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A1A
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A1A = AoA2, B1B = BoB2. Rabatted dann. Diese See also:Linie entspricht folglich dem See also:Plan von a"that See also: Simi-, welches larly die Flächen n1 und annimmt 2r2, um in ihren Positionen im Raum, wenn zu sein B2BAA2 wird ausgeschnitten und gedreht entlang A2B2 durch ein rechtes Senkrechtes miteinander, nehmen wir einen See also:Abschnitt der vollständigen Abbildung See also:Winkel, den wir AB in seiner zutreffenden Position im Verhältnis zu der Fläche durch ein Flächesenkrechtes zur See also:Spur ' erhalten über, welches wir gehendes 1-2 sind. Zuletzt falten wir die vollständige Fläche See also:des Papiers entlang der Mittellinie x zum See also:rabatt, welches die Fläche a. diesen Abschnitt durch den Punkt Q innen führen ließ, bis die Fläche I"2 zu innen senkrecht ist. In dieser Position die zwei '. Seine Spuren sind dann die Linien QP1 und PIP2 (fig. 9). Diese Sätze Punkte AB stimmen, wenn die See also:Zeichnung ist senkrecht und wird folglich genau gewesen ist, zusammen mit den Abschnittmodellen dieser See also:Art kann in vielen Fällen gebildet werden und ihr See also:con- QP2 der Fläche a überein, bilden ein recht-winkliges See also:Dreieck QP1P2 mit dem struction können nicht zu in hohem Grade empfohlen werden, um rechten Winkel an P1 und See also:am Haben der Seiten P1Q und PIP2 zu verwirklichen, das beides orthographische See also:Projektion in ihren zutreffenden Längen gegeben werden. Dieses Dreieck wir rabatt über sein § 14. Den Winkel zwischen zwei gegebenen Linien a finden, dessen b die See also:Unterseite P1Q, P1R=PIP2 bildend. Der Wille der Linie QR geben den zutreffenden Projektionen See also:a1 dann, b1 und See also:a2, b2 werden Länge der Linie QP im Raum gegeben. Wenn jetzt die Fläche sein, das über Solution.Let a1 gedreht wird, (fig. 44) See also:Treffen b1 in PU, a2, b2 in T, dann, wenn die Linie ' der Punkt P einen Kreis über Q beschreibt, da Mitte mit RadiuscGrube nicht zur Mittellinie die zwei Linien senkrecht ist, nicht trifft. In QP=QR in einem Flächesenkrechten zur Spur '. Folglich, wenn der dieser See also:Kasten, den wir zeichnen, ist eine Linienähnlichkeitsfläche a rabatted in die Horizontalebene den See also:Willen des Punktes P zu b zum Treffen der Linie a. dieses Lüge im Senkrecht-PIQ zu ' ist, damit QP=QR gewesen. einfachstes getan, indem es zuerst, wenn KI der Plan eines Punktes A in der Fläche a ist und wenn KI in QP1 liegt, Senkrechtes der Linie PIP2 zum dann Punkt A zeichnet, liegt See also:vertikal über Al in der Linie QP. Auf der Mittellinie zum Treffen von a2 in P2, und hinunter das Dreieck QP1P2 dann sich See also:drehen, kommt der Punkt A zu AO, die Zeichnung durch P2, das eine Linienc2-Linie A1Ao, das zu QP1. Hence A senkrecht ist, ein Punkt in der Ähnlichkeit zu b2 ist; dann ist b1, c2 QP so daß QA=QAo. die Projektionen einer Linie c, die, wenn B1 der Plan eines anderen Punktes, aber so ist, daß A1B1 parallel ist zu b parallel ist und a in P. zu ' trifft, dann zur entsprechenden Linie AB sind auch zu parallel '. Die Fläche, der diese zwei folglich, wenn durch A eine Linie AB zu ' gezeichnetes paralleles ist, und B1 B Linien uns rabatt zum Senkrechten zu ' feststellen, dann zu ihrem See also:Durchschnitt gibt den Plan Punktb. Thus. Wir stellen die Spuren irgendeines Punktes fest, der im Plan die reale Position in der Fläche a gegeben wird, wenn ' und c ' von den Linien a und c; rabatted, kann durch diese zweite Methode gefunden werden. Dieses ist das ein dann a'c ' ist die Spur, die ' von ihrem im Allgemeinen gegeben in den Büchern auf geometrischer Zeichnung ist. Die erste Fläche. Auf Rabatting die erklärte Punktmethode ist, jedoch in den meisten Fällen kommt vorzuziehendes, während es gibt, P zu einem Punkt See also: dieses QS=QP. Aber QP ist die Hypothenuse eines Dreiecks PP1Q mit, wenn anstatt