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S21 _ KI Oaol a2Ca01 a1á30+a21 die See also:Formel gibt wirklich den Ausdruck von () mittels See also:der Trennungen von (1Op014), der eins der Fächer von Q) ist. Dieses ist der zutreffende Standpunkt, von dem das Theorem betrachtet werden sollte. Es ist aber ein bestimmter See also:Fall von einer allgemeinen Theorie von expressibility. um die Formel umzukehren können wir 1 +alox See also:schreiben +a0ý +... +aP4xPy4 +... = exp { (siox+soiy) sòx2+2Slixy+so2y2) +... } und leiten darauf die Formel ab (-)P+See also: ', und jetzt erweitern See also: ''PlgihP2g2 '.. hD4 = See also:E (PU 1) ' 2! ' i S 2+ 21)! -1 * 1 * g L Fotorezeptor! q1! (p2! q2!..., S "1ri! sr2!... SP1g15P2g2..., Differential Operations.If, in der Identität (L +See also:aix+Sly) (L +a2x+15'sy)... (1+ ein ' x+$, ein.y) = 1 +alox +aoly +aòx2 +aaxy +a02y2 +..., multiplizieren wir jede Seite vorbei (1+µx+vy), die rechte Seite werden 1+(aio+/3)x+(aol+See also: +, ' v4DP4+-...)f; jetzt seit der See also:Einleitung der neuen Quantitäten See also:O, ergibt v die Hinzufügung zur Funktion (p1g1p2g2p2q3.••) des neuen ••) der Bezeichnungen tìv41(p2g2p3g3•••) +KP2v42(plgip3g3• +113P43(piglp2g2•••) + •••, finden wir DP1g1(p1g1p2gsp2q3...) = (p2g2psg3...) und darauf verursacht DP1g1DP242DPags... (plgip2g2p3g3...) = 1, während D"f=o, es sei denn das See also:Teil r7 in f. wir miteinbezogen wird, dann angeben kann, daß DP ein Betrieb ist, der ein Teil pq auswischt, wenn solches Teil anwesend ist, aber im konträren Fall die Funktion zu hP4 = (-) Fq1 h,4 = verschwinden. Von der oben genannten Div. ist ein Operator von Auftragspq, aber es ist bequem, damit etwas Zwecke seinen Ausdruck in See also: Ri (p2+q2-1)! See also:R2 Dpg- Ng1! p2!Q2! ... ir1!ir2!..., See also:Wanne Tp2..., die letzte schriftliche Relation, die, hinsichtlich jeder See also:Bezeichnung auf der rechten Seite hat, mit aufeinanderfolgenden linearen Betrieben Evr zu tun. Die Formeln erinnernd an, über denen spg und apg, sehen wir, daß dpq und OP, in der Co-Relation mit diesen Quantitäten beziehungsweise sind, und können anschließen gesagt zu werden, Betriebe zu sein, die den Fächern entsprechen, (pq), (iovolq) beziehungsweise. Wir konnten von dieser Beobachtung vermuten, daß jedes Fach in der See also:Korrespondenz mit irgendeinem Betrieb ist; von dieser wird gefunden, um der Fall zu sein, und es ist (Positionsverdichtereintrittslufttemperat P. 493) dem der Betrieb 1 1 i-dvigld, 20... (die See also:Vermehrung symbolisch) entspricht dem gezeigt worden Fach (p, g1n1 p2g2"2•••)• die Fächer, die genommen werden da, symmetrische Funktionen bezeichnend, haben wir, komplette Korrespondenz zwischen der Algebra Quantität und Betrieb, und von jeder algebraischen Formel können wir eine Betriebsformel sofort notieren. Diese Tatsache ist vom extremen Wert in der Theorie der algebraischen Formen, und ist leicht darstellbar, was auch immer die Zahl den Systemen von Quantitäten ist. Wir können das bestimmte Resultat erwähnen (_)p+~'(P pIf 1)!dpgsp.2=Dpq(4 = 1; dpg veranläßt jede andere einzelne Teilfunktion zu verschwinden und muß jede mögliche Eingliedrigfunktion veranlassen zu verschwinden, die ein nicht von den Fächern des biweightpq unter seinen Teilen enthält. Seit dpg=()"*'-1(p+q 1)! d-p!q! dspg ' die Lösungen des teilweisen Differentialgleichungdpg=o sind die einzelnen bipartformen und See also:lassen spg aus, und wir haben gesehen, daß die Lösungen D"g = O jene Eingliedrigfunktionen von sind, in denen das Teilpq abwesend ist. Eine weitere Relation wird leicht, nämlich erreicht. d p dpq-hlodp+1, q-halten p,g+1+... +(-)*+.lh.dp+*,g+•+...., WürfelResultante Ueber einesSystemes mehrerer algebraischen Gleichungen, "Wienverhandlungen, t. iv. 1852; See also:MacMahon, "See also:Abhandlungen auf einer neuen Theorie der symmetrischen Funktionen," amerikanisches ' Phil. Trans., 1890, P. 490. See also:Journal von See also:Mathematik, See also:Baltimore, Md. 1888-189o; See also:Abhandlung auf symmetrischen Funktionen der Wurzeln der Systeme von Gleichungen, "Phil. Transport. 