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VERBOT (Lat.-prohibere, verhindern)
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See also:VERBOT (See also:Lat.-prohibere, verhindern) , eine See also:Bezeichnung, welche die Tätigkeit See also:des Verbietens oder des Verhinderns durch einen See also:Auftrag, See also:Verordnung, &See also: Ein Punkt und seine Projektion werden folglich auch entsprechende See also:Punkte benannt, und ähnlich sprechen wir von entsprechenden Linien und von Kurven, &c. § 2. Wir erhalten sofort die folgenden Eigenschaften: Die Projektion eines Punktes ist nur ein Punkt und ein Punkt. Die Projektion einer See also:Linie (gerade Gerade) ist eine Linie; für alle Punkte in einer Linie werden durch Strahlen, die in der Fläche liegen, die durch S und die Linie festgestellt wird, und Schnitte dieser Fläche die Fläche a in einer Linie projiziert, die die Projektion der gegebenen Linie ist. Wenn ein Punkt ' in einer Linie liegt, liegt seine Projektion in der Projektion der Linie. Die Projektion der Linie, die zwei Punkte A verbindet, B ist die Linie, die die Projektionen A ' verbindet, B ' der Punkte A, B. For, welches die hervorstehende Fläche der Linie AB Strahlen SA enthält, SB, die die Punkte A projizieren, B. Die Projektion des Koinzidenzpunkts von zwei Linien a, b ist der Koinzidenzpunkt der Projektionen ', b ' jener Linien. Ähnlich erhalten wir die Projektion einer Kurve See also:sind eine Kurve. Die Projektionen der Koinzidenzpunkte von zwei Kurven sind die Koinzidenzpunkte der Projektionen der gegebenen Kurven. Wenn eine Linie eine Kurve in den n-Punkten schneidet, dann schneidet die Projektion der Linie die Projektion der Kurve in den n-Punkten. Oder der Auftrag einer Kurve bleibt durch Projektion unverändert. Die Projektion einer Tangente zu einer Kurve ist eine Tangente zur Projektion der Kurve. Für die Tangente ist eine Linie, die zwei zusammentreffende Punkte im See also:Common mit einer Kurve hat. Die Zahl Tangenten, die von einem Punkt zu einem Kurvenremains See also:gezeichnet werden können, der durch Projektion unverändert ist. Oder die Kategorie einer Kurve bleibt durch Projektion unverändert. § 3. Zwei Abbildungen, von denen man eine Projektion vom anderen ist, das in der beschriebenen Weise erreicht wird, können aus der Position heraus verschoben werden, in der sie erreicht werden. Sie werden dann noch, um zu sein ein die Projektion vom anderen gesagt, oder projektiv oder homographisch zu sein. Aber, wenn sie in der Position ursprünglich sind, betrachtete sie sollen in Perspektiveposition oder (kürzer) um See also:Perspektive zu sein. Alle Eigenschaften angegeben in §§ I, Einfluß 2 für Abbildungen, die projektiv sind, ob sie Perspektive oder nicht sind. Es gibt andere, die nur für projektive Abbildungen halten, wenn sie in der Perspektiveposition sind, die wir jetzt betrachten. Wenn das ar mit zwei Flächen und 7r ' Perspektive sind, dann wird ihre Linie des Durchschnitts die See also:Mittellinie der Projektion genannt. Irgendein Punkt in dieser Linie stimmt mit seiner Projektion überein. Folglich sind alle Punkte in der Mittellinie ihre eigenen Projektionen. Folglich trifft alsoEverylinie seine Projektion auf der Mittellinie. § 4. Die See also:Eigenschaft, daß die Linien, die das Entsprechen verbinden, See also:allen Durchlauf durch einen allgemeinen Punkt zeigt, dieses irgendein Paar entsprechende Punkte und die Mitte sind in einer Linie, wird ausgedrückt auch, indem sie sagen, daß die Abbildungen co-linear oder Co-polar sind; und die Tatsache, daß beide Abbildungen eine Linie haben, die Mittellinie, im Common, auf dem entsprechendes Linientreffen ausgedrückt wird, indem man sagt, daß die Abbildungen Co-axal sind. Der Anschluß