unseres, den Plan einer Abbildung die letzte selbst zu kennen ein PU des rechten Winkels ist. Dieses, das wir konstruieren, indem wir QR = PoP2 bilden; dann gegeben, dann ist der Prozeß des Findens des Planes die Rückseite des P1R=PQ. Die Linien a und der Wille c umfassen folglich gleiches oben genanntes und Notwendigkeiten der Winkel wenig Erklärung. Wir geben ein Beispiel. zu denen bildete durch die gegebenen Linien. An es soll erinnert werden daß zwei § 16. Es wird angefordert, um den Plan zu zeichnen und Aufzug eines Polygons der Linien umfassen zwei Winkel, die Ergänzungs sind. Welches von diesen denen die reale See also: Wir projizieren uns, nicht die See also:Gipfel, aber die Seiten. Den Winkel zwischen ihm und der gegebenen Linie projizieren. Die Ergänzung von diesem die Linie AB, produzieren wir sie, um ' in See also: dem Plan, finden uns erhalten leicht den Aufzug. Der Aufzug von G ist über G, in ", und der von F ist an See also:F2 in der Mittellinie. Dieses gibt den Aufzug F2G2 von FG und in ihm erhalten wir in A2132 die Vertikalen durch Al und B1. Da eine Überprüfung wir OG=OG2 haben. Ähnlich werden der Aufzug der anderen Seiten und der Gipfel gefunden. § 17. Wir See also:fahren fort, einige Anwendungen der oben genannten Grundregeln zur See also:Darstellung der Körper und der Lösung der Probleme zu geben, die mit ihnen angeschlossen werden. Von einer See also:Pyramide werden seine Unterseite, die Länge des Senkrechten vom Gipfel zur Unterseite und den Punkt gegeben, in dem dieses Senkrechte die Unterseite schneidet; es wird zuerst, die vollständige Oberfläche der Pyramide in eine Fläche zu entwickeln, und angefordert seinen Abschnitt an zweiter See also:Stelle festzustellen durch eine Fläche, die die Fläche der Unterseite in einer gegebenen Linie schneidet und einen gegebenen Winkel mit ihm bildet. 1. Da die Flächen der Projektion nicht gegeben werden, können wir sie nehmen, während wir mögen und wir sie vorwählen, derart daß die Lösung so See also:einfach wird, wie möglich. Wir nehmen das Flugzeug der Unterseite als die Horizontalebene und das Senkrechte der vertikalen Fläche zur Fläche des Abschnitts. Gelassenes dann (fig. 47) ABCD ist die Unterseite der Pyramide, VI der Plan des Gipfels, dann sind die Aufzüge von A, B, C, See also: Wenn von EL, sind Floridalinien gezeichnetes Senkrechtes zu AB, diese feststellen die Punkte See also:E, F auf dem entwickelten Gesicht, in dem die Fläche Schnitte es; folglich auch die Linie EF. ähnlich auf den anderen Gesichtern. Selbstverständlich muß BF ' die gleiche Länge auf BP und auf BQ sein. Wenn die Fläche, die sein zum Plan rabatted, erhalten wir die reale Form des Abschnitts, wie in der Abbildung in EFGH gezeigt. Dieses ist getanes leicht bymaking FoF=OF2, &c. Wenn die Abbildung, welche die Entwicklung der Pyramide, oder verbessern Sie eine Kopie von ihr, wird ausgeschnitten, und darstellt wenn die seitlichen Gesichter werden See also:verbogen entlang die Linien AB BC &c., erhalten wir ein Modell der Pyramide mit dem Abschnitt, der auf seinen Gesichtern gekennzeichnet wird. Dieses kann auf seinen Plan ABCD gesetzt werden und die Fläche des Aufzugs verbogen worden über die Mittellinie x., welches die Pyramide dann vor seinen Aufzügen steht. Wenn zunächst die Fläche a mit einer Bohrung, die den geschnitten wird zutreffenden Abschnitt, heraus, darstellend wird verbogen entlang die Spur ', bis sein Rand mit "übereinstimmt, sollen die Ränder der Bohrung mit den Linien EF, FG, &c. übereinstimmen, auf den Gesichtern. § i8. See also:Polyeder wie die Pyramide in § 17 werden durch die Projektionen ihrer Ränder und Gipfel dargestellt. Aber Körper sprangen durch gebogene Oberflächen oder surfaces selbst, können nicht folglich dargestellt werden. Für eine Oberfläche, die wir benutzen können, wie falls von der Fläche, sein tracesthat, ist die Kurven, in denen sie die Flächen der Projektion schneidet. Wir können Punkte und