt koordiniert. um (16) haben uns zu prüfen, auf den oben genannten understandings, S f: (R V)dt = f (STKEX... SV)dt t ' an OT = DL f (a-Eq~+...

+ag-Oa'+... - EV). (Bezeichnungen 17)where sind in der Tugend von § See also:

5 (2) annulliert worden. Das letzte Mitglied von (17) stellt eine Veränderung des integralen f-t'(TV)dt auf der Vermutung See also:dar, die SX=o, 3X' = O, SX"=o... gänzlich, während Sqi, Sq2, Sqm manchmal t und t ' verschwinden; d.See also:h. es ist eine Veränderung, in der die Ausgangs- und abschließenden Konfigurationen See also:absolut unverändert sind. Es verschwindet folglich als Folge der Hamiltongrundregel in seiner ursprünglichen See also:Form. Larmor hat auch die entsprechende Form der Grundregel weniger Tätigkeit gegeben. Er zeigt den, wenn wir A = f schreiben (...)dt 2TKXKX'. (18) dann à = 0. . (19) lieferten die mannigfaltige Bewegung stattfindet mit dem See also:gleichen konstanten Wert der Energie und mit dem gleichen konstanten zyklischen Momentum, zwischen den gleichen zwei Konfigurationen, diesen das being, das betrachtet wurde, wie durch das offensichtliche definiert alleine koordiniert. § 8. Hamiltons See also:Haupt- und charakteristische Funktionen. In den Untersuchungen nahe bei seien einer ausgedehnteren Bedeutung wird gegeben zum See also:Symbol S.

We, das beschrieben Sie See also:

Wille, im ersten See also:Fall, durch es eine Infinitesimalveränderung der allgemeinen hauptsächlichart bezeichnen und die Werte der Co-Funktionsordinanten irgendwie am Augenblick, aber auch die Ausgangs- und abschließenden Konfigurationen und die Zeiten des Überschreitens durch sie nicht bloß beeinflussen. Wenn wir s- = f-t'(TV)dt uns setzten. (1) haben wir dann ` SS=(T'V')See also:St'(TV)St+ f (STSV)dt _ (T'V ') an ' (T V) St+ [ EM (AEx+See also:DEy+zOz) ]. (2) lassen Sie uns bezeichnen jetzt durch x'+Sx ', y'+Sy ', See also:z'+Ez ', die Endrunde koordiniert (d.h. See also:zur Zeit t'+St ') von einem Partikelm. in den Bezeichnungen in (2), die auf der oberen See also:Begrenzung beziehen, die, wir Ox'x'St folglich schreiben müssen ', 6z'2'. ' für Sx, Sy, Sz. Mit einer ähnlichen Änderung an der untereren See also:Grenze, erreichen wir SS = HSr+gym (x'Sx'+y'Sy'+t'Sz ') Em(tOx+iOy+zEz). . (3) wo H(=T+V) ist, ist der See also:konstante Wert der Energie in der freien Bewegung des Systems und das r(=t't) die Zeit der Durchfahrt. In generalisiert, koordiniert dieses annimmt die Gestalt SS = HSr+p'lOq'i+p'23q'2+... piEgipÈg2..... (4) jetzt, wenn wir irgendwelche zwei willkürlichen Konfigurationen vorwählen, wie zuerst und abschließend, ist es daß wir Dose im allgemeinen (durch verwendbare Ausgangsgeschwindigkeiten oder Antriebe) Anfang das System, damit es von sich Durchlauf vom ersten zur Sekunde in jeder möglicher vorgeschriebenen Zeit r. auf dieser Ansicht der See also:Angelegenheit wird, S ist eine Funktion vom Ausgangs offensichtlich und Endrunde koordiniert (qi, q2... und q'See also:l, q'2...) und die Zeit r, als unabhängige Variablen. Und wir erreichen sofort von (4), wie als P _, aq, y'2 = + See also:a2..., OS als PU = - agl, p2=-age... und H = oder S wird durch See also:Hamilton die Hauptfunktion benannt; wenn seine allgemeine Form für irgendein System gefunden werden kann, genügen die vorhergehenden Gleichungen, die Bewegung festzustellen, resultierend aus See also:allen möglichen gegebenen Bedingungen. Wenn wir die Werte von p ersetzen, p2... und H von (5) und (6) im Ausdruck für die kinetische Energie in der Form T ' (sehen Sie § I), die Gleichung TI+V=H (7) wird eine teilweise von S. It zu erfüllende Differentialgleichung ist gezeigt worden von See also:Jacobi, daß das dynamische Problem in das Erreichen "durchführen" die Lösung dieser Gleichung sich behebt und willkürliche Konstanten n+I mit einbezieht.

