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ABC AB AB
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See also:ABC AB AB . BA A'BC A'B _ "oder das See also:konstante Verhältnis See also:der entsprechenden See also:Bereiche ist und gegenüber dem Verhältnis gleich, in dem die See also:Mittellinie das Segment teilt, das zwei entsprechende See also:Punkte verbindet. - § 18. Einige spezielle Fälle paralleler See also:Projektion See also:sind vom See also:Interesse. Orthographische Projection.If die zwei Flächen a und ar ' haben eine definitive Position im See also:Raum, und wenn eine See also:Abbildung in See also: Wenn diese Punkte zu irgendeinem See also:Punkt 0 auf der Mittellinie verbunden werden, dann sind AO und A'See also:O entsprechende Linien; sie werden folglich durch jede mögliche Linie geschnitten, die zur Mittellinie in entsprechenden Punkten parallel ist. In der Abbildung folglich See also: Wenn die Linie, die zwei entsprechend verbindet, A zeigt, schneidet A ' die Mittellinie in B, dann AB = BA '. Folglich wenn das flache entlang der Mittellinie zusammengefaltet wird, fällt A auf A '. Folglich durch dieses stimmt das Zusammenfalten jedes Punktes mit seinem entsprechenden Punkt überein. Die Abbildungen sind folglich identisch gleich oder übereinstimmend, und in ihrer Ausgangsstellung sind sie hinsichtlich der Mittellinie symmetrisch, die selbst eine Mittellinie von Symmetrie genannt wird. Wenn die zwei Abbildungen betrachtet werden, während man, den dieses hinsichtlich einer Mittellinie symmetrisch soll und gesagt wird, um eine Mittellinie von Symmetrie oder See also:einfach von Mittellinie zu haben. Jeder See also:Durchmesser eines Kreises ist folglich eine Mittellinie; auch die See also:mittlere Linie eines isosceles Dreiecks und der Diagonalen eines Rhombus sind Äxte der Abbildungen, denen sie gehören. Im allgemeineren Fall, in dem die hervorstehenden Strahlen nicht zur Mittellinie senkrecht sind, haben wir eine See also:Art verdrehte Symmetrie, die genannt werden kann Skewsymmetrie. Sie kann von der Symmetrie erhalten werden, indem man der vollständigen Abbildung eine Schere gibt. Es wird auch leicht gesehen, daß wir Skewsymmetrie erhalten, wenn wir zuerst eine Schere zu einer gegebenen Abbildung bilden und sie dann von seiner Schere trennen, indem wir rüber sie entlang der Mittellinie der Schere falten, die dadurch eine Mittellinie von Skewsymmetrie wird. Skew-symmetrisch und folglich auch symmetrische Abbildungen haben die folgenden Eigenschaften: Entsprechende Bereiche sind, aber von der gegenüberliegenden Richtung gleich. Alle mögliche zwei entsprechenden Linien sind harmonische Paronyme hinsichtlich der Mittellinie und einer Linie in der verbundenen Richtung. Wenn die zwei Abbildungen wieder als vollständige eine betrachtet werden, soll diese und eine Mittellinie von Skewsymmetrie zu haben skew-symmetrisch. So ist die mittlere Linie jedes möglichen Dreiecks eine Mittellinie von Skewsymmetrie, auf der die See also:Seite sie steht, habend die verbundene Richtung, die anderen Seiten, die verbundene Linien sind. Von diesem folgt sie, für Fall, daß die drei mittleren Linien eines Dreiecks in einem Punkt See also:treffen. Für zwei mittlere Linien seien Sie entsprechende Linien hinsichtlich des Third als Mittellinie und muß auf der Mittellinie folglich treffen. Eine Mittellinie von Skewsymmetrie wird im Allgemeinen ein Durchmesser benannt. So ist jeder Durchmesser