Kurven auf die Oberfläche auch projizieren. Ein Strahl schneidet die Oberfläche im Allgemeinen in mehr als einem Punkt; folglich geschieht er, daß einige der Strahlen die Oberfläche berühren, wenn zwei dieser Punkte übereinstimmen. Die Punkte des Kontaktes dieser Strahlen bilden irgendeine Kurve auf der Oberfläche, und dieser erscheint von der Mitte der Projektion als die See also:Grenze der Oberfläche oder des Teils der Oberfläche. Die umreißen aller Oberflächen der Körper, die wir über uns sehen, werden durch an denen die Punkte Strahlen durch unsere Augennote die Oberfläche gebildet. Die Projektionen dieser Formen werden folglich gut angepaßt, um eine See also:Idee der Form einer Oberfläche zu geben. So werden die Tangenten, die von jeder begrenzten Mitte zu einer Bereichform ein rechter kreisförmiger See also:Kegel See also:gezeichnet werden, und diese durch irgendeine Fläche in einem konischem geschnitten. V2 wird es häufig die Projektion eines Bereichs genannt, aber es wird besser die Form-Linie des Bereichs genannt, da es die Grenze der Projektionen aller Punkte auf dem See also:Bereich ist. Wenn die Mitte an der Unbegrenztheit ist, wird der Tangentekegel ein rechter kreisförmiger See also:Zylinder, der den Bereich entlang einem großen Kreis berührt, und wenn die Projektion ist, wie in unserem Fall, orthographisch, dann ist der Abschnitt dieses Kegels durch eine Fläche der Projektion ein Kreis, der dem großen Kreis des Bereichs gleich ist. Wir erhalten solch einen Kreis im Plan und in anderen im Aufzug, ihre See also:Mitten, die Plan und Aufzug der Mitte des Bereichs sind. Ähnlich liegen die Strahlen, die einen Kegel des zweiten Auftrages berühren, in zwei Flächen, die durch den Gipfel des Kegels überschreiten, die Form-Linie der Projektion des Kegels besteht folglich aus zwei Linien, die in der Projektion des Gipfels treffen. Diese können unsichtbar jedoch sein, wenn keine realen Tangentestrahlen von der Mitte der Projektion gezeichnet werden können; und dieses geschieht, wenn der Strahl, der die Mitte des Gipfels projiziert, innerhalb des Kegels liegt. In diesem Fall sind die Spuren des Kegels vom Wert. So, wenn wir einen Kegel der Umdrehung mit einer vertikalen Mittellinie darstellen, erhalten bestehen wir im Plan eine kreisförmige Spur der Oberfläche deren Mitte der Plan des Gipfels des Kegels ist, und im Aufzug die Form und aus einem Paar Linien, die im Aufzug des Gipfels des Kegels schneiden. Der Kreis im Plan und im Paar der Linien im Aufzug stellen nicht die Oberfläche fest, denn eine endlose Anzahl von Oberflächen konnte begriffen werden, die durch die kreisförmige Spur überschreiten und zwei Flächen durch die Formlinien in der vertikalen Fläche berühren. Die Oberfläche wird nur vollständig definiert, wenn wir zur Abbildung notieren, daß sie einen Kegel darstellt. Dasselbe hält für alle Oberflächen. Sogar wird eine Fläche völlig durch seine Spuren nur unter dem leisen Verstehentl'at dargestellt, welches die Spuren die einer Fläche sind. § 19. Einige der einfacheren Probleme, die mit der Darstellung der Oberflächen angeschlossen werden, sind die Ermittlung der flachen Abschnitte und der Kurven des Durchschnitts von zwei solchen Oberflächen. Das ehemalige wird ständig in fast See also:allen Problemen hinsichtlich sind der Oberflächen verwendet. Seine Lösung hängt selbstverständlich von der Natur der Oberfläche ab. um die Kurve des Durchschnitts von zwei Oberflächen festzustellen, nehmen wir ein Flugzeug und stellen seinen Abschnitt mit jeder der zwei Oberflächen fest und wenn notwendig rabatting diese Fläche. Dieses gibt zwei Kurven, die in der gleichen Fläche liegen und deren Durchschnitte uns Punkte auf beiden Oberflächen geben. An es muß hier erinnert werden, daß zwei Kurven im Raum nicht notwendigerweise schneiden, folglich den die Punkte, in denen ihre Projektionen schneiden, nicht notwendigerweise die Projektionen der Punkte sind, die für