189o. Eine binäre Form von See also:Auftrag n ist ein homogenes Polynom des nth Grads in zwei Variablen. Es kann in das des Ni-N2 2 der Form n axl +bxi x2 +See also:cx1 x2 +a. geschrieben werden; oder in der Form ax"+ll)bxn 1x2+2)cxnsx2+..., 1, das See also:Cayley durch 1 See also: XI, x2) soll einen Covariant vom quantic. Der Ausdruck "invariantive Formen" umfaßt invariants und Covariants und häufig auch andere analoge Formen, die getroffen wird. See also:Gelegentlich umfaßt das Wort "invariants" Covariants; wenn dieses also ist, wird es durch den See also:Text angedeutet. Formen Invariantive werden gefunden, um homogene Funktionen zu sein gleich von den Koeffizienten und von den Variablen. Anstelle von einem einzelnen quantic können wir mehrere haben _ f (AO, a2...;; x1, x2), 0(b _ O, b1, TT,; x1, x2)..., von welchen unterschiedliche Koeffizienten haben, sind die See also:gleichen Variablen und gleiche oder unterschiedliche Grad in den Variablen; wir können sie alle durch den gleichen Ersatz umwandeln, damit sie f werden (AO, a1, a2...; T1, 6), ((Ba, Querstation, b2...; Ti, E2),...., wenn dann wir F(ag, a1, a2,-... bo, bt, b2 finden,; E1, 52), s r ' F(ag, a1, e2,-... bo, b1, b2,; x1,-See also:Silikon) und darauf µdio+vdoi _ (µ2d2c+2µvdu+v2do2) + ••. = Maschinenbordbuch (1+A1)1o+vDe1+... +µvvgDpg+...). von diesen Formeln leiten wir zwei wichtige Relationen, nämlich ab. (-)s+g-1(p+q1)!d ' (-)1, r1(See also:Ea-11)!Dr1 Dp2g2.., p!q! 9'2 = ~ 2r1.2r2...., (_ E r-1,r1 d7r2 O f 1 1 2 2 1 2 in den neuen Variablen, das vom gleichen Auftrag wie die quantic Vorlage ist; die neuen Koeffizienten a, a, ein... a sind lineare Funktionen 0 der ursprünglichen Koeffizienten und auch L lineare Funktionen von den Produkten, der Koeffizienten des Ersatzes, vom nth Grad. Indem wir die Gleichungen der Umwandlung lösen, erreichen wir rt1 = 0.22x1- a12x2, rf;2 = - a21x1+anx2, die Funktion F, auf dem Recht, das r multipliziert, soll ein simultanes unveränderliches oder Covariant des Systems von quantics. Dieser Begriff ist in der anwesenden Theorie grundlegend, weil wir finden, daß eins der wertvollsten artifices für das Finden von invariants von einem einzelnen quantic erstes zum Finden der simultanen invariants von einigen unterschiedliches quantics ist, und nachher das ganzes quantics identisch bilden. Außerdem anstatt, ein Paar Variablen x1 zu haben, x2 können wir yl einiger Paare, y2 haben; z1, z2;..., zusätzlich und wandeln Sie jedes Paar zu einem neuen Paar durch Ersatz um und die gleichen von Koeffizienten, 612, a21, a22 haben und kommen Sie zu Funktionen die ursprünglichen Koeffizienten und Variablen (von einem oder mehr quantics) die die über-definierte unveränderliche See also:Eigenschaft besitzen. Eine Einzelheit, die vom See also:System quantic ist, kann von gleiche oder unterschiedliche Grad in den Paaren der Variablen, die sein es miteinbezieht, und diese Grad können von quantic zu quantic des Systems schwanken. Solches quantics sind durch Cayleymultipartite benannt worden. Symbolische Form.Restricting-See also:Betrachtung, für das See also:Geschenk, zu den binären Formen in einem einzelnen Paar Variablen, müssen wir die symbolische Form von Aronhold, von Clebsch und von Gordan vorstellen; sie schreiben das Ni n n n der Form n n n n-1 alxl+a2x2)n- = alxl+(l)al-azxl x2+..., I a2.x2=ay, worin a1, a2 Umbrae sind, so, daß n-1 n-1 es Al a1 a2... ala2, a2 symbolical Darstellungen der realen Koeffizienten AO sind, Al... an-1, und im allgemeinen â-kaz ist das See also:Symbol für ak. - wenn wir auf diesen See also: Gr. Die Funktion aoa2-a ausdrücken;, welches des binären quadratischen aoxi +àix1x2+a2xa = â=bl das diskriminierende ist, in einer symbolischen Form haben wir 2(aoa2-ai) = aca2+alai-à1. a1 = aibi+az, Bi -à1a2b1bz = (alb2 - a2b1)2. Ein solcher Ausdruck wie aib2-a2bi, das TagescAbs-Taten-ABS Oxi Ox2-Ox2 Oxi ' ist, wird normalerweise (AB) für Kürze geschrieben; in der gleichen Darstellung der bestimmende Faktor, dessen Reihen Al sind, a2, a3; b1, b2, b3; c1, c2, c3 beziehungsweise, wird (See also:ABC) und so weiter geschrieben. Es sollte beachtet werden daß die reale Funktion, die vorbei bezeichnet wird (ab)2 ist nicht das Quadrat einer realen Funktion, die vorbei bezeichnet wird (¢b). Für ein einzelnes quantic des ersten Auftrages (AB) ist das Symbol einer Funktion der Koeffizienten, die identisch verschwindet; von so (AB) = a1b2 - a2bl=anal - alao = 0 und in der See also:Tat von einer See also:Anmerkung, die oben gebildet wird sehen wir, daß (AB) unverändert durch See also:Austausch a und b bleibt; aber (AB) = erfordern -(ba) und diese zwei Tatsachen (AB) = O. Den Effekt der linearen Umwandlung auf der symbolischen Form von quantic finden wir Willensdisuse die Koeffizienten, die,, und X1 einsetzen, Al, X2, 132 sind. Für den Ersatz XI = X151 +µ1S2, x2 = X251 +µ2S2, des Moduls a2 µ2 = (a1µ2-X2111) = (aµ), E das quadratische Formasx; +àlxlx2+a2x = y = f (X), wird Tot +ÀlEli:2+Aata = an = ~(>), wo Ao=aoXi+à1X1X2+a2X2, _ A1 = aoXi 1+a1(t11p1±X2p1) +a2Xz/i2, A2 = Asp? • +à1µ1µ2 +a2µ 2, das wir zu den symbolischen ay Formen = führen ((slx'+a2x2)2, A = (A161+A2 2)z, durch das Schreiben für ein Al, als die Symbole, a;, ala2, a; und dann AO, A1, A2, AN, A1A2, AA zu = +à1aà1~2+az)2 = (ads'+a2Xz)2 = Al, Al - = (See also:Seide +a2X2) (aiµ1+a2to2) = aAaµ, A2 = (a1tL1+aisis)2=aµ; damit - A~ -+àAaµEl6 +aµe = (axEl+aµ6)2; woher Al, A2 AA, aµ beziehungsweise und ~(f) = (aAf;l+aN, 2)2. das praktische Resultat der Umwandlung soll das Umbraeal, a2 ändern in die Umbrae AA = a1)1+a2X2, = Al des • a1µ1+a2tL2 = (Al XI +a2X2)"- 1(a1µ1 +azµ2) = arcµ = Al -1 A2, n-k Ak n k = werden (a1Xl+azaz)n k (a1µ1+azµ2)k = ein aµk = A1 bei 2, damit das Umbraeal, A2 Axt sind, aµ beziehungsweise. Theorem.When die binäre Form ay = (alxl+a2x2)n A = (A151+A22)n wird durch zum Ersatz x1=X1 1+111E2, x2 = A2f;1+µ2t2, das Umbraeal, A2 werden ausgedrückt in dem Umbraeal, a2 durch ausgedrückt das während Al der Formeln = Xlal+Xà2, A2 =/Alai +µà2•, das wir dieses Al erfassen, A2 werden umgewandelt zum Al, a2 in solchem umgewandelt klugem, das der bestimmende Faktor der Umwandlung durch liest Reihen, der ursprüngliche bestimmende Faktor durch Spalten liest, und das der See also:Modul der Umwandlung ist, wie vor, NR.. Aus diesem See also:Grund sollen das Umbraeal, A2 bis XI, x2 contragredient. Wenn wir die Gleichungen lösen, die die Vorlage und umgewandelte unbrae, die wir, anschließen finden (Xµ) (a2) = Al (A2) +µ1A1, (X ') werden Al = die a2(- A2) +µÀ1 und uns finden Sie daß, außer dem Faktor (Aµ), - a2 und +al - A2 und +Al durch den gleichen Ersatz umgewandelt, die XI und x2 zu r und 2 umgewandelt werden. Aus diesem Grund die Umbrae - a2, Al sollen XI und x2 cogredient. Wir See also:treffen häufig die cogredient und contragedient Quantitäten, und wir haben im allgemeinen das folgende definitions:(i) ", wenn zwei gleichmäßig zahlreiche Sätze Quantitäten x, y, z... x', y ', z ',... so sind, daß, wann immer ein gesetztes x, y, z... in neuen Quantitäten X, Y, Z ausgedrückt ausgedrückt wird... der zweite Satz x ', y ', z ',.. in anderen neuen Quantitäten X ausgedrückt ' ausgedrückt wird, Y ', Z ', durch den gleichen See also: Seit (AB) = muß aibá2b, daß dieser der Fall sein kann jede Form, linear sein; und wenn die Formen sind (AB) ist ein unveränderliches (simultan) der zwei Formen, sein realer Ausdruck unterschiedlich, der, agbiaibo ist. Dieses wird als das Endergebnis der zwei linearen Formen erkannt. Wenn die zwei linearen Formen identisch sind, das umbral Satzal, a2; Bi, b2 sind alternativ, sind schließlich gesetztes gleiches bis ein anderes eins und (AB) verschwindet. Eine einzelne lineare Form hat tatsächlich kein unveränderliches. Wenn irgendeine der Formen von einem Auftrag stark als das erste (AB) ist, als nicht seiend in den tatsächlichen Koeffizienten der Formen ausgedrückt, nicht ist ein unveränderliches ausdrückbar und hat keine Bedeutung. Andere Sätze Symbole C jetzt vorstellen, D...; c, d... können wir (AB)'(AC)~(BC)k... _ Ns) i+i+k+-... (ab)ac) t(bc)k schreiben..., damit das symbolische Produkt (ab)'(ac)i(bc)k..., besitzt die unveränderliche Eigenschaft. Von wenn die Formen alle linear und unterschiedlich sind, ist die Funktion ein unveränderliches, nämlich die ithenergie von der, die gehört zu, wie und bx mit der:eh-Energie das multiplizierte, das zu als gehören und cx multipliziert mit &c. Wenn irgendwelche zwei der linearen Formen, Sagenpx, qx, gesolltes identisches sind, ist jeder symbolische Ausdruck, der den Faktor (pq) mit einbezieht null. See also:Nachricht folglich daß das symbolische Produkt (ab)`(ac)i(bc)... als simultanes unveränderliches einer Zahl der unterschiedlichen linearen Formaxt immer angesehen werden kann, bx, cx...., So See also:dass (ab)i(ac)i(bc)k... kann einer Anzahl von unterschiedlichen Formen ein simultanes unveränderliches sein aß ', b':2, 42..., wo Ni, N2, n3... dasselbe oder das unterschiedlich sein kann, ist es notwendig, daß jedes Produkt von Umbrae, das in der Expansion des symbolischen Produktes entsteht, von Gradni in KI ist, az; im Fall von 6, b2 von Gradn2; im Fall von c2 des Grads n3; und so weiter. Für diese See also:willen Sie nur das symbolische Produkt ist austauschbar durch eine lineare Funktion der Produkte der realen Koeffizienten. Folglich ist die See also:Bedingung i+j +... = Ni, i+k+... = N2, j+k+••• = n3, wenn die Formen aßen, cs... ist identisch die Symbole sind alternativ, und vorausgesetzt daß die Form nicht verschwindet, bezeichnet sie ein unveränderliches der einzelnen Form a:. Es kann eine Anzahl von Formen KI, bs, Ci geben... und wir können solche Identitäten zwischen den Symbolen annehmen, die auf dem Ganzen nur zwei, drei oder mehr der Sätze von Umbrae nicht gleichwertig sind; wir erreichen dann invariants von zwei, drei oder mehr Sätzen der binären Formen. Der symbolische Ausdruck eines Covariant ist gleichmäßig See also:einfach, weil wir sofort sehen, daß seit KI;, B, See also:CER... sind gleich, wie, Ba, cx... beziehungsweise, die lineare Formaxt vorbei Ca... die unveränderliche Eigenschaft besitzen und wir schreiben können (ABC AB)'(AC)'(BC)k...... = (~µ):+;+k+.