von einem konischem eine Mittellinie von Skewsymmetrie, die verbundene Richtung, die die Richtung der Spannweiten ist, die sie halbiert. § 20. Wir geben einige Eigenschaften dieser Abbildungen an, die in den Mechanikern, aber in uns nützlich sind, auslassen die einfachen Beweise: Wenn ein flacher See also:Bereich eine Mittellinie von Skewsymmetrie hat, dann liegt die See also: Die Wahrheit der letzten Angelegenheiten folgt sofort von der Tatsache, daß das Produkt der Schwungkraft für die Linien in der Frage verschwindet. Sie ist vom Interesse, zu beachten, wie ein großes viele Angelegenheiten von See also:Euclid nur spezielle Fälle von der Projektion sind. Die Theoreme Euc. I. sind 3541 über Parallelogramme oder Dreiecke auf gleichen Unterseiten und zwischen den gleichen Ähnlichkeiten Beispiele der Schere, während I. 43 einen Fall von ähnlich See also:E'See also: Dieses kann getan werden, derart daß drei Punkte auf konischem einem und den Tangenten bei zwei von ihnen zu drei willkürlich vorgewählten Punkten und zu den Tangenten bei zwei von ihnen auf den anderen projiziert werden. Wenn u und u ' irgendein conics zwei sind, dann müssen wir prüfen, daß wir II projizieren können, derart daß fünf Punkte auf ihm zu den Punkten auf u projiziert werden '. Während die Projektion festgestellt wird, sobald die Projektionen aller möglicher vier Punkte oder vier Linien vorgewählt werden, können wir keine fünf Punkte von u zu irgendwelchen fünf willkürlich vorgewählten Punkten auf u projizieren '. Aber, wenn A, B, C irgendwelche drei Punkte auf u ist und wenn die Tangenten an B und an C an D, wenn See also:weiter A ', B ', C ' irgendwelche drei Punkte auf u ' sind und wenn die Tangenten See also:am Treffen B ' und C ' an D ', dann die Fläche von u können zur Fläche von u projiziert werden ', derart daß die Punkte A, B, C, D zu A ' projiziert werden, B ', C ', D ' treffen. Dieses stellt die See also:Korrespondenz fest (§ i4). Das konische u wird in ein konisches, in die Punkte A, in B, in C und in die Tangenten BD und CD zu den Punkten A ', in B ', in C ' und in die Linien B'D ' und C'D ' projiziert, die Tangenten zu u ' an B ' und an C ' sind. Die Projektion von u muß folglich (G.-§ 52) übereinstimmen mit u ', weil sie ein konisches ist, das drei Punkte und die Tangenten bei zwei von ihnen im See also:Common mit u hat '. Ähnlich konnten wir drei Tangenten und die Punkte des Kontaktes von zwei von ihnen genommen haben, wie, entsprechend ähnlichen Elementen auf dem anderen. Wenn konische das ein Kreis ist, der die Linie See also: Wenn wir irgendeinen Punkt See also: Die Abbildung gibt (AB) = ABD+(AD) +(BD). Beide Gleichungen kombinierend, haben wir ABD=m (ABCADEBFD). Aber wir haben auch ABD = See also: Wenn a, b die Länge der Halbäxte des Ellipse sind, dann ist der Bereich des umgrenzten Parallelogrammes âb und des inscribed Vorsprunges. Für den Kreis von See also:Radius r wird das inscribed Parallelogramm das Quadrat des Bereichs 2r2 und der Kreis hat die Bereichsrückseite; das konstante Verhältnis eines Ellipse zum inscribed Parallelogramm hat folglich auch den Ir. Wert folglich der Bereich einer Ellipsegleichgestellt-ABS -. § 24. Projektive Properties.The-Eigenschaften der Projektion einer Abbildung hängen teils von der relativen Position des planes•of die Abbildungen und die Mitte der Projektion, aber hauptsächlich von den Eigenschaften der gegebenen Abbildung ab. Punkte in einer Linie werden in Punkte