die zwei Kurven See also:allgemein sind. Dieses ist jedoch der Fall, wenn die zwei Kurven in einer allgemeinen Fläche liegen. Indem wir dann einer Anzahl von flachen Abschnitten der Oberflächen nehmen, können wir so viele Punkte auf ihrer Kurve des Durchschnitts erhalten, wir mögen. Diese Flächen haben selbstverständlich vorgewählt zu werden, so daß die Abschnitte die einfachen Kurven so wie die Fallerlaubnis von und so sind, daß sie leicht und genau zu zeichnen können. So wenn möglich, sollten die Abschnitte gerade Geraden oder Kreise sein. Dieses nicht nur speichert See also:Zeit, beim Zeichnen aber stellt alle Punkte auf den Abschnitten und folglich auch die Punkte, in denen die zwei Kurven treffen, mit gleicher Genauigkeit fest. § 20. Wir geben einige Beispiele, wie diese Abschnitte vorgewählt werden müssen. Ein Kegel wird durch jede Fläche durch den Gipfel in den Linien geschnitten und wenn es ein Kegel der Umdrehung durch die Flächen ist, die zur Mittellinie in den Kreisen senkrecht sind. Ein Zylinder wird durch jede Fläche geschnitten, die zur Mittellinie in den Linien parallel ist und wenn es ein Zylinder der Umdrehung durch die Flächen ist, die zur Mittellinie in den Kreisen senkrecht sind. Ein Bereich wird durch jede Fläche in einem Kreis geschnitten. Folglich, falls von zwei Kegeln, die überall im Raum wir aufgestellt werden, Abschnitte durch beide Gipfel nehmen. Diese schneiden beide Kegel in den Linien. Ähnlich, falls von zwei Zylindern wir die Abschnitte nehmen können, die zur Mittellinie von beiden parallel sind. Falls von einem Bereich und von einem Kegel der Umdrehung mit vertikaler Mittellinie, horizontale Abschnitte beide Oberflächen in den Kreisen schneiden deren Pläne Kreise sind und deren Aufzüge Linien sind, während vertikal, schneiden Abschnitte durch den Gipfel des Kegels der letzte in den Linien und im Bereich in den Kreisen. Die, Projektionen dieser Kreise zu zeichnen vermeiden, die im allgemeinen Ellipses sein würden, wir rabatt die Fläche und die Kreise in ihrer realen Form dann zeichnen. Und so weiter in anderen Fällen. Besondere See also:Aufmerksamkeit sollte in allen Fällen gelenkt werden auf jene Punkte, in denen die Tangenten zur Projektion der Kurve des Durchschnitts parallel oder Senkrechtes zur Mittellinie x sind, oder wo diese Projektionen die Form von einer der Oberflächen berühren. (See also:O. See also: Geometrie stellte eher als der Helfer der schwierigeren Wissenschaft von Arithmetik See also:dar. 2. Sie war reserviert, damit Algebra die Unfähigkeit von Arithmetik entfernt und die frühesten Ideen des See also:Land-Land-measurer in die Position des Steuerns von Ideen in der geometrischen See also:Untersuchung wieder herstellt. Diese vereinheitlichte Wissenschaft der reinen Zahl bildete verhältnismässig wenig Fahrt in den Händen der ancients, aber fing an, passende Aufmerksamkeit See also:kurz nach der Wiederbelebung des Lernens zu empfangen. Sie drückt vollständige Kategorien der arithmetischen Tatsachen in den einzelnen Aussagen aus, gibt zu den arithmetischen Gesetzen die Form der Gleichungen, die Symbole mit einbeziehen, die alle mögliche bekannten oder gesuchten See also:Zahlen bedeuten können, und liefert Prozesse, die uns, die See also:Informationen zu analysieren ermöglichen, die durch eine Gleichung und von dieser Gleichung andere Gleichungen abzuleiten gegeben werden, denen ausdrückliche See also:Gesetze, die in Kraft sind, Konsequenzen oder Ursachen eines Gesetzes von abfuhren, aber unterscheidet sich groß von ihr in der Form. Vor allem zu den anwesenden Zwecken, beschäftigt sie nicht nur integrale und Bruchzahl, aber die Zahl, die betrachtet wird, wie fähig zum ununterbrochenen Wachstum, gerade als Abstand zum ununterbrochenen Wachstum fähig ist. Die Schwierigkeit des arithmetischen Ausdruckes der irrationalen Zahl, eine Schwierigkeit, die durch die moderne Schule der See also:Analytiker betrachtet