-. •lab)"(ac)' (bc)k... aPb°c' x-erklären x x••• und daß das symbolische Produkt (AB) ' (Wechselstrom) ' (bc) k... amöbisch:..., besitzt die unveränderliche Eigenschaft. Es ist immer ein unveränderliches oder ein Co-variant, der zu einer Anzahl von unterschiedlichen linearen Formen und wie gehört, bevor es verschwinden kann, wenn zwei solche lineare Formen identisch sind. Im allgemeinen ist es simultaner Covariant des unterschiedlichen Formnlbz ' P, c..., wenn i+j +... +P=ni, i+k+... +a=ns, j+k+... +T = n3, es auch ein Covariant ist, wenn das symbolische Produkt in Teile factorizable ist, von denen jeder diese Bedingungen erfüllt. Wenn die Formen identisch sind, werden die Sätze von Symbolen schließlich gleichgestellt, und die Form, vorausgesetzt sie nicht verschwindet, ist ein Covariant der Form a:. Der Ausdruck (ab)4 gehört richtig zu einem quartic; für eine quadratische Gleichung kann es auch geschrieben werden (ab)2 (cd)2 und würde das Quadrat vom diskriminierenden zu den pres eines Faktors bezeichnen. Für das quartic ('' ab)4=(albs a2bi)4=albsâia.sbibz+ãa2bib2 _ _ -âia2bibs+See also:alb = -â aaa4 -âiaa+ã ', a3+aoa4 = 2(aoa4â, aa+á2), eins der weithin bekannten invariants vom quartic. Für das Kubik (ab)àxbx ist ein Covariant, weil jedes Symbol a, b dreimal auftritt; wir Dose zuerst aller See also:Entdeckung sein realer Ausdruck als simultaner Covariant des cubics zwei und dann, das cubics zwei vorbei annehmend, um in Identität zu vermischen, finden den Ausdruck des quadratischen Covariant, vom einzelnen Kubik, See also:allgemein bekannt als das grobe Sackzeug. Durch einfache Vermehrung (albib2 -à?a2bib2+ala2ba)x? +(aib2 - ala2bibàia2b, -à b2+aabi)xixs +(aiasb2, a2biba +a2bib2)xa; und umwandelnd See also:zur realen Form, (nobs àibi+a2bo)xi +(aob3 aib2 bitten +asbo)xixz + (aiba à3bs+a3b)x2, der simultane Covariant; und jetzt, b=a setzend, erhalten wir zweimal das grobe Sackzeug (aoaà?)x +(aoa3 aias)xix2+(alas a2)x8. Es wird später gezeigt, daß alle invariants, einzeln oder simultan, in symbolischen Produkten ausgedrückt ausdrückbar sind. Der Grad des Covariant in den Koeffizienten ist der Zahl unterschiedlichen Symbolen a, b, c... gleich, die im symbolischen Ausdruck auftreten; der Grad in den Variablen (d.h. der Auftrag vom Covariant) ist s+a+s+... und das See also:Gewicht ' des Koeffizienten der führenden Bezeichnung xi+a+r+..• ist gleich i+j+k+...., Es ist von offensichtlich, daß es vier See also:Zahlen gibt, die mit einen Covariant, nämlich die Aufträge das quantic und Covariant dazugehörig sind, und vom Grad und vom Gewicht des führenden Koeffizienten; diese nennend n, e, 6, See also: mit (I.) führen jetzt neue Umbraedi, d2 ein zurück und rufen, daß +d2di XI und x2 cogredient sind. Wir können in jedem möglichem Relationsersatz für irgendein Paar Quantitäten irgendein anderes cogredient Paar, damit, schreibend +ds, See also:Di für XI und x2 und die Anmerkung, daß gx dann wird (gd), die über-geschriebene Identität (ad)(bc)+(bd)(ca)+(cd)(ab) = 0 wird. (ii.) ähnlich innen (I.), schreibend für Ci, c2 das cogredient Paar y2, +yi, erreichen wir axbyaybx=(ab)(xy).. '. . (iii.) wieder in (I.) umstellendes ax(bc) zu die andere Seite und Quadrieren, erreichen wir 2(ac) (bc)axbx = (bc)ài+(ac)2bx (ab)2cs. (iv.) und ds, Di für x2 hierin schreiben, 2(as)(be)(ad)(bd) = (be)2(ad)2+(ac)2(bd)2(ab)2(cd)2. (V.) Wie eine See also:Abbildung multiplizieren (IV.) während durch ax-2bs-2cs-2, damit jede Bezeichnung einen Covariant eines nio bezeichnen kann. 2(as)(bc)a°-'b2 c"-1 x x x = (bc)àibr+(ac)à:-2bzcx-2(ab)às-2hi72c. ' das Gewicht 10, See also:Flut... d, wird definiert, wie seiend k, +2k2+... +nk.. jede Bezeichnung auf der rechten Seite durch Permutation von a, b, c gezeigt werden kann, um die symbolical Darstellung des gleichen Covariant zu sein; sie sind gleichwertige symbolische Produkte, und wir können 2 dementsprechend schreiben (Wechselstrom) (bc), a"-See also:ibn~c 2 = (ab)àn-2bn-2cn eine Relation, die zeigt, daß die Form auf dem links das Produkt der zwei Covariants ist (ab)àk- 24-2 und c:. Die Identitäten sind insbesondere behilflich, wenn sie symbolische Produkte auf Standardformen verringern. Ausdruck Asymbolical kann, immer sein also wandelte um, daß die Energie jedes bestimmenden Faktors (AB) gleichmäßig ist. Für können uns in jedem möglichem Produktaustausch a und b, ohne seine Bedeutung zu ändern; folglich (ab)sm+141 = (ab)2m+14, wo 41 42 durch den Austausch wird und folglich (ab)2m+1421 = 2(ab)2 "(41 42); und Identität (I.) Willensimmer Resultat, wenn 41-42 umgewandelt wird, um