in einer Linie, harmonische Punkte in harmonische Punkte, ein konisches in ein konisches projiziert; aber entsprechen Sie Linien werden projiziert nicht in parallele Linien, noch sind rechte See also:Winkel in rechte Winkel, keine die Projektionen der gleichen Segmente oder des Gleichgestellten der Winkel wieder. Es gibt dann einige Eigenschaften, die durch Projektion unverändert bleiben, während andere ändern. Die ehemaligen werden projektiv genannt, oder beschreibend, die letzten metrischen Eigenschaften der Abbildungen, weil alle letzten vom Maß abhängen. einem Dreieck und seinen mittleren Linien entsprechen ein Dreieck und drei Linien, die in einem Punkt treffen, aber die als Regel nicht mittlere Linien sind. In diesem Fall wenn wir das Dreieck zusammen mit der Linie an der Unbegrenztheit nehmen, erhalten wir als die Projektion ein Dreieck-ABC und irgendeine andere Linie J, die die Seiten a, b, c des Dreiecks im Punktal, B1, Cl schneidet. Wenn wir jetzt auf BC dem harmonischen Paronym See also:A2 zu KI nehmen und ähnlich auf Ca und AB die Harmonik zum Bi und Ci beziehungsweise konjugiert, dann sind die Linien AA2, BB2, CC2 die Projektionen der mittleren Linien in der gegebenen Abbildung. Folglich müssen diese Linien in einem Punkt treffen. Während das Dreieck und die 4. Linie wir alle mögliche vier gegebenen Linien nehmen können, weil irgendwelche vier Linien in alle mögliche vier gegebenen Linien (§ 14) projiziert werden können. Dieses gibt ein Theorem: Wenn jeder See also:Gipfel eines Dreiecks zu diesem Punkt in der gegenüberliegenden Seite verbunden wird, die, hinsichtlich der Gipfel, das harmonische Paronym des Punktes ist, in dem die Seite durch eine gegebene Linie geschnitten wird, dann erhielten die drei Linien folglich Treffen in einem Punkt. Wir bekommen folglich aus dem speziellen Theorem über die mittleren Linien eines Dreiecks ein allgemeineres heraus. Aber, bevor dieses getan werden könnte, mußten wir die Linie an der Unbegrenztheit den Linien in der gegebenen Abbildung hinzufügen. In einer ein ähnlich Weise ein ein groß viel Theorem in bezug auf sind metrisch See also:Eigenschaft können sein generalisieren durch man nehmen die d Linie an der Unbegrenztheit oder den Punkt an der Unbegrenztheit als darstell part von d ursprünglich Abbildung. Andererseits werden die speziellen Fälle in bezug auf sind Maß erhalten, indem man irgendeine Linie in einer Abbildung der bekannten Eigenschaften zur Unbegrenztheit projiziert. Dies gilt für alle Eigenschaften in bezug auf parallele Linien oder zur Bisection von Segmenten, aber nicht sofort für Winkel. Es ist jedoch möglich, für jede metrische Relation die entsprechende projektive Eigenschaft herzustellen. um dies zu tun ist es notwendig, eingebildete Elemente zu betrachten. Diese sind ursprünglich in Geometrie durch Hilfsmittel von koordinieren Geometrie eingeführt worden, in der eingebildete Quantitäten ständig als Wurzeln von Gleichungen auftreten. Ihre See also:Einleitung in reine Geometrie ist hauptsächlich zu See also:Poncelet See also:passend, das durch die Publikation seiner großen DES-Abbildungen DES Proprittes Projectives ArbeitsTraite dem Gründer der projektiven Geometrie in seiner breitesten Richtung See also:stand. See also:Monge hatte parallele Projektion betrachtet und hatte bereits zwischen den dauerhaften und versehentlichen Eigenschaften der Abbildungen, das letzte Sein die unterschieden, die bloß von der versehentlichen