wird, ausführlich übergestiegen worden zu sein (sehen Sie FUNKTION), ist nicht zu ihr lebenswichtig. Sie kann das Verhältnis der Diagonale eines Quadrats zu einer See also:Seite, zum Beispiel oder zu der des Umkreises eines Kreises zu einem See also:Durchmesser benennen, eine Zahl und ließ a oder x bezeichnen daß Zahl, gerade so richtig, wie sie jeden Buchstaben irgendeine rationale Zahl bezeichnen lassen kann, die grösser sein kann, oder kleiner als das Verhältnis in der Frage durch einen Unterschied kleiner als irgendein minuziöses, das wir beschließen zuzuweisen. Nur, und, vom Wesentlichen von Arithmetik und von Algebra der Gegenstände nicht zählt zählen. Aber es ist, Gegenstände zu zählen, und insbesondere gesetzlich gleiche Längen durch Maß zu zählen. Die verbreiterte Idee ist, daß, selbst wenn a oder x eine irrationale Zahl ist, wir von a oder von den x-Maßeinheitslängen durch Maß sprechen können. Wir können geben konkrete See also:Deutung zu einer algebraischen Gleichung, indem wir seine Bezeichnungen alle Zahlen von Zeiten die gleiche Maßeinheitslänge bedeuten lassen oder den gleichen Maßeinheits,bereich oder &c. und in jeder möglicher Gleichung, die gesetzlich von der ersten durch algebraische Prozesse können wir abgeleitet wird, dasselbe tun. Descartes in seinem Geometrie (1637) war das erste zum Systematisieren der Anwendung dieser Grundregel zu den zugehörigen ersten Begriffen von Geometrie; und die Methoden, die er einleitete, sind die stärksten Methoden von allen in der geometrischen See also:Forschung geworden. Sie ist kaum zu viel zum Sagen, daß, wenn bekannte Tatsachen hinsichtlich einer geometrischen Abbildung einmal in den algebraischen Bezeichnungen ausgedrückt worden sind, ganz ausschließlich logisch folgende Tatsachen hinsichtlich der Abbildung durch fast mechanische Prozesse abgeleitet werden können. Einige können hervorquellen sind unerwartete Konsequenzen; und wenn man die, von denen es See also:Vorschlag vorher gegeben hat, die häufig bewildering See also:Arbeit der konstanten Aufmerksamkeit zur Abbildung wird verhindert erreicht. Diese sind die Methoden von, was jetzt See also:analytisch genannt wird oder manchmal algebraisch, Geometrie. 3. Der moderne Gebrauch von der See also:Bezeichnung in der Geometrie ", die analytisch ist ", hat undeutlich gemacht, aber nicht gebildet überholt, ein früherer Gebrauch, einer, der so See also:alt ist wie See also:Plato. Es gibt nichts, das in dieser See also:Analyse algebraisch ist, wie von der See also:Synthese, vom Griechen und von den expositors der reinen Geometrie unterschieden. Es hat Hinweis auf einem See also:Auftrag von Ideen in der Demonstration oder, häufiger, im Entdecken von Mitteln, den geometrischen Aufbau einer Abbildung mit, einer zugewiesenen speziellen See also:Eigenschaft zu bewirken. Wir müssen hypothetisch annehmen, daß der Aufbau durchgeführt worden ist und eine rauhe Abbildung gezeichnet, die Ausstellungen es so fast, wie durchführbar ist. Wir analysieren dann oder überprüfen kritisch die Abbildung, behandelt, wie korrekt und ermitteln andere Eigenschaften, die sie in See also:Verbindung mit der in der Frage nur besitzen kann. Momentan wird eine dieser Eigenschaften häufig gefunden, die von solch einem Buchstaben ist, daß der Aufbau einer Abbildung, die ihn besitzt, einfach ist. Die Mittel von einen Aufbau wie synthetisch bewirken wurden wird geholt folglich zum See also:Licht gewünscht durch, was Plato Analyse nannte. Oder wieder, bitten, ein Theorem A zu prüfen, ermitteln wir, daß es zutreffend sein muß, wenn ein anderes Theorem B, daß B sein muß, wenn C ist und so weiter, so schließlich findet, daß das Theorem A die Konsequenz, durch eine See also:Kette der See also:Vermittler, eines Theorems See also: Zur Geometrie, die mit dieser Auffassung hat alle angereichert wird, Algebra seine Anwendung. See also:5. Tatsächliche Geometrie ist eine, zwei oder dreidimensionales, d.h. direkt, See