zwischen diesen Eigenschaften muß nachgeforscht werden. Zu diesem Zweck betrachten wir in der Fläche ein See also:Dreieck-See also:ABC und See also:lassen die Linien BC, Ca, AB werden bezeichnet durch a, b, c., welche die Projektion aus drei Punkten A ' besteht, B ', C ' und drei Linien ', b ', c '. Diese haben solch eine Position, die die Linien AA ', BB ', cm ' See also:Treffen in einem Punkt, nämlich an S und die Koinzidenzpunkte von a und ', b und b ', c und c ' auf der Mittellinie liegen (durch § 2). Die zwei Dreiecke sollen folglich co-linear und Co-axal. Dieser Eigenschaften ist irgendeine eine Konsequenz von der anderen, wie jetzt nachgewiesen wird. Wenn zwei Dreiecke, ob in der See also:gleichen Fläche oder nicht, co-linear sind, sind sie Co-axal. Oder _, wenn die Linien AA ', BB ', cm ' die See also:Gipfel von zwei Dreiecken verbinden in einem Punkt, dann die Durchschnitte von den Seiten BC und B'C ' treffen, sind Ca und C'A ', AB und A'B ' drei Punkte in einer Linie. Andererseits, wenn zwei Dreiecke Co-axal sind, sind sie co-linear. Oder wenn der See also:Durchschnitt der Seiten ABCS und des A'B'C ', nämlich von BC und des B'C ' mit zwei Dreiecken, des Ca und des C'A ' und der AB und des A'B ', der Lüge in einer Linie, dann der Linien AA ', des Treffens BB ' und cm ' in einem Punkt. ProofLet wir nehmen zuerst die Dreiecke an, um in den unterschiedlichen Plätzen zu sein. Durch Vermutung die Linien AA ', BB ', cm ' (fig. I)treffen in schneidenen Linien Punkts. But drei stellen drei Flächen, SCB, SCA und SAB fest. In der ersten Lüge die Punkte B, C und auch B ', C '. Folglich schneiden die Linien BC und B'C ' an etwas Punkt P, weil alle mögliche zwei Linien in der gleichen Fläche schneiden. Ähnlich Ca und C'A ' schneiden an etwas Punkt Q und an AB und an A'B ' an etwas Punkten P, Q, See also: S in der Abbildung, die Mitte der Perspektive. Zweitens wenn die Dreieck-ABC- und -A'B'C-' Lüge beide imselben planieren, hält der oben genannte See also:Beweis nicht. In diesem See also:Fall können wir die flache Abbildung für die Projektion der Abbildung im See also:Raum halten, von dem wir gerade das Theorem geprüft haben. Lassen Sie ABC, ist A'B'C ' die co-linear Dreiecke mit S, wie r-Mitte, damit AA ', BB ', cm ' Treffen bei S. Take jetzt irgendein Punkt im Raum, Ihr See also:Auge See also:E sagen, und von ihm abgehobener Betrag die Strahlen, welche die Abbildung projizieren. Im Linienes-Nehmen zeigt irgendein Punkt SI und in See also:EA, EB, EC-Nehmen Al, BI, Cl beziehungsweise, aber, damit See also:Silikon, KI, BI, Cl nicht in einer Fläche sind. In der Fläche ESA, die die Lüge der Linie SIAI dann die Linie SIAI und auch EA ' projiziert; diese treffen folglich in einem `punkt KI ', von dem A ' die Projektion ist. Zeigt ähnlich BI, Cl ' werden gefunden. Folglich haben wir jetzt in den Dreiecken AIBICI und AI'BI'CI des Raumes zwei ', die co-linear sind. Sie sind folglich d.h. der Punkt-PU, QI, RI coaxal, wo AIBI, &c., Treffen in einer Linie liegt. Ihre Projektionen liegen folglich in einer Linie. Aber diese sind die Punkte P, Q, R, die nachgewiesen werden sollten, in einer Linie zu liegen. Dieses prüft das erste See also:Teil des Theorems. Das zweite Teil- oder Gegenteiltheorem wird genau in der gleichen Weise nachgewiesen. Für einen anderen Beweis sehen Sie (See also: Das letzte Teil wird momentan nachgewiesen. Da die Fläche ' über die Mittellinie in einer oder die gegenüberliegende Richtung gedreht werden kann, gibt es zwei mögliche Perspektivepositionen, wenn die Flächen übereinstimmen. § 6. Gelassen (fig. 2) ist es, ar ' die Flächen, die in der Mittellinie s schneiden, während S die Mitte der Projektion ist. um einen Punkt A im ar zu projizieren verbinden wir A bis S und sehen, wo