Position von einem See also:Teil zu anderen abhingen. So, wenn es zwei Kreise, die in den unterschiedlichen Flächen liegen, es abhängt von der versehentlichen Position der Mitte der Projektion projiziert, ob die Projektionen conics zwei sind, die tun oder nicht treffen. Poncelet stellte die Grundregel des Durchganges vor, um Theoreme See also:allgemein und unabhängig zu bilden von jenen versehentlichen Positionen, die See also:analytisch von der Tatsache abhängen, daß die verwendeten Gleichungen die realen oder eingebildeten Wurzeln haben. Aber die Korrektheit dieser Grundregel blieb ohne einen See also:Beweis. Von Staudt hat, jedoch gezeigt, wie es möglich ist, eingebildete Elemente durch lediglich geometrische Argumentation vorzustellen und wir versuchen jetzt, dem Leser irgendeine See also:Idee seiner Theorie zu geben. § 25. Eingebildetes Elements.If eine Linie schneidet eine Kurve und wenn die Linie verschoben wird, gedreht zum Beispiel ein ungefähr Punkt in ihm, es geschehen daß können zwei der Koinzidenzpunkte Annäherung, bis sie übereinstimmen. Die Linie wird dann eine Tangente. Wenn der Linie weiterhin auf die gleiche Weise es sich trennt von der Kurve verschoben wird und zwei Koinzidenzpunkte sind verloren. So, wenn wir die Relation einer Linie zu einem konischem halten, müssen für uns drei casesthelinienschnitte unterscheiden das konische in zwei Punkten, Noten es oder haben keinen Punkt im Common mit ihm. Dieses ist der Tatsache, daß eine quadratische Gleichung mit einer unbekannten Quantität entweder zwei, eins hat, oder keinen Wurzeln ziemlich analog. Aber in der Algebra ist es lang bequem, dieses anders als auszudrücken durch sayipg gefunden worden, das eine quadratische Gleichung immer zwei Wurzeln hat, aber diese können entweder real und unterschiedlich oder Gleichgestelltes sein, oder sie können eingebildet sein. In der Geometrie ist ein ähnlicher Modus des Ausdrückens der Tatsache über angegeben nicht weniger bequem. Wir sagen, daß folglich eine Linie immer zwei Punkte im Common mit einem konischem hat, aber diese entweder eindeutig unsichtbar sind, oder zusammentreffend, oder. Das eingebildete Wort wird im Allgemeinen anstelle von unsichtbarem verwendet; aber, da die Punkte nichts haben, mit See also:Phantasie zu tun, bevorzugen wir das Wort "unsichtbares" ursprünglich empfohlen von See also:Clifford. Unsichtbare Punkte treten in den Paaren der verbundenen Punkte auf, denn eine Linie verliert immer zwei sichtbare Koinzidenzpunkte mit einer Kurve gleichzeitig. Dieses ist der Tatsache analog, daß eine algebraische Gleichung mit realen Koeffizienten eingebildete Wurzeln in den Paaren hat. Nur eine reale Linie kann durch einen unsichtbaren Punkt See also:gezeichnet werden, für zwei reale Linien treffen Sie in einem realen oder sichtbaren Punkt. Die reale Linie durch einen unsichtbaren Punkt enthält auch sein Paronym. Ähnlich es gibt unsichtbare linestangents, zum Beispiel von einem Punkt innerhalb eines conicwhich treten Sie in den Paaren Paronymen, zwei conugates auf, die einen realen Punkt im Common haben. Die Einleitung der unsichtbaren Punkte würde nichts aber ein See also:Spiel nach Wörtern sein, es sei denn es eine reale geometrische angezeigte Eigenschaft gibt, die im geometrischen constructionsthat benutzt werden, das kann es eine definitive Bedeutung hat zum Beispiel zum Sagen, daß conics zwei eine Linie in den gleichen zwei unsichtbaren Punkten schnitt oder daß wir eine konischen durchgehenden drei realen Punkte und zwei unsichtbaren zeichnen können, die ein anderes konisches im Common mit einer Linie hat, die nicht es wirklich schneidet. Wir haben tatsächlich, eine geometrische See also:Definition der unsichtbaren Punkte zu geben. Dieses wird durch Hilfsmittel der Theorie der Einwicklung getan (das G.