also:flach oder Körper. In der eindimensionalen Geometrie werden Positionen und Maße in nur einer einzelnen Linie zugelassen. Jetzt sind beschreibende Aufbauten für Punkte in einer Linie unmöglich, ohne der Linie zu erlöschen. Es ist folglich gehalten worden, daß es eine Richtung gibt, in der keine Wissenschaft von Geometrie ausschließlich begrenzt zu einem Maß besteht. Aber eine Algebra von einer Variable kann an der Studie von Abständen entlang einer Linie angewendet werden, die von einem gewählten Punkt auf ihr gemessen wird, damit die Idee des Aufbaus verschieden von Maß nicht zu einer eindimensionalen Geometrie wesentlich ist, die durch Algebra unterstützt wird. In der Geometrie von zwei Maßen, kann die See also:Ebene des Land-Land-measurer, der Durchgang von einem Punkt 0 zu irgendeinem anderen Punkt, durch zwei aufeinanderfolgende Märze, einen Osten oder Westen und einen Norden erfolgt werden oder südwärts und, wie gesehen wird, eine Algebra von zwei Variablen für geometrische Ausnutzung genügt. In der Geometrie von drei Maßen, kann der des Raumes, irgendein Punkt von gewähltem durch drei Märze, einen Osten oder Westen, einen Norden oder Süden und einen oben oder unten erreicht werden; und wir sehen, daß eine Algebra von drei Variablen alle ist, die notwendig ist. Mit drei tatsächlichen Geometrieanschlägen der Maße; aber Algebra kann jede mögliche Zahl von Variablen liefern. Vier oder mehr Variablen sind in den Weisen verwendet worden, die denen analog sind, in denen eine, zwei und drei Variablen für die Zwecke von einem, von zwei und von dreidimensionaler Geometrie verwendet werden, und die See also:Resultate sind in der quasi-geometrischen See also:Sprache auf der Vermutung ausgedrückt worden, der ein highez, Raum begriffen werden kann, obwohl nicht verwirklicht worden, von in dem vier unabhängige Richtungen bestehen, so, daß keine See also:Reihenfolge der Märze entlang drei von ihnen die gleiche Versetzung eines Punktes wie ein März entlang dem Fourth bewirken kann; und ähnlich für höhere Zahlen als vier. So analytisch, obwohl nicht tatsächlich, bestehen geometries für vier und mehr Maße. Sie sind tatsächlich Algebra versorgt mit der Bezeichnung einer geometrischen Form, vorgeschlagen durch bequeme Formen des Ausdruckes, die tatsächliche Geometrie, in der Rückkehr für den Nutzen hat, der empfangen wird, konferiert auf Algebra von einen, zwei und drei Variablen. Wir begrenzen uns zu den Maßen der tatsächlichen Geometrie und widmen uns keinen Raum dem eindimensionalen, ausgenommen übrigens, wie, bestehend innerhalb des zweidimensionalen. Die analytische Methode wird jetzt für die Fälle zwei und drei Maße nacheinander erklärt. Die Form von ihr entstand durch Descartes, und darauf bekannt, als kartesisch, alleine ausführlich viel betrachtet wird. I. Flache Analytische Geometrie. 6. Coordinates.It wird angenommen, das die Punkte, die Linien und die betrachteten Abbildungen in einer liegen und die gleiche Fläche, die folglich planieren, nicht sein muß in keiner bezogener Weise. In der Fläche ein Punkt 0 und im x'Ox mit zwei Linien y'Oy, schneiden in 0, werden ein für allemal genommen, und betrachtet, wie geregelt worden. 0 wird den Ursprung und das x'Ox genannt, y'Oy die Äxte von x und y beziehungsweise. Andere Positionen in der Fläche werden in Beziehung zu diesem örtlich festgelegten Ursprung und diesen örtlich festgelegten Äxten spezifiziert. Von irgendeinem Punkt P wir y Fie. 48. Fig. 49, nehmen P.M. gezeichnetes paralleles zur Mittellinie von y an, um die Mittellinie von x in M zu treffen und können PN gezeichnetes paralleles zur Mittellinie von x auch annehmen, um die Mittellinie von y in N zu treffen, damit OMPN ein Parallelogramm ist. Die Position von P wird festgestellt, wenn wir OM (= NP) und Wartungstafel ~ON) kennen. Wenn OM x-Zeiten die Maßeinheit einer See also:Skala des Maßes gewählt am Vergnügen ist und Wartungstafel y-Zeiten die