es teilbar vorbei zu bilden (AB). Ex. gr. (AB) (Wechselstrom) bxc2, = - (AB) (bc)a.cz = 2(ab)c~{(ac)by-(bc)as } = 2(ab)2c;; damit der Covariant der quadratischen Gleichung auf dem links Hälfte des Produktes der quadratischen Gleichung selbst und sein nur unveränderliches ist. Das entsprechende Theorem hinsichtlich ist der allgemeinen Form des gleichmäßigen Auftrages erreichen, den wir gänzlich mit multiplizieren (ab)2si-2cz°'-2 und erreichen (ab)2, n_t(ac) bscym-1 = 2 (ab)2mC2.m, das bloß die bestimmenden Faktoren dort beachtet, ist keine Form mit einem Faktor, da (AB) identisch verschwindet. Für zwei Faktoren ist die Standardform (ab)2; für drei Faktoren (ab)2(ac); für vier Faktoren (ab)4 und (ab)2(cd)2; für fünf Faktoren (ab)'(ac) und (ab)2(ac)(de)2; von für sechs Faktoren (ab)6, (ab)2(bc)2(ca)2 und (ab)2(cd)2(e})2. ist es eine nützliche Übung, damit der Leser die entsprechenden Covariants vom allgemeinen quantic deutet, um zu zeigen daß einige von ihnen einfache Energien oder Produkte anderer Covariants niedrigere Grad und Auftrag sind. Die polaren Process.The, die von ay hinsichtlich des y-is• See also:ani-µay I+, d.h. A von den symbolischen Faktoren der Form polar sind, werden durch p andere ersetzt, in denen neues Variablenyl, y2 die alten Variablen x1, x2., der Betrieb des Nehmens der polaren Resultate in einem symbolischen Produkt und die See also:Wiederholung vom Prozeß hinsichtlich der neuen cogredient Sätze Variablenresultate in den symbolischen Formen ersetzen. Es ist folglich unveränderliche process. Alle erhaltenen Formen sind invariants hinsichtlich der linearen Umwandlungen, in Übereinstimmung mit dem gleichen Entwurf des Ersatzes, der einiger Sätze von Variablen. Ein wichtiger dazugehöriger Betrieb ist 02 a2 020y20xàylr, das, nach irgendeinem polaren, Ursachen es funktionierend, um zu verschwinden. Außerdem produziert sein Betrieb nach jeder unveränderlichen Form eine unveränderliche Form. Jedes symbolische Produkt, einige Sätze der cogredient Variablen mit einbeziehend, kann als Summe Bezeichnungen ausgestellt werden, von denen jede multipliziert mit einem Produkt von Energien der bestimmenden Faktoren (xy) ein polares ist, (xz), (Yz), •.. Transvection.We haben gesehen, daß (AB) ein simultanes unveränderliches der zwei unterschiedlichen linearen ay Formen, b. ist, und wir beobachten, daß (AB) mit wo f = a =, 4 = bx gleichwertig ist. Wenn f = a: 4 = b: seien Sie alle zwei binären Formen, wir generalisieren, indem Sie die Funktion bilden (m - k)! (n-k)! (von a4 _ La4 ml n! \axlaxsaxàx dieses wird das kph genannt, das von f über 4 transvectant ist; es kann bequem vorbei bezeichnet werden (f, 4)k. (morgens-bn)k = (ab)ka'n-kbn-k ist es frei, daß das transvectant kth ein simultaner Covariant der zwei Formen ist. Es ist von Gordan gezeigt worden, daß jedes symbolische Produkt als Summe transvectants ausdrückbar ist. Wenn m>n dort die transvectants n+1 sind, die den Werten O, I, 2 entsprechen... n von k; wenn k=o wir das Produkt der zwei Formen und für alle See also:Werte von k > n haben, verschwinden die transvectants. Im allgemeinen können wir alle mögliche zwei Formen haben 4f = (41x1+42x2)v, î = (f'lxl+#2x2)4, 41, 4s, ¢2, das die Umbrae, wie üblich und für den Kilometer transvectant haben wir ist (î, 5~'y) k = (4+2)k4-k4gk, ein simultaner Covariant der zwei Formen. Wir können von annehmen, 42 zum Sein alle mögliche zwei Covariants, die zu einem System gehören, und der Prozeß von transvection liefert Mittel des Fortfahrens von ihnen zu anderen Covariants. Die zwei Formen a =, vorbei oder 4z, 0g, können identisch sein; wir haben dann das kth, das von einer Form über sich transvectant ist, welches kann, oder können nicht, identisch zu verschwinden; und, im letzten Fall, ist ein Covariant der einzelnen Form. Es liegt auf der See also:Hand, daß, wenn k ungleich ist, das k°h, das von einer Form über sich transvectant ist, verschwinden tut. Wir haben gesehen, daß transvection mit der Leistung der teilweisen differentialen Betriebe nach den zwei Formen gleichwertig ist, aber See also:praktisch können wir den Prozeß als bloß ersetzend ansehen (ab)k, (40)k für ayby, 4xk beziehungsweise im symbolischen Produkt unterwarf transvection. Es ist im Wesentlichen ein Betrieb, der nach dem Produkt der •twoformen durchgeführt wird. Wenn dann wir die transvectants der zwei Formen f +af, 4r+µ4 ' benötigen, nehmen wir ihr Produkt f4+af'4+µf4'+xpf'4 ', und der Kilometer transvectant wird einfach erhalten, indem man separat nach jeder Bezeichnung funktioniert, nämlich. (y y r 4)k+a(f ', ~)k+-Sc (r ~')"+)(,/', 0n/k; und außerdem wenn wir benötigen, um das kth transvectant zu finden von einem linearen System Formover anders, haben wir bloß, die zwei Systeme zu multiplizieren und nehmen das kth, das von den unterschiedlichen Produkten transvectant ist. Der Prozeß von transvection wird mit den Betrieben es angeschlossen; für - ] das ilk (a'mbY/nl = (ab)Oa.