diese Linie 7r ' schneidet. Dieses gibt den Punkt A '. Aber, wenn wir durch S irgendeine Linie zeichnen, die zu 7r parallel ist, dann schneidet diese Linie ' in etwas Punkt I ' und wenn alle Linien durch S gezeichnet werden, die zu diese bilden eine Fläche parallel sind, die zum ar parallel ist, das das flache ar ' in Ähnlichkeit der Linie I ' zum Mittelliniens. schneidet. wenn wir, daß eine Linie, die zu einer Fläche parallel ist, die letzte in einem endlosen See also:Abstand schneidet, wir können sagen sagen, daß alle Punkte in einem endlosen Abstand in a in Punktfig. 2 projiziert werden. welche in einem i' der geraden Geraden liegen und andererseits alle Punkte in der Linie zu einem endlosen Abstand im ar projiziert werden, während alle weiteren Punkte zu den begrenzten Punkten projiziert werden. Wir sagen folglich, daß alle Punkte in der Fläche a in einem endlosen Abstand betrachtet werden können, wie, liegend in einer geraden Geraden, weil ihre Projektionen in einer Linie liegen. So werden wir wieder geführt, Punkte an der Unbegrenztheit in einer Fläche zu betrachten, wie, liegend in einer Linie (cf. G.-§§ 2-4). Ähnlich es gibt eine Linie See also: 4) i' und J ist auf gegenüberliegenden Seiten der Mittellinie, und die Mitte S liegt zwischen ihnen in solch einer Position, die I'S=TJ und I'T = SJ, wenn I'S=SJ, der Punkt S auf der Mittellinie liegt. Sie folgt, daß irgendein der vier Punkte S, T, J, I' vollständig durch die anderen drei festgestellt wird: wenn die Mittellinie, die Mitte und eine des Linieni' oder des J gegeben werden, wird andere festgestellt; die drei Linien s, i', J stellen die Mitte fest; die Mitte und das Linieni', J stellen die Mittellinie fest. § 9. Wir nehmen jetzt an, daß die zwei projektiven Flächen r, r ' Perspektive sind und gebildet worden sind, um übereinzustimmen. Wenn die Mitte, die Mittellinie und entweder ein Paar entsprechende Punkte auf einer Linie durch die Mitte oder ein Paar entsprechende Linien, die auf der Mittellinie treffen, gegeben werden, dann wird die vollständige Projektion festgestellt. Proof.If A und A ' (fig. I) werden entsprechende Punkte, es muß gezeigt werden gegeben, daß wir zu jedem anderen Punkt B den entsprechenden Punkt B finden können '. Verbinden Sie AB, um die Mittellinie in R. Join RA zu schneiden '; dann muß B ' auf dieser Linie liegen. Aber es muß auf dem LiniencSb auch liegen. Wo beide Treffen B ' ist. Daß die Abbildungen, die folglich erhalten werden, wirklich projektiv sind, können vom Helfer des Theorems von § 4 gesehen werden. Für, wenn für irgendeinen Punkt C der entsprechende Punkt C ' gefunden wird, dann sind das Dreieck-ABC und -A'B'C ', durch See also:Aufbau, co-linear, folglich Co-axal; und s ist die Mittellinie, weil AB und Wechselstrom ihre entsprechenden Linien A'B ' und A'C ' auf ihr treffen. BC und B'C ' folglich treffen Sie auch auf s. Wenn andererseits a, ' entsprechende Linien gegeben werden, dann schneidet jede mögliche Linie durch S sie in entsprechenden Punkten A, A ', das als oben verwendet werden kann. § Io. Reihen und Bleistifte, die projektiv sind oder Perspektive sind in der ArtikelcGeometrie betrachtet worden (G.-§§ 12-40). Alles, das besagte dort Einflüsse, selbstverständlich, hier für irgendein Paar entsprechende Reihen oder Bleistifte gewesen ist. Die Mitte der Perspektive für irgendein Paar entsprechende Reihen ist in der Mitte von Projektion S, während die Mittellinie zusammentreffende entsprechende Elemente enthält. Entsprechende Bleistifte haben andererseits ihre Mittellinie der Perspektive auf der Mittellinie der Projektion, während die zusammentreffenden Strahlen durch die Mitte überschreiten. Wir erwähnen hier einige jener Eigenschaften, die von der Perspektiveposition unabhängig sind: Die See also:Korrespondenz zwischen zwei projektiven Reihen oder Bleistiften wird vollständig festgestellt, wenn zu drei Elementen in den einen entsprechenden einen im anderen gegeben werden. Wenn zum Beispiel in zwei projektiven Reihen drei Paare der entsprechenden Punkte gegeben werden, dann können wir zu jedem anderen Punkt in irgendeinem den entsprechenden Punkt (G.