Maßeinheit ist, damit x und y numerische See also:Werte haben, benennen wir x und y die (kartesischen) Koordinaten von P. To unterscheiden sie, die wir häufig von y als die See also:Ordinante sprechen und von x als die See also:Abszisse. Zu beachten ist notwendig, Zeichen; x hat ein Zeichen oder das andere, insofern der Punkt P auf einer Seite oder der anderen der Mittellinie von y ist, und Zeichen y eins oder das andere, insofern P auf einer Seite oder der anderen der Mittellinie von x. mit dem Buchstaben N, E, S, See also: Gleichungen und Orte. Wenn (x, y) ist der Punkt P, und wenn uns dieses x=o gegeben werden, werden wir erklärt, daß, in fig. 48 oder in fig. 49, der Punkt M bei 0 liegt, was Wert y haben kann, d.h. werden wir erklärt, daß die eine Tatsache, daß P auf der Mittellinie von y. andererseits liegt, wenn P überall auf der Mittellinie von y liegt, wir immer OM = O, d.h. x=o haben. So ist die Gleichung x = O eins, das durch die Koordinaten erfüllt ist (x, y) jedes Punktes in der Mittellinie von y und nicht durch die irgendeines anderen Punktes. Wir sagen, daß x=o die Gleichung der Mittellinie von y ist und daß die Mittellinie von y der See also:Ort ist, der durch die Gleichung x = o. ähnlich y = dargestellt wird, O die Gleichung der Mittellinie von x. ist, das, ein Gleichungsx=a ausdrückt, in dem a eine See also:Konstante ist, daß P auf einer Ähnlichkeit zur Mittellinie von y durch einen Punkt M auf der Mittellinie von x so liegt, daß OM = a. jede Linie, die zur Mittellinie von y parallel ist, eine Gleichung dieser Form hat. Ähnlich hat jede Linie, die zur Mittellinie von x parallel ist, eine Gleichung der Form y = b, wo b irgendeine definitive Konstante ist. Diese sind einfache Fälle von der Tatsache daß eine einfache Gleichung in den gegenwärtigen Koordinaten eines Variablenpunktes (x, y) erlegt eine Beschränkung der See also:Freiheit dieses Punktes auf, um sich zu verändern. Die Koordinaten eines Se des Punktes N P, O M, das zufällig in der Fläche genommen wird, als Regel, erfüllen nicht die Gleichung, aber unendlich viele Punkte und in den meisten Fällen unendlich viele reale, haben Koordinaten, die sie erfüllen, und diese Punkte sind genau die, die nach irgendeinem Ort von einem Maß, von gerader Geraden oder häufiger von Kurve liegen, die durch die Gleichung dargestellt soll. Nehmen Sie zum Beispiel das Gleichungsy=mx, in dem innen eine gegebene Konstante ist. Es sein erfüllen durch d Koordinate von jed Punkt p, welch sein so daß, in fig. 48, d Abstand Wartungstafel, mit sein korrekt Zeichen, sein m Zeit d Abstand OM, mit sein korrekt Zeichen, d.h. durch d koordinieren von jed Punkt in d gerad Gerade durch 0 welch wir kommen zu durch bilden ein Linie, ursprünglich zusammentreffend mit x'Ox, rotieren ungefähr 0 in d Richtung gegenüber von d Hand von ein See also:Bewachung durch ein Winkel von welch m sein d Tangente, und durch ohne ander Punkt. Diese Linie ist der Ort, den sie darstellt. Nehmen Sie, im Allgemeinen, die Gleichung y = 0(x), wo 0(x) jede gegebene nicht-vieldeutige Funktion von x. irgendeinen Punkt M auf x'Ox in fig. I wählend ist, und Geben zu x des Wertes des numerischen Masses von OM, stellt die Gleichung ein einzelnes entsprechendes y fest und also stellt einen einzelnen Punkt P auf der Linie durch M fest, das zu y'Oy parallel ist. ' dieses ist ein Punkt dessen Koordinaten die Gleichung erfüllen. Lassen Sie jetzt m-See also:Bewegung vom Übermaß nach links rechts Übermaß des Linienx'Ox, angesehen als verlängerte beide Weisen bis zu uns mögen, lassen Sie d.h. x-Nehmen alle realen Werte von so zu Co. Zu jedem Wert gehört ein Punkt P, wie oben, auf die Ähnlichkeit zu y'Oy durch das entsprechende M; und wir finden folglich, daß es einen Weg vom Übermaß nach links rechts Übermaß der Abbildung gibt, alle Punkte entlang der P von anderen Punkten durch die aussergewöhnliche Eigenschaft der See also:Zufriedenheit der Gleichung durch ihre