-§ 76 folgend). Eine Einwicklung der Punkte auf einer Linie hat (entsprechend G.-§ 77 [ 2 ]), entweder zwei oder eine oder keine Foki. Anstelle von diesem sagen wir jetzt, daß es immer zwei Foki hat, die eindeutig, zusammentreffend oder unsichtbar sein können. Diese Foki werden durch die Einwicklung festgestellt, aber sie stellen auch die Einwicklung fest. Wenn die Foki real sind, folgt dieser von der Tatsache, die verbundene Punkte harmonische Paronyme hinsichtlich der Foki sind. Daß es auch der See also:Kasten für unsichtbare Foki ist, erscheint momentan. Wenn wir dieses zur See also:Zeit für bewilligt nehmen, können wir ein Paar reale, zusammentreffende oder unsichtbare Punkte durch die Einwicklung ersetzen, von der sie die Foki sind. Jetzt stellen alle mögliche zwei Paare der verbundenen Punkte eine Einwicklung fest (G.-§ 77 [ 61). Folglich wird irgendein Punkt-Paar, ob real oder unsichtbar, vollständig durch alle mögliche zwei Paare der verbundenen Punkte der Einwicklung festgestellt, die das Punkt-Paar als Foki gegeben und durch sie folglich hat ersetzt werden kann. Zwei Paare der unsichtbaren Punkte werden folglich gesagt, um identisch zu sein wenn und nur wenn, sie die Foki der gleichen Einwicklung sind. Wir wissen daß (G.-§ 82) daß ein konisches auf jeder Linie feststellt, ist eine Einwicklung, in der verbundene Punkte verbundene See also:Pfosten hinsichtlich des conicthat sind, dieses irgendein liegt auf dem polaren vom anderen. Dieses hält, ob die Linie das konische oder nicht schneidet. Ausserdem im ehemaligen Fall sind die Punkte, die für die Linie und das konische allgemein sind, die Foki der Einwicklung. Folglich sagen wir jetzt, daß dieses immer der Fall ist und daß die unsichtbaren Punkte, die für eine Linie und ein konisches allgemein sind, die unsichtbaren Foki der Einwicklung in der Frage sind. Wenn dann wir das Problem des Zeichnens ein konisches, das durch zwei Punkte überschreitet, die als der See also:Durchschnitt von einem konischem gegeben werden und eine Linie wie angeben, die vom Zeichnen ein konisches, das eine gegebene Einwicklung auf der Linie feststellt, wir sie in einer See also: Ist so die Lösung des Problems, da wir jetzt darstellen. § 26. Wir haben (§ 21) daß ein konisches in sich immer projiziert werden kann, indem man irgendeinen Punkt S als Mitte und sein polares s als Mittellinie der Projektion nimmt, die entsprechenden Punkte gesehen, die die sind, in denen eine Linie durch S das konische schneidet. Wenn dann (fig. 9) A, A ' und B, B ' sind Paare der entsprechenden Punkte damit die Linien AA ' und BB ' Durchlauf durch S, dann die Linien AB und A'B ', als entsprechende Linien, werden an einem Punkt R auf der Mittellinie und an den Linien AB ' treffen und A'B trifft an einem anderen Punkt R ' auf der Mittellinie. Diese Punkte R, R ' sind verbundene Punkte in der Einwicklung, die das konische auf der Linie s feststellt, 433, weil das Dreieck RSR ' ein polares Dreieck (G.