-kam-kbyn-k r oder f2k ((asbv)y _: = (f, 4)k; ist so auch der polare Prozeß, für seit fkY = See also:am.-kb:, k k 4y vorbei vorbei, wenn wir den Kilometer nehmen, der vom fk, über 4y, betreffend yl, y2 als die Variablen transvectant ist, J (fk 4,:) k = (ab)k¢:m-kbs - k = dem l(J t, 4)k• oder das k° ' transvectant von den Kilometerpolars, hinsichtlich y, ist dem k gleich ', das von den Formen transvectant ist. Außerdem der Kilometer transvectant (ab)ka, durch k ist vom pH derivable, der von wie, nämlich a polar ist, -kak, indem es für yl ersetzt, Y2 die cogredient Quantitäten b2, -b1 und Multiplizieren mit bz-k: Zuerst und zweites Transvectants.A müssen wenige Wörter über die ersten zwei transvectants gesagt werden, während sie vom aussergewöhnlichen See also:Interesse sind. Seit, wenn f = a,7, 4 = 14, (f, 4)1 = I (von 00Of 04) = (ab)az lbi-1=J, axl der Manganaxl-Axt von Ox2 das erste transvectant unterscheidet aber durch einen numerischen Faktor das Jacobian oder Funktionsbestimmender Faktor, der zwei Formen. Wir können einen Ausdruck für das erste transvectant von finden (f, 4)1 über einer anderen Form c9. Für (m+n) (PO:, = nf•41y+mfy.0, f, 4y fY•4 = (a:by-ayby) ay ' b: ', = (xy) (f, 4)1; (f, 4)1 = Fn+n(xy)U F y4+m, 4)1. Setzen Sie Mi für m, n 1 für n, und multiplizieren Sie durch vorbei (AB); dann { (f = (ab)a'aybz'-t'm+ni2(xy)(f, 4)2, = (ab)a, 'bzkby -4; I 2 (xy) (f, 4)2• multiplizieren byct1 und für yl, schreiben y2 4, Ci; dann wird die rechte Seite (ab)(bc)az See also:lbs-2cri +m m+; - ac:(f,O) ', von dem die erste Bezeichnung, CF schreibend = 0, a, b, ist, cs-2(ab)(bc)azcz = - a, Durchkc ' 5 (seien Sie), 26z+(ab)2cx - (ac)2bs _ -2 a, (bc)2by-s(((c: +cy (ab)à b: _ bs(ac)àikc;k _ - 23 (4,42)2•f+(, 42)2.0 (, 4)2.4J; und, wenn (f, 4)1=k'"+ "2 (f, 4)1 ' '' 1•, a-Tat, 00 axl Ox2 Ox2 ax1 1.c9 1=k5+"-2kyc, beobachtend das und und dieses, auf Schreiben c2, - c1 für y1, y2, wird (kc)k"'c: 1 = # (f, m)1 ' # (1; { (f, O)1, 'F}1=1 m7;!.. 2 2 (O, P.f; und darauf scheint es daß das erste transvectant von (f, ¢)1 über 4 ' ist immer mittels der Formen des niedrigeren Grads in den Koeffizienten, wohin jede der Formen f, ¢, 4' höheren vom Grad als der erste in x1 ist, Silikon ausdrückbar. Das zweite transvectant einer Form über sich wird das grobe Sackzeug der Form genannt. Es ist (f, f')2 = (ab)à W 2bm-2 = H="-4 = H; unsymbolically ist es eine numerische Mehrfachverbindungsstelle des bestimmenden a2 ein a2, das es auch der ential Koeffizienten der differaxfaxt (axax2) der Form hinsichtlich der Variablen das erste transvectant ist, nämlich ((11 für die quadratische Gleichung ist sie das diskriminierende (ab)2 und für ' Axt \ax1 das Kubik der quadratische Covariant (ab)2 a:bx. Im allgemeinen für eine Form in den n-Variablen ist das grobe Sackzeug Axt a2f a2x a2f! ax1ax2, ' axlax, axa"' axàxn 02f a2f der a2f-ae a2f ax1ax2 ein _ axlaxnaxàx," 04 und dort ist ein bemerkenswertes Theorem, das das, wenn H = O und n=2, 3 oder 4 die ursprüngliche Form als Form in t ausgestellt werden können, 2, 3 Variablen beziehungsweise angibt. Die wichtige Methode der Form f+a0.An für die Anordnung von Covariants wird mit der Form f+X4, angeschlossen, wo f und ep vom gleichen Auftrag in den Variablen sind und a eine willkürliche See also:Konstante ist. Wenn die invariants und die Covariants von diesem zusammengesetzten quantic gebildet werden, erhalten wir Funktionen von X so, daß die Koeffizienten der verschiedenen Energien von X simultane invariants aus und q sind. insbesondere, wenn q, sind ein Covariant von f, wir erreichen in den Covariants dieser Weise von f. Das teilweise Differential Equations.It wird später, daß Covariants durch einschränkende See also:Aufmerksamkeit zum führenden Koeffizienten studiert werden können, nämlich das gezeigt, das XI beeinflußt, wo a der Auftrag des Covariant ist. Eine wichtige Tatsache, entdeckt von Cayley, ist, daß diese Koeffizienten und auch die kompletten Covariants, bestimmte teilweise Differentialgleichungen, die genügen, sie festzustellen, und viele ihrer Eigenschaften zu ermitteln erfüllen. Diese Gleichungen können zu in vielen Weisen gekommen werden; die Methode, die hier gegeben wird, liegt an Gordan. XI, X2,/L2 seiend als übliches die Koeffizienten des Ersatzes, lassen x, - +x2- = D XI +xà = D~K, Au t 2 AA, u2 µtax, +1+à a = Dµ, k, KI +P2 = DILA, sind lineare Operatoren. Dann, wenn J, J die Vorlage und die umgewandelten Formen eines unveränderlichen W ist, das das Gewicht vom