Koordinaten bemerkenswert seien Sie. Dieser Weg ist ein Ort; und die Gleichung y=4(x) stellt ihn dar. Im Allgemeinen noch, nehmen Sie ein Gleichungsf(x) = O, das x und y unter eine Funktionsform miteinbezieht. Jeder bestimmte Wert, der zu x in ihm gegeben wird, produziert aus ihm eine Gleichung für-d Ermittlung eines Wertes, oder Werte von y, die zu diesem Wert von x beim Spezifizieren gehören, ein Punkt oder Punkte (x, y), von dem die Koordinaten das Gleichungsf(x erfüllen, y) = o. hier wieder, da x alle Werte nimmt, der Punkt oder Punkte beschreiben einen Weg oder Wege, die ein Ort dargestelltes b die Gleichung festsetzen. Ausgenommen, wenn y zum ersten Grad nur in f(x hereinkommt, y), es nicht erwartet werden soll, daß alle Werte von y, festgestellt worden, wie, gehend mit einem gewählten Wert von x, notwendigerweise real sind; in der See also:Tat ist es nicht selten für alle, für etwas Strecken der Werte von x. eingebildet zu sein, das der Ort aus Kontinua von eingebildetem Koints groß bestehen kann; aber die realen Teile von ihm setzen eine reale Kurve fest, oder reale Kurven See also:zitieren, daß wir x von ganz eingebildetem, sowie von allem realen, Werte zulassen lassen müssen, um alle Imaginärteile des Ortes zu erhalten. Ein Ort oder eine Kurve können in einer anderen Weise algebraisch spezifiziert werden; nämlich. uns können zwei Gleichungen gegeben werden x=f(0), y=F(0), die die Koordinaten irgendeines Punktes von ihm als zwei Funktionen des gleichen variablen Parameters 0 ausdrücken, zu dem alle Werte geöffnet sind. Wie 0 alle Werte der See also:Reihe nach nimmt, der Punkt (x, y) überquert die Kurve. Es ist eine gute Übung zum Verfolgen einer Anzahl von Kurven, genommen, wie durch die Gleichungen definiert, die sie darstellen. Dieses, in den einfachen Fällen, kann ungefähr getan werden, indem man die Werte von y gegeben worden durch die Gleichung einer Kurve plottet, wie, gehend mit einer beträchtlichen Anzahl von Werten von x, und die verschiedenen Punkte anschließend (x, y) folglich erreicht. Aber Methoden bestehen für das Vermindern der Arbeit dieses vorläufigen Prozesses. Ein anderes Problem, das mehr um hier gesorgt wird, ist das der See also:Bestimmung der Gleichungen der Kurven des bekannten Interesses, genommen, wie durch geometrische Eigenschaften definiert. Es ist nicht eine See also:Angelegenheit für Überraschung, daß die Kurven, die die meisten gewesen sind und am längsten geometrisch studiert, zu denen gehören, die durch Gleichungen des einfachsten Buchstabens dargestellt werden. 8. Das gerade Line.This ist die einfachste Art des Ortes. Auch die einfachste Art der Gleichung in x und in y ist Ax+By+C = O, eins des ersten Grads; Hier sind die Koeffizienten A, B, C Konstanten. Sie sind, wie die gegenwärtigen Koordinaten, x, y, numerisch. Aber, wenn wir Deutung zu solch einer Gleichung geben, müssen wir Zahlaxt, vorbei, auf C der Maßeinheitsgrößen der gleichen Art, von Maßeinheiten von zählen zum Beispiel oder von Maßeinheitslängen oder von Maßeinheitsquadraten selbstverständlich uns beziehen. Es wird jetzt gesehen, daß jede gerade Gerade eine Gleichung des ersten Grads hat und daß jede Gleichung des ersten Grads eine gerade Geraden darstellt. Es ist gesehen worden (das § 7), daß die Linien, die zu den Äxten parallel sind, equa-tions des ersten Grads haben, frei von einer der Variablen. Nehmen Sie jetzt ein See also:ABC der geraden Geraden, das zu beiden Äxten geneigt ist. Laßt ihm bilden Sie einen gegebenen Winkel a mit der positiven Richtung der Mittellinie von x, d.h. in fig. ö lassen Sie dieses der Winkel sein, durch den See also:Axt bezüglich volved links herum über A sein muß, zwecks gebildet zu werden die Münze, die mit der Linie cident ist. Lassen Sie C, von Koordinaten (h, See also: Zusätzliche Informationen und AnmerkungenEs gibt keine Anmerkungen dennoch für diesen Artikel.
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