Dieser Aspekt des Themas, als Problem in den teilweisen Differentialgleichungen, hat große See also:

Aufmerksamkeit an den Händen der Mathematiker empfangen, aber hierhin überschritten werden muß. Es gibt eine ähnliche Theorie für die See also:Eigenschaft der Funktion (8), die sie von (4) folgt, die Funktion. Sa = rSH+p'iOq'i+p'2Sq'z+..., piOgi pÈ42 (9) diese Formel (es kann erwähnt werden), enthält die Grundregel von "wenig. (13). (16) • (5). (6) A = 2 fTdt=S+Hr.. . Tätigkeit "als bestimmter Fall. Vorwählen, wie vor, alle zwei willkürlichen Konfigurationen, ist er in allgemeinem möglichem, das System von einem von diesen, mit einem vorgeschriebenen Wert der Gesamtenergie H zu beginnen, damit er durch das andere überschreitet. Folglich betreffend A als Funktion von das Ausgangs- und Endrunde koordiniert und die Energie, See also:finden wir pi=aq AA AA, r p2=aq,..., AA AA PU = - dql; PU = - h,... A wird durch Hamilton die charakteristische Funktion benannt; es stellt selbstverständlich die "Tätigkeit" des Systems in der freien Bewegung (mit vorgeschriebener Energie) zwischen den zwei Konfigurationen dar. Wie S erfüllt es eine teilweise Differentialgleichung, erhalten durch Ersatz von (I O) in (7). Die vorhergehenden Theoreme werden leicht dem Kasten der zyklischen Systeme angepaßt. Wir haben, nur zu schreiben S = f: (R-V)dt = f: (T-KX-K',y''-...

-V)dt. (12) anstatt (i) und A = f (...)dt 2T-KXK'X'-. . . (3) anstatt (8); cf. Anzeigenflosse des § 7. Es wird selbstverständlich verstanden daß in (12) S, während eine Funktion der Ausgangs- und abschließenden Werte vom offensichtlichen q2... q koordiniert,, und der Zeit von Durchfahrt r, das zyklische Momentum betrachtet wird, das unveränderlich ist. Ähnlich innen (13), wird A als eine Funktion der Ausgangs- und abschließenden Werte von qi, Q2... See also:

GR. und der Gesamtenergie H angesehen, mit dem zyklischen unveränderlichen Momentum. Es wird, daß die Formen von (4) und von (9) konserviert werden, zur Verfügung gestellt den Veränderungen 6q1, Sq2... wird verstanden, um sich auf das offensichtliche zu beziehen koordiniert alleine gefunden. Es folgt, daß die Gleichungen (5), (6) und (Io), (ii) ruhiger Einfluß unter den neuen Bedeutungen der Symbole werden. 9. Wechselseitige Eigenschaften der direkten und aufgehobenen Bewegungen.

Wir können Hamiltons Hauptfunktion einsetzen, um eine bemerkenswerte Formel des La sehr zu prüfen, die natürliche Bewegungen aller möglicher zwei etwas gestörten granges des Systems anschließt. Wenn wir die Symbole forma/a verwenden. S und i zum Bezeichnen der entsprechenden Veränderungen, das Theorem ist See also:

dtZ(bpr.Agr opr.bgr) = 0; . oder integrierenvon t bis t ', Aq'r-Aq'r.bq'r) = Z(See also:Spr.Agr-Apr•Sq). wenn für shortness wir ein â schreiben. (r, S) = s ') = AA-qr See also:g,See also:e, agraq, haben wir bQr=s)Sq.-E, (r, s')5g '. . . (4) mit einem ähnlichen Ausdruck für Apr folglich die rechte See also:Seite von (2) wird s)Sq, +E, (r, s')Sq', }~qr Er}£. r, s).q., +E, (r, s')Oq', 15gr = 2r2, (r, s')(Sgr..7q', -ogr.bq ', }. . (5) wird der •samewert auf ähnliche See also:Art und Weise für den Ausdruck auf der linken See also:Hand von (2) erhalten; folglich wurde das Theorem, das, in der Form (i), an See also:Lagrange liegt, und von ihm als die See also:Grundlage seiner Methode des Behandelns der dynamischen Theorie der Veränderung von willkürlichen Konstanten eingesetzt. Die Formel (2) führt sofort zu etwas bemerkenswerte wechselseitige Relationen, die zuerst, in ihrer kompletten Form, von See also:Helmholtz ausgedrückt wurden. Betrachten Sie jede natürliche Bewegung eines konservativen Systems zwischen zwei Konfigurationen 0 und 0', durch das es manchmal t und t ' beziehungsweise führt, und lassen Sie I'-t=r. Wie das System durch 0 überschreitet, lassen Sie einen kleinen See also:Antrieb BP, seien zu ihm gegeben Sie und die konsequente Änderung in der Koordinierung q lassen Sie, nach der Zeit r ist Quadrat '. betrachten zunächst die aufgehobene Bewegung des Systems, in dem es wurde, wenn unbeeinträchtigt, Durchlauf von 0 ' bis 0 in der gleichen Zeit r., ließ ein kleines Antrieb-See also:SP ', wird zugetroffen, wie das System durch 0 ' überschreitet, und ließ die konsequente Änderung im Koordinierungsqr nach einer Zeit r erstes Theorem Sqr.

Helmholtzs sein ist zum Effekt, der Sqr: BP ', = bq ',: Spr• (6) zum Prüfen dieses, nehmen, in (2) an, daß alle Quadrat verschwinden, und likewise nehmen das ganzes SP mit Ausnahme von BP. See also:

weiter, das ganzes Aq ' an, um zu verschwinden und likewise alles OP ', ausgenommen OP ' "die Formel dann bpr•Ogr = gibt - Ap', Quadrat-'" (7), welches mit Resultat Helmholtzs See also:gleichwertig ist, da wir das Symbol A annehmen können, um sich auf die aufgehobene Bewegung zu beziehen, vorausgesetzt wir 763 die Zeichen vom OP ändern. In der allgemeinsten Bewegung einer See also:Oberseite (See also:MECHANIKER, § 22), nehmen Sie an, daß ein kleines impulsives Paar über die Vertikale produziert, nachdem eine Zeit r eine Änderung S8 in der Neigung der See also:Mittellinie, das Theorem die in der aufgehobenen Bewegung erklärt, die ein gleiches impulsives Paar in der Fläche von 8 produziert, nachdem eine Zeit r eine Änderung Sip, im See also:Azimut der Mittellinie, die See also:M. It gleich ist selbstverständlich verstanden ist daß die Paare keine Bestandteile haben (in der generalisierten Richtung) ausgenommen von den Arten anzeigte; zum Beispiel können sie in jedem Fall von einer Kraft bestehen, die an der Oberseite an einem See also:Punkt der Mittellinie und der Begleitreaktion am See also:Gelenk aufgewendet wird. Wieder in der korpuskularen Theorie des Lichtes lassen Sie 0, von seien Sie alle mögliche zwei See also:Punkte auf der Mittellinie einer symmetrischen optischen See also:Kombination, und lassen Sie V, V' ist die entsprechenden Geschwindigkeiten des Lichtes. Bei 0 lassen Sie einen kleinen Antrieb angewendetes Senkrechtes zur Mittellinie sein, damit eine eckige See also:Ablenkung SO zu produzieren, und lassen Sie die entsprechende seitliche See also:Abweichung an 0' sein. Auf ähnliche Art und Weise in der aufgehobenen Bewegung, lassen Sie eine kleine Ablenkung ALSO ' bei 0 ' Erzeugnis eine Seitenteilabweichung (3 an Theorem O. The (6) erklärt, daß R V~-=Vbe oder, in der optischen See also:Sprache, der "offensichtliche See also:Abstand" von 0 von 0 ' zu dem von 0 ' von 0 im Verhältnis der Brechungskoeffizienten bei von 0 ' und von 0 beziehungsweise ist. Im zweiten wechselseitigen Theorem von Helmholtz wird die Konfiguration O etwas durch eine Änderung verändert, die, - in einer der Co-Helm-Ordinanten, das Momentum Quadrat ist, das ganz unverändert ist, und Quadrat '. ist ho/tz's die konsequente Veränderung der ein des Momentums, nachdem zweites Mal T. Similarly in der aufgehobenen ' Bewegung ein Änderungs-SP ', wechselseitig nach Zeit r eine Änderung des Momentums Spr produziert. Das Theoremtheorem erklärt dieses Sp',:Sgr=Spr:Sq '. . (9) folgt dieses sofort von (2), wenn wir das ganzes SP uns vorstellen, um zu verschwinden, und likewise das ganzes Quadrat außer Sqr, und wenn (weiter) wir das ganzes OP ' uns vorstellen, um zu verschwinden und ganzes Oq ' außer Aq '. umschalten zur optischen See also:Abbildung, wenn F, F ', das Hauptfoki ist, können wir schließen, daß die Konvergenz an F ' eines parallelen Lichtstrahls von F zur Konvergenz an F eines parallelen Lichtstrahls von F ' im umgekehrten Verhältnis der Brechungskoeffizienten an F ' ist und F.