-§ 62) ist, damit R ' auf dem polaren von R liegt. Dieses gibt einfache Mittel der See also:Bestimmung für irgendeinen Punkt Q auf der Linie s seines verbundenen Punktes Q '. Wir nehmen alle mögliche zwei Punkte A, A ' auf den konischen, die auf einer Linie durch S liegen, Q bis A durch eine Linie verbinden, die wieder das konische ' in C schneidet und C bis A ' verbinden. Diese Linie schneidet s im Punkt Q ' angefordert. Irgendein konisches zeichnen, das auf einer Linie s eine gegebene Einwicklung feststellt. Wir haben hier, den fig. 9 wieder aufzubauen, nachdem wirgegeben auf der Linie s eine Einwicklung wirgegeben hatten. Lassen Sie Q, Q ' _ und _ R, R ' (fig. 9) ist zwei Paare der verbundenen Punkte in dieser c-Einwicklung. Wir nehmen irgendeinen Punkt B und verbinden ihn zu R und zu R ' und einen anderen Punkt C bis Q und Q '. Lassen Sie BR und Cq an A und BR ' und Cq ' an A ' treffen. Wenn jetzt ein Punkt P entlang s verschoben wird seinen verbundenen Punkt P ' auch verschiebt und die zwei Punkte beschreiben projektive Reihen die zwei Strahlen AP und A'P ' beschreibt folglich projektive Bleistifte, und der Durchschnitt der entsprechenden Strahlen liegt auf einem konischem, dem Bässe durch A, A ', B und C. konisches This auf s die gegebene Einwicklung feststellt. Von diesen vier Punkten nicht nur B und C aber auch der Punkt A kann, für willkürlich genommen werden, wenn A, B, C gegeben werden, die Linie AB schneidet s in etwas Punkt R., See also:As die Einwicklung bekannt soll, wir den Punkt R ' Paronym See also:finden können zu R, dem wir zu B. In die gleiche Weise verbinden, welche, die Linie Ca s in etwas verbundenem Punkt Q Punktq. Its schneidet, ' wir zu Liniencq C. The ' schneiden BR ' in einem Punkt A ' verbinden und dann AA ' durch den Pfosten S überschreitet (cf. fig. 9). Wir können A und B jetzt austauschen und den Punkt B finden '. Dann überschreitet BB ' auch durch S, das folglich gefunden wird. Gleichzeitig sind fünf Punkte A, B, C, A ', B ' auf dem konischen gefunden worden, damit das konische vollständig bekannt, welches auf der Linie s die gegebene Einwicklung feststellt. Folglich durch drei Punkte können wir ein und nur eins immer zeichnen konisches, das auf einer gegebenen Linie eine gegebene Einwicklung, die ganze selbe feststellt, ob die Einwicklung die realen, zusammentreffenden oder unsichtbaren Foki hat. Im letzten Fall kann das Theorem jetzt auch folglich angegeben werden: Es ist immer möglich, ein konisches zu zeichnen, das durch drei gegebene reale Punkte und durch zwei unsichtbare Punkte überschreitet, die jedes andere konische im Common mit einer Linie hat. § 27. Die oben genannte Theorie der unsichtbaren Punkte verursacht viele interessante Konsequenzen, von denen wir einige angeben. Das Theorem am See also:Ende von § 21 kann jetzt angegeben werden, daß jedes mögliches conics zwei ähnlich und ähnlich aufgestellt sind, wenn sie die Linie an der Unbegrenztheit in den gleichen pointsreal schneiden, zusammentreffenden oder unsichtbaren zwei. Es folgt, daß alle mögliche zwei Parabeln ähnlich sind; und sie werden ähnlich aufgestellt, sobald ihre Äxte parallel sind. Die Einwicklung, die ein Kreis in seiner Mitte feststellt, ist kreisförmig (G.