unveränderlichen ist. Betrieb nach J resultiert, wie folgt: DaaJ=wJ; DA, j=0; D, aj = 0 jD.wJ = wJ. Die ersten und der Fourth von diesen zeigen daß (aµ)'° ist eine homogene Funktion von a1, X2 und von µ1, von u2 separat und von zweiten und entsteht an dritter See also:Stelle aus der Tatsache, die (Xµ) veranlassen wird, um zu verschwinden durch DAµ und Dµ an. da wir daß (DA1, Ak) Ak = wJ finden; (DA Ak) Ak = 0; k k 1(D'`'`Ak)aâAk = 0; (DAk) - A = wJ. k k entsprechend dem weithin bekannten See also:Gesetz für die Änderungen der unabhängigen Variablen. Jetzt DAAAk=(n-k)Ak;DA Ak=kAk-1; so erreichen wir Dµ, Ak = (n k)Ak}1;DµµAk = kAk; E (nk)See also:Aka = wJ;EkAk_, -=0; k k (n-k)Ak+ u. = 0;EkAk A = wJ; k-kequations, die wenn X1, X2, ui gültig sind, haben u2 willkürliche Werte und folglich, wenn die Werte so daß J=j, Ak=ak sind. Folglich - aj ein ' nao - = +(n-1)a1_+(n-2)a2 J +... _ ajaj des aa° aa1 aa2 - aj d°aa1+à1Oa.2+á2 a2+... =0, - aj_ ajajnalaao I (n-1)aàa1+(n-2)aáa2+... =0, - ajajaj a1aa1+àeaa2+oaàaa+... = wj, das komplette System der Gleichungen erfüllt durch ein unveränderliches. Der Fourth zeigt, daß jede Bezeichnung vom unveränderlichen vom gleichen Gewicht ist. Außerdem wenn wir das erste dem Fourth hinzufügen, den wir erreichen - aj 2w. _, akaak n - Oj, wo 0 der Grad vom unveränderlichen ist; dieses stellt, wie wir haben, vor beobachtet, das für ein unveränderliches w=2n0 See also:dar. Das zweite und sind an dritter Stelle die nach der Lösung, von der die Theorie vom unveränderlichen gesagt werden kann, um abzuhängen. 
Ein blitzschneller See also:Abzug von der Relation w=2-n0 ist, daß Formen der ungleichen Aufträge nur invariants des gleichmäßigen Grads in den Koeffizienten besitzen. Die zwei Operatoren _ a = a0aa1 +2'aa2+... +na"-laan 0 = nalaa0+(n -1)aàa1+... +a "aa"_1 sind viel durch See also:Sylvester, See also:Hammond, Hilbert und See also:Elliott studiert worden (Elliott, Algebra von Quantics, See also:ch. vi.). Ein wichtiger Hinweis ist "die Differentialgleichungen, die von Concomitants von Quantics," durch A. R. Forsyth, Proc erfüllt sind. Lond. Mathe. Soc. Vol. xix. D Evectant Process.If wir haben ein symbolisch Produkt, welch enthalten d Symbol ein einzig in See also:bestimmend Faktor wie (AB), wir können schreiben x2, -x1 für a1, a2, und folglich erreichen ein Produkt in welch (AB) sein ersetzen durch b5, (Wechselstrom) durch c, und so weiter so on. Insbesondere wenn das Produkt ein unveränderliches bezeichnet, können wir jedes der Symbole a, b, umwandeln... zu x nacheinander, das und nehmen die Summe der resultierenden Produkte; wir erreichen folglich einen Covariant, der das erste evectant vom ursprünglichen unveränderlichen genannt wird. Das zweite evectant wird erreicht, indem man ähnlich nach See also:allen restlichen Symbolen, die nur in den bestimmenden Faktoren auftreten, und so weiter für die höheren evectants funktioniert. Ex. gr. Von (ac)2(bd)2(ad)(bc) erreichen uns (bd)2(bc)csda+(at)2(ad)cxdi - (bd) 2(ad) azbx - (ac)2(bc),bz = 4(bd)2(bc)cydz das erste evectant; und darauf the'second 4czdi evectant; tatsächlich sind die zwei evectants zu den numerischen Faktorpres, zum Kubikcovariant Q, und zum Quadrat der Kubik Vorlage. Wenn 0 der Grad eines unveränderlichen J Oj = a-=+aa ' +... ajaj des +a"a-aj n-1 = alaao+al aàa1+... +aàa. ist. und, hierin umwandelndes von a bis x, erreichen wir das erste evectant p. ()kk. wichtige Kategorie des aak k Combinants.An des kaj z xx2 von invariants, einiger binärer Formen des gleichen Auftrages, wurde von Sylvester entdeckt. Die invariants in der Frage sind lineare Umwandlung des invariantsqua der Formen selbst sowie lineare Umwandlung des qua der Variablen. Wenn die Formen az, Bi, Ci sind... veranläßt der Prozeß Aronhold, gegeben durch den Betrieb S wie zwischen irgendwelchen zwei der Formen, solch ein unveränderliches zu verschwinden. So hat er annihilators der Formen - d - d - d-ae b°+a1ab1+a2db2+..., 0ciao+bldal+b2da2+..., und Gordan nimmt tatsächlich die See also:Zufriedenheit dieser Bedingungen als Definieren jener invariants, die Sylvester benannte "combinants.", Das Bestehen solcher Formen scheint, Nachricht der toSylvesters durch Beobachtung der Tatsache geholt worden zu sein, daß das Endergebnis az und bs ein Faktor des Endergebnisses von XA sein muß +µb = und aas+µb ' für einen allgemeinen Faktor des ersten Paares von eines allgemeinen Faktors = von des H:(''-2 auch sein muß) = H. ' J = F(Ao, A1.....), wo kk = ein aµ die Resultate mit dem zweiten Paar gleichwertig sind; damit die Bedingung für das Bestehen solchen allgemeinen Faktors dieselbe in den zwei Fällen sein muß. Eine führende See also:Angelegenheit gibt an, daß, wenn ein unveränderliches Xas und µb1 als Form in den Variablen von von a und von von Al betrachtet wird, _ und ein unveränderliches vom letzten genommen wird, ist das Resultat ein combinant von wie und b '. Die See also:Idee kann generalisiert werden, um Respekt zu den dreifachen und höheren Formen jede des gleichen Auftrages und der gleichen Zahl Variablen zu haben. Für weitere See also:Informationen sehen Sie Gordan, Faser Invariantentheorie, § 6 (See also:Leipzig, 1887) Vorlesungen Bd. ii.; E. B. Elliott, Algebra von Quantics, See also:Art. 264 (See also:Oxford, 1895). Dazugehöriges Forms.A-System der Formen, so, daß jede Form, die zur binären Form gehört, als rationale und integrale Funktion der Mitglieder des Systems ausdrückbar ist, ist schwierig zu erreichen. Wenn jedoch wir spezifizieren, daß alle Formen rationale, aber nicht notwendigerweise integrale Funktionen sein sollen, entsteht ein neues System der Formen, das leicht erreichbar ist. Eine binäre Form von Auftrag n enthält unabhängige Konstanten n, von denen drei durch lineare Umwandlung bestimmte Werte gegeben werden können; die restlichen Koeffizienten n3, zusammen mit dem bestimmenden Faktor der Umwandlung, geben uns N2parameter, und infolgedessen eins muß Relation zwischen allen möglichen invariants n1 der Form bestehen, und Befestigung nach Nìnvariants jedes andere unveränderliche ist eine rationale Funktion seiner Mitglieder. Ähnlich betreffend XI, x2 als zusätzliche Parameter, sehen wir, daß jeder Covariant als rationale Funktion der n geregelten Covariants ausdrückbar ist. Wir können, also stellen Sie diese n-Covariants fest, daß jeder andere Covariant in ihnen ausgedrückt durch einen See also:Bruch ausgedrückt wird dessen Nenner eine Energie der binären Form ist. Beobachten Sie zuerst daß mit f'2 = wie = b = =...,f, = alas ', f 2 = a2 a:-1, (ab)(af)(bf)a. und daß darauf jedes symbolische Produkt einer rationalen Funktion von Covariants in Form eines Bruches gleich ist, dessen Nenner eine Energie von f. den Ersatz in jedem symbolischen Produkt die einzigen bestimmenden Faktoren bildend, daß Geschenk selbst im Zähler von der Form (af) sind, (bf) ist, (cf)... und jedes Symbol a erscheint schließlich in der Form. = (af)kan, -!Gk k Y'k hat f als Faktor und kann f. Ilk schriftlich; für das Beobachten dieses 4'o=f. = f.-uo; Y'1=0=f.u1; wo uo=1, u1=o, dieses ¢k = (af)ka:2 = f. Großbritannien = az.ukk0") das erste polare hinsichtlich y nehmend annehmen (nk)(af)ka = k - ' +k(af)k-ia: (k(ab)(n1)bs2by n k, -2k-1 n-1.-2) = k(n-2)azux uy+See also:nay ayuy und, See also:F2 und FI für yi und Y2, (n k)(af)k+ia, k-i+k(n1)(ab)(af)k-1(bf)aa2b~-2 = k (n -2) f. (uF) ny"-2k-1, schreibend außerdem, welches die zweite Bezeichnung auf dem links enthält (af)` -- b: 2=~1 (af)k-2by-2(bf)k-àz 2 }. wenn k ungleich ist und (af)~1b: I = j(C (af(bf)1"a:l, wenn k gleichmäßig ist; in jedem Fall der Faktor (Al) b. (bf) = (ab)f, (nk)4Gk+1+M.f = k(n -2)f.(uf) und 14+1 wird gesehen, um vom 14+1 der Form f zu sein. Wir können folglich schreiben Großbritannien = (af) ka:-k f diese Formen, n zahlreich, werden benannt "dazugehörige Formen" von f ("Schwesterformen, "" formesassociees"). Jeder Covariant ist rational mittels der Formen f, u2, da, da wir uo = 1 gesehen haben, u1=o ausdrückbar. Es ist einfach, die Relationen zu finden u2 = 2 (f f ') 2 u3=((f, f')2, f "') u4=2(f, f')4•fi- { (f, f')2}2 und so weiter. Irgendeinen Covariant als Funktion von u11 ausstellen, ui, u2... Nehmen aY = (alyl+a2y2)"and wandeln es durch den Ersatz n.' um, f1Y1+f2Y2 = i; wo fi=alans - ', fz=aà: x2Yixiy2 = n f = fixi+f2x2;thence f. y, = xis+fzr1, 'f• Y2 = x2kfin, f.a, =aki+(af)n, J-a1, =u0 n+(2)u2 n-2~2+(3)u32 3n~ L... +u"n"• jetzt ein Covariant von a: = wird f vom ähnlichen Covariant von See also:Handels, indem man darin x2, für y, y2r und, seit y, y2 schreibt, sind umgewandelt worden linear zu E und n erreicht, ist es bloß notwendig, die Covariants in Bezug auf die Form (ui+u2n) zu bilden ", und dann gibt Abteilung, durch die korrekte Energie von f, den Covariant in der Frage, da eine Funktion von fuo=1, u2, u3... n. See also:Zusammenfassung von Results.We jetzt kurzes über den Resultaten berichtet, zu die die vorangehenden Prozesse führen. Von jeder möglicher Form KI besteht eine begrenzte Zahl von invariants und Covariants, in denen ausgedrückt alle weiteren Covariants rationale und integrale Funktionen sind (cf. Gordan. § 21 Bd. ii.). Diese begrenzte Zahl der Formen wird gesagt, um das komplette System festzusetzen. Von sind zwei oder binärere Formen dort auch die kompletten Systeme, die eine begrenzte Anzahl von Formen enthalten. Es gibt auch die algebraischen Systeme, wie obenerwähnt und bezieht wenige Covariants mit ein, die so sind