This ist gleichwertig mit Relation des Gausss zwischen den zwei fokalen hauptsächlichlängen von einem optischen See also:

Instrument. Es kann als bestimmter Fall von (8) anders erreicht werden. Wir haben auf keinen Fall die von der Formel zu zeichnenden Folgerungen Lagranges erschöpft. Es kann gemerkt werden daß (6) umfaßt als verschiedene wichtige wechselseitige Relationen der bestimmten Fälle in der Optik und die See also:Akustik, die von R. J. E. See also:Clausius, Helmholtz, See also:Thomson (See also:Lord See also:Kelvin) formuliert wird und See also:Tait, und Lord See also:Rayleigh. Beim Zutreffen muß die Theoremobacht das in der aufgehobenen Bewegung genommen werden, welche die Umlenkung See also:komplett ist und verlängert auf jede See also:Geschwindigkeit im System; insbesondere in einem zyklischen System müssen die zyklischen Bewegungen vorgestellt werden, mit dem Rest aufgehoben zu werden. Auffallende Fälle des Ausfalls des Theorems durch unvollständige Umlenkung werden durch die See also:Ausbreitung des Tones in einem See also:Wind und die Ausbreitung des Lichtes in einem Magnetträger geleistet. Er kann wertSEIN während zu unterstreichen jedoch daß es keine solche Beschränkung zum Gebrauch von Formel Lagranges (1) gibt. Wenn man ihn an den zyklischen Systemen anwendet, ist es bequem, vorzustellen die bereits niedergelegten Bedingungen, nämlich, denen q koordiniert, sind die offensichtlichen koordiniert und die das zyklische Momentum unveränderlich ist. Spezielle Folgerung kann wie vor dann See also:gezeichnet werden, aber die See also:Deutung kann nicht infolge von der Nichtumkehrbarkeit der Bewegung so ordentlich ausgedrückt werden.

WürfelphysikalischeBedeutung Uber der DES Prinzips kleinsten Tätigkeit, "Crelle, Vol. c., 1886, neugedruckt worden (mit anderen cognate Papieren) in Wiss. See also:

Abh. Vol. III. (See also:Leipzig, 1895); J. Larmor, "Auf Weniger Tätigkeit," Proc. Lond. Mathe. Soc. Vol. xv (1884); E. T. Whittaker, Analytische Dynamik (See also:Cambridge, 1904).

Hinsichtlich der Frage der Stabilität, kann Bezug genommen werden auf H. See also:

Poincare, "Sur Actamathe Vol. vii. (1885) D'un Mouvement de animee fluide See also:masse d'une 1'equilibre rotation"; F. See also:Klein und A. See also:Sommerfeld, DES Kreisels, PTS Theorie. I, 2 (Leipzig, 1897-1898); A. Lioupanoff und J. Hadamard, Liouville, 5me serge, Vol. iii. (1897); T. J. I. Bromwich, Proc.

See also:

Land. Mathe. Soc. Vol. xxxiii. (1901). Eine bemerkenswerte Deutung der verschiedenen dynamischen Grundregeln wird von H. Hertz in seinem See also:posthumous der Mechanik (Leipzig, 1894) ArbeitswürfelPrinzipien gegeben, von dem eine englische Übersetzung 1900 erschien. (H. Ls.) und AA r-ah. (Io). (ii) Helmholtzs wechselseitige Theoreme.

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KALLAY, BENJAMIN VON (1839 -- 1903)