-§ 79); das heißt, ist jede Linie zu seiner verbundenen Linie senkrecht. Dieses wird durch die Linie an der Unbegrenztheit in einer Einwicklung geschnitten, die die folgende Eigenschaft hat: Die Linien, die irgendeinen begrenzten Punkt zu zwei verbundenen Punkten in der Einwicklung verbinden, sind miteinander senkrecht. Folglich stellen alle kreisförmigen Einwicklungen in einer Fläche die gleiche Einwicklung auf der Linie an der Unbegrenztheit fest. Das letzte wird folglich die kreisförmige Einwicklung auf der Linie an der Unbegrenztheit genannt; und die Einwicklung, die ein Kreis in seiner Mitte feststellt, wird die kreisförmige Einwicklung an diesem Punkt genannt. Alle Kreise stellen folglich auf der Linie an der Unbegrenztheit die gleiche Einwicklung fest; das heißt, haben sie die gleichen zwei unsichtbaren Punkte im Common mit der Linie an der Unbegrenztheit. Ml-Kreise können betrachtet werden, wie, überschreiten durch die gleichen zwei Punkte an der Unbegrenztheit. Diese Punkte werden die kreisförmigen Punkte an der Unbegrenztheit und durch See also:Professor See also:Cayley das Absolute in der Fläche benannt. Sie sind die Foki der kreisförmigen Einwicklung in der Linie an der Unbegrenztheit. Konisches ConverselyEvery, das durch die kreisförmigen Punkte überschreitet, ist ein Kreis; weil die Einwicklung in seiner Mitte kreisförmig ist, folglich sind verbundene Durchmesser senkrecht, und Kreise dieser Eigenschaft nur besitzen. Wir sehen jetzt, warum wir immer einen und nur einen Kreis durch alle mögliche drei Punkte zeichnen können; diese drei Punkte zusammen mit den kreisförmigen Punkten an der Unbegrenztheit sind fünf Punkte, durch die einer, der konisch ist nur, gezeichnet werden kann. Alle mögliche zwei Kreise sind ähnlich und ähnlich aufgestellt, weil sie die gleichen Punkte an der Unbegrenztheit (§ 21) haben. Alle zwei konzentrischen Kreise können als, doppelten Kontakt an der Unbegrenztheit habend betrachtet werden, weil die Linien, welche die allgemeine Mitte zu den kreisförmigen Punkten an der Unbegrenztheit verbinden, Tangenten zu beiden Kreisen an den kreisförmigen Punkten sind, da die Linie an der Unbegrenztheit der Mitte das polare ist. Alle mögliche zwei Linien senkrecht bis eine andere sind harmonische Paronyme hinsichtlich der Strahlen, die ihren Durchschnitt zu den kreisförmigen Punkten verbinden, weil diese Strahlen die fokalen Strahlen der kreisförmigen Einwicklung am Durchschnitt der gegebenen Linien sind. Einen Winkel mit den Mitteln des Gipfels A (G.-§ 23) halbieren zwei Strahlen durch A zu finden, die harmonische Paronyme hinsichtlich der Begrenzungen auf den Winkel und das Senkrechte miteinander sind. Diese Strahlen sind folglich Harmonik hinsichtlich der Begrenzungen auf den gegebenen Winkel und hinsichtlich der Strahlen durch die kreisförmigen Punkte. So perpendicularity und Bisection eines Winkels sind in einer projektiven Form angegeben worden. Es darf nicht vergessen werden, daß die kreisförmigen Punkte nicht an See also:allen bestehen; aber, sie einzuführen gibt uns einen kurzen Weg des Abgebens einer See also:Aussage, die anders lang und cumbrous sein würde. Wir können jedes mögliches Theorem in bezug auf metrische Eigenschaften jetzt generalisieren. Zum Beispiel prüft die einfache Tatsache, daß die Spannweite eines Kreises durch einen konzentrischen Kreis an seinem mittleren Punkt berührt wird, das Theorem, wenn conics zwei doppelten Kontakt, dann die Punkte haben, in denen irgendeine Tangente bis einen von ihnen Schnitte der andere hinsichtlich des Punktes des Kontaktes und des Punktes See also:harmonisch sind, in dem die Tangente die Spannweite des Kontaktes schneidet. (0. Zusätzliche Informationen und AnmerkungenEs gibt keine Anmerkungen dennoch für diesen Artikel.
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