-§§ 29-36) finden. Wenn A, B, C, D vier Punkte in einer See also:Reihe sind und A ', B ', C ', D ' die entsprechenden Punkte, dann ihre See also:Kreuz-Verhältnisse (AB, DIGITALSCHALLPLATTE) = gleich sind (A'B ', C'D')where (AB, DIGITALSCHALLPLATTE) = AC/CB:AD/DB. Wenn insbesondere der Punkt D an der Unbegrenztheit ist, haben wir (AB, DIGITALSCHALLPLATTE) = AC/CB = AC/BC. 
Wenn folglich die Punkte D und D ' beide an der Unbegrenztheit sind, haben wir AC/BC=AD/BD, und die Reihen sind ähnlich (G.-§ 39). Dieses kann in den speziellen Fällen nur geschehen. Für Linie verbindenen entsprechenden überschreitet die Punkte durch die Mitte; die letzte Muß-folglich Lüge an der Unbegrenztheit, wenn D, D ' unterschiedliche Punkte an der Unbegrenztheit sind. Aber, wenn D und D ' übereinstimmen, müssen sie auf der Mittellinie d.h. am Punkt an der Unbegrenztheit der Mittellinie liegen, es sei denn die Mittellinie zusammen an der Unbegrenztheit ist. Folglich in zwei planiert Perspektive jede Reihe, die zur Mittellinie ist ähnlich seiner entsprechenden Reihe parallel ist und im allgemeinen keine andere Reihe diese Eigenschaft hat. Aber, wenn die Mitte oder die Mittellinie an der Unbegrenztheit dann ist, ist jede Reihe seiner entsprechenden Reihe ähnlich. In irgendeinem dieser zwei Fälle sind die metrischen Eigenschaften besonders See also:einfach. Wenn die Mittellinie an der Unbegrenztheit ist, ist das Verhältnis von similitude dasselbe für alle Reihen und die Abbildungen sind ähnlich. Wenn die Mitte an der Unbegrenztheit ist, erhalten wir parallele Projektion; und das Verhältnis der similitudeänderungen von Reihe zu Reihe (sehen Sie §§ 16, 17). In beiden Fällen sind die Mittelpunkte der entsprechenden Segmente entsprechende Punkte. § II. Involution.If die Flächen von zwei projektiven Abbildungen stimmen überein, dann muß jeder Punkt in ihrer allgemeinen Fläche, einmal als ein Punkt A in der Abbildung es, einmal als Punkt B ' in der Abbildung r ' zweimal gegolten werden. Die Punkte A ' und B, das ihnen entspricht, See also:willen im allgemeinen sind unterschiedliche Punkte; aber er kann geschehen, daß sie übereinstimmen. Hier hält ein Theorem ähnlich dem über Reihen (das G.-§§ 76 folgend). Wenn zwei projektive Flächen übereinstimmen und wenn einem Punkt in ihrer allgemeinen Fläche der gleiche Punkt entspricht, ob wir den Punkt für halten, gehörend der ersten oder der zweiten Fläche, dann geschehen dieselben für jedes andere pointthat soll, zu jedem Punkt sagen entsprechen der gleiche Punkt im ersten wie in der zweiten Fläche. In diesem Fall sollen die Abbildungen in der Einwicklung. Proof.Let (fig. 5) S ist die Mitte, s die Mittellinie der Projektion und ließ einen Punkt, der von A im ersten flachen und von B ' in der Sekunde bezeichnet wird, die Eigenschaft zu haben, die die Punkte A ' und B, das ihnen entspricht wieder, übereinstimmen. Lassen Sie C und D ' die Namen sein, die etwas anderer Punkt in den zwei Flächen hat. Wenn der Linienwechselstrom die Mittellinie in X schneidet, dann der Punkt, wo die Linie XA ' Schnittsc der Punkt C ' entsprechend C ist (§ 9). Die Linie B'D ' schneidet auch die Mittellinie in X, und folglich ist der Punkt D, der D ' entspricht, der Punkt, in dem XB Sd ' schneidet. Aber dieses ist der gleiche Punkt wie C '. Dieser Punkt C ' konnte auch erhalten werden, indem man See also:COLUMBIUM See also:zeichnete und seinen Durchschnitt Y mit der Mittellinie zu B verband '. Dann muß C ' der Punkt sein, in dem B'Y Sc trifft. Diese Abbildung, die jetzt ein komplettes See also:Viereck bildet, zeigt, daß zwecks Einwicklung erhalten, die das Entsprechen zeigt, A und A ' müssen harmonische Paronyme hinsichtlich S und des Punktes T sein, in dem AA ' die Mittellinie schneidet. Wenn zwei Perspektiveabbildungen in der Einwicklung sind, zwei entsprechende Punkte harmonische Paronyme hinsichtlich der Mitte und des Punktes in dem die Linie sind, die sie Schnitte die Mittellinie verbindet. Ähnlich sind alle mögliche zwei entsprechenden Linien harmonische Paronyme hinsichtlich der Mittellinie und der Linie von ihrem Koinzidenzpunkt zur Mitte. Andererseits, wenn in zwei Perspektiveflächen ein Paar entsprechende Punkte harmonische Paronyme hinsichtlich der Mitte und des Punktes in dem die Linie ist, die sie Schnitte die Mittellinie verbindet, dann jedes Paar entsprechende Punkte hat, sind diese Eigenschaft und die Flächen in der Einwicklung. § 12. Projektive Flächen, die nicht in der Rückkehr der Perspektive position.We zum Fall sind, der zwei Flächen es und r ' projektiv sind, aber nicht in Perspektiveposition und See also:Zustand in einigen der wichtigeren Fälle die Bedingungen, die die Korrespondenz zwischen ihnen feststellen. Hier ist sie vom großen See also:Vorteil zum Beginnen mit einer anderen See also:Definition, die, zwar zuerst ihn scheinen kann, vom weit grösseren Allgemeinen zu sein, ist in der Wirklichkeit, die bis die See also:gleichwertig ist, die vorher gegeben wird. Wir nennen zwei Flächen projektiv, wenn jedem Punkt in einem ein Punkt im anderen, zu jeder Linie eine Linie und zu einem Punkt in einer Linie ein Punkt in der entsprechenden Linie entspricht, derart daß das Kreuz-Verhältnis von vier Punkten in einer Linie oder von vier Strahlen in einem See also:Bleistift, dem Kreuz-Verhältnis der entsprechenden Punkte oder der Strahlen gleich ist. Das letzte Teil über die See also:Gleichheit von Kreuz-Verhältnissen kann gewesen werden eine Konsequenz von der ersten. Da Raum uns nicht erlaubt, einen genauen Beweis für dieses zu geben, schließen wir es in die Definition mit ein. Wenn eine Fläche wirklich zu anderen projiziert wird, erhalten wir eine Korrespondenz, die die Eigenschaften hat, die in der neuen Definition angefordert werden. Dieses zeigt, daß eine Korrespondenz zwischen zwei Flächen an diese Definition ist möglich sich anpassen. Daß es auch wir definitiv ist, müssen darstellen. Es folgt sofort, daß entsprechende Reihen und likewise entsprechende Bleistifte, in der alten Richtung projektiv sind (G.-§§ 25, 30). Fördern Sie, wenn zwei Flächen zu einem Third projektiv sind, den sie miteinander projektiv sind. Die Korrespondenz zwischen zwei projektiven Flächen werden es und es, wenn wir jede zwei Reihen u, See also: Die Reihe AB hat folglich drei Punkte A, B, E, das mit ihren entsprechenden Punkten zusammentreffend ist, und ist folglich mit ihr identisch (§ io). Da es sechs Linien gibt, die zwei und zwei der vier Punkte A, B, C verbinden, sind D, dort sechs Linien so, daß jeder Punkt in irgendeinem mit seinem entsprechenden Punkt übereinstimmt. Jede andere Linie hat folglich die sechs Punkte, in denen sie diese schneidet, und folglich alle Punkte, die mit ihren entsprechenden Punkten zusammentreffend sind. Der Beweis des zweiten Teils ist genau derselbe. Er folgt § 14. Wenn zwei projektive Abbildungen, die nicht identisch sind, Lüge in der gleichen Fläche, dann nicht mehr als drei Punkte, die nicht in einer Linie oder in drei Linien sind, die nicht durch einen Punkt überschreiten, mit ihren entsprechenden Punkten oder Linien zusammentreffend sein können. Wenn die Abbildungen in Perspektiveposition sind, dann haben sie in der Linie des Common eins, die Mittellinie, mit allen Punkten in ihr und in einem Punkt, die Mitte, mit allen Linien durch ihn. Kein anderer Punkt oder Linie können mit seinem entsprechenden Punkt oder Linie ohne die Abbildungen folglich übereinstimmen, die identisch werden. Er folgt auch, daß die Korrespondenz zwischen zwei projektiven Flächen vollständig festgestellt wird, wenn es giveneither zu vier Punkten in dem die entsprechenden vier Punkte im anderen gibt, vorausgesetzt daß Nr. drei von ihnen Lüge in einer Linie oder zu allen möglichen vier Linien das Entsprechen vorausgesetzt daß Nr. drei von ihnen Durchlauf durch einen Punkt zeichnet. dieses zu zeigen, das wir zuerst dieses zwei Flächen r, x' beobachten, kann projektiv gebildet werden, derart daß vier gegebene Punkte A, B, C, D in dem vier gegebenen Punkten A ' entsprechen, B, C ', D ' im anderen; für die Linien AB, entspricht CD die Linien A'B ' und C'D ' und dem Durchschnitt E vom ehemaligen der Punkt E ' wo das letzte Treffen. Die Korrespondenz zwischen diesen Reihen wird folglich festgestellt, da wir drei Paare der entsprechenden Punkte kennen. Aber dieses stellt eine Korrespondenz fest (durch § 12). das und auch im Fall von § 12 in diesem Fall zu prüfen dort ist, aber eine mögliche Korrespondenz, ließ uns annehmen, daß es zwei gab oder das, das wir in den Abbildungen der Fläche zwei haben könnten, welche jedes zur Abbildung in a projektiv sind und welche jedes die Punkte A'B'C'D ' entsprechend den Punkten ABCD in ir haben. Dann willen sich diese zwei Abbildungen sind projektiv und haben vier entsprechende zusammentreffende Punkte. Sie sind folglich durch § 13 identisch. Zwei projektive Flächen sind in der Perspektive, wenn eine Reihe mit seiner entsprechenden Reihe übereinstimmt. Die Linie, die diese Reihen enthält, ist die Mittellinie der Projektion. Während in diesem Fall jeder Punkt auf s mit seinem entsprechenden Punkt übereinstimmt, folgt er daß jede Reihe, die Treffen seine entsprechende Reihe ' auf s ist, in dem entsprechende Punkte See also:vereinigt werden. Die zwei Reihen a, ' sind folglich Perspektive (G.-§ 30) und die verbindenen entsprechenden Punkte der Linien treffen in einem Punkt S., If r irgendeine dieser Linien ist, die a schneiden, ' in den Punkten A und A ' und in der Linie s an See also: In diesem Fall müssen die zwei Flächen selbstverständlich übereinstimmen, während im ersten Fall diese nicht notwendig ist. §ig. Wir zeigen jetzt, daß zwei Flächen welche entsprechend Definition (§ 12) projektiv sind in Perspektiveposition geholt werden können, folglich die die neue Definition mit dem alten wirklich gleichwertig ist. Wir benutzen die fclllowing Eigenschaft: Wenn zwei zusammentreffende Flächen a und See also: Wenn dann die Fläche tr ' zu sich verschobenes paralleles ist, bis T ' zu T kommt, dann stimmen diese zwei Linien mit einander und mit ihnen übereinstimmen die Linien AB und A'B ' überein. Diese Linie und ähnlich jede Linie durch t-Willen folglich stimmen jetzt mit seiner entsprechenden Linie überein. Die zwei Flächen sind folglich entsprechend dem letzten Theorem in § 14 in Perspektiveposition. Es wird beachtet, daß die Fläche tr ' auf sie in zwei unterschiedliche Möglichkeiten gelegt werden kann, nämlich, wenn wir auf gesetzt haben, können wir es beseitigen und es in Raum umwenden, bevor wir ihn zurück zu r holen, damit was war, sein Upper jetzt sein untereres See also:Gesicht wird. Für jede dieser Positionen erhalten wir ein Paar Mitten T, T ' und nur ein Paar, weil der oben genannte Prozeß jede Perspektiveposition geben muß. Er folgt in zwei projektive Flächen dort ist im allgemeinen zwei und nur zwei Bleistifte in irgendeinem so, daß Winkel in einem ihren entsprechenden Winkeln im anderen gleich sind. Wenn einer dieser Bleistifte zusammentreffend mit seinem entsprechenden gebildet wird, dann sind die Flächen Perspektive. Dieses stimmt mit der Tatsache überein, daß zwei Perspektiveflächen im Raum zusammentreffend gebildet werden können, indem man ein über ihre Mittellinie in zwei unterschiedlichen Möglichkeiten dreht (§ 8). In der Argumentation, die ihm eingesetzt wird, ist wesentlich, daß die Linien J und i' begrenzt sind. Wenn man an der Unbegrenztheit liegt, stimmen Sagen J, dann i und J überein, folglich stimmen ihr entsprechendes Linieni' und J ' überein; das heißt, liegt i' auch an der Unbegrenztheit, damit die Linien an der Unbegrenztheit in den zwei Flächen entsprechende Linien sind. Wenn die Flächen jetzt zusammentreffend und Perspektive gebildet werden, dann kann sie geschehen, daß die Linien an der Unbegrenztheit Punkt für Punkt entsprechen, oder kann gebildet werden, um so zu tun, indem sie die eine Fläche in sich See also:drehen. In diesem Fall ist die Linie an der Unbegrenztheit die Mittellinie, während die Mitte ein begrenzter Punkt sein kann. Dieses gibt ähnliche Abbildungen (sehen Sie § i6). Im anderen Fall entspricht die Linie an der Unbegrenztheit sich ohne die Mittellinie zu sein; alle Linien, die verbinden das Entsprechen, zeigt folglich übereinstimmen mit ihm, und die Mitte S liegt auf ihr an der Unbegrenztheit. Die Mittellinie ist irgendeine begrenzte Linie. Dieses gibt parallele Projektion (sehen Sie § 17). Mangels Raum zeigen wir nicht, wie man in diesen Fällen die Perspektiveposition findet, aber erwähnen nur, daß im ersten Fall irgendein Paar entsprechende Punkte in ihm und im ow ' als die Punkte T und T genommen werden kann ', während im anderen Fall es einen Bleistift von Ähnlichkeiten in ir so gibt, daß jede mögliche eine Linie von diesen gebildet werden kann, um Punkt für Punkt mit seiner entsprechenden Linie in ir übereinzustimmen ' und folglich als die Mittellinie der Projektion dient. Es ist folglich möglich, die Flächen in Perspektiveposition zu erreichen, indem man zuerst irgendeinen Punkt A ' in seinem entsprechenden Punkt A setzt und dann 7r ' über diesen Punkt dreht, bis die Linien, die entsprechende Punkte verbinden, parallel sind. § i6. Ähnliches Figures.If die Mittellinie ist an der Unbegrenztheit, die jede Linie zu seiner entsprechenden Linie parallel ist. Entsprechende Winkel sind folglich gleich. Die Abbildungen sind ähnlich und (§ io) ist das Verhältnis von similitude aller möglicher zwei entsprechenden Reihen konstant. Wenn ähnliche Abbildungen in Perspektiveposition sind, sollen sie ähnlich aufgestellt, und die Mitte der Projektion wird die Mitte von similitude genannt. um zwei ähnliche Abbildungen in diese Position zu legen, beobachten wir, daß ihre Linien an der Unbegrenztheit übereinstimmen, sobald beide Abbildungen in die gleiche Fläche eingesetzt werden, aber die Reihen auf ihnen nicht notwendigerweise identisch sind. Sie sind projektiv und folglich im allgemeinen stimmen nicht mehr als zwei Punkte auf einem mit ihren entsprechenden Punkten im anderen überein (G.-§ 34). sie es identisch zu bilden ist entweder genügend, eine Abbildung in seiner Fläche zu drehen, bis drei Linien in einer zu ihren entsprechenden Linien in der anderen parallel sind, oder es ist vor diesem kann getan werden, um die eine Fläche in Raum umzuwenden notwendig. Es kann gezeigt werden, daß im ehemaligen Fall alle Linien sind, oder keine Linie ist, parallel zu seiner entsprechenden Linie, während im zweiten Fall es zwei Richtungen gibt, senkrecht miteinander, die die Eigenschaft haben, daß jede Linie in jeder Richtung zu seiner entsprechenden Linie parallel ist. Wir sehen auch daß, wenn in zwei ähnlichen Tabellen drei Linien, von denen Nr. zwei parallel sind, beziehungsweise zu ihren entsprechenden Linien parallel sind, dann hat jede Linie diese Eigenschaft und die zwei Abbildungen werden ähnlich aufgestellt; oder zwei ähnliche Abbildungen werden ähnlich aufgestellt, sobald zwei entsprechende Dreiecke sind, also aufgestellt. Wenn zwei ähnliche Abbildungen Perspektive ohne in der gleichen Fläche zu sein sind, müssen ihre Flächen Ähnlichkeit sein, während die Mittellinie an der Unbegrenztheit ist. Flache Abbildung HenceAny wird von jeder möglicher Mitte zu einer parallelen Fläche in eine ähnliche Abbildung projiziert. Wenn zwei ähnliche Abbildungen ähnlich aufgestellt werden, können dann entsprechende Punkte entweder auf gleichen oder auf unterschiedlichen Seiten der Mitte sein. Wenn, außerdem, das Verhältnis von similitude Einheit ist, dann sind entsprechende Punkte von der Mitte äquidistant. Im ersten Fall folglich sind die zwei Abbildungen identisch. Im zweiten Fall sind sie identisch gleich aber nicht zusammentreffend. Sie können gebildet werden, um übereinzustimmen, indem sie ein in seiner Fläche durch zwei rechte Winkel über die Mitte von similitude S. The drehen, das Abbildungen in der Einwicklung sind, wie sofort gesehen wird, und sie sollen hinsichtlich des Punktes S als Mitte symmetrisch. Wenn die zwei Abbildungen als Teil ein betrachtet werden, dann wird diese gesagt, um eine Mitte zu haben. So regelmäßige Polygone einer geraden Zahl der Seiten und der Parallelogramme haben jedes eine Mitte, die eine Mitte von Symmetrie ist. § 17 paralleles Projection.If, anstelle von der Mittellinie, die Mitte wird auf Unbegrenztheit verschoben, sind alle hervorstehenden Strahlen parallel und wir iet, was parallele Projektion genannt wird. In diesem Fall überschreitet die Linie am innity durch die Mitte und entspricht folglich sich aber nicht Punkt für Punkt wie im See also:Kasten der ähnlichen Abbildungen. irgendeinem Punkt entspricht I an der Unbegrenztheit folglich ein Punkt I' auch an der Unbegrenztheit aber unterschiedliches zu dem ersten. um die Linien folglich zu entsprechen, die an entspreche mir treffen, parallele Linien einer anderen Richtungssitzung an I. See also:Weiter in irgendwelchen zwei rudert das Entsprechen die zwei Punkte an der Unbegrenztheit sind entsprechende Punkte; folglich sind die Reihen ähnlich. Dieses gibt die Haupteigenschaften der parallelen Projektion: um Linien zu entsprechen entsprechen Sie parallele Linien; oder einem Parallelogramm entspricht ein Parallelogramm. Die Korrespondenz der parallelen Projektion wird vollständig, sobald für jedes mögliches Parallelogramm in der einer Abbildung das entsprechende Parallelogramm in der anderen vorgewählt worden ist, wie folgt vom allgemeinen Fall in § 14 festgestellt. [ entsprechende Reihen sind ähnlich (§ Io). ], Das Verhältnis von similitude für diese Reihen ändert mit der Richtung: Wenn eine Reihe zur Mittellinie parallel ist, ist seine entsprechende Reihe, die auch zur Mittellinie parallel ist, ihr gleich, weil alle mögliche zwei Paare AA ' und BB ' der entsprechenden Punkte ein Parallelogramm bilden. Eine andere wichtige Eigenschaft ist das folgende: Die See also:Bereiche der entsprechenden See also:Zahlen haben ein konstantes Verhältnis. Wir prüfen dieses erste für Parallelogramme. Lassen Sie ABCD und EFGH alle mögliche zwei Parallelogramme in a, in A'B'C'D ' und in E'F'G'H ' sein die entsprechenden Parallelogramme innen. Dann dem Parallelogramm KLMN, das liegt (fig. 6) zwischen den Linien AB, CD und EF, Handhabung am Boden entspricht ein Parallelogramm K'See also: Zusätzliche Informationen und AnmerkungenEs gibt keine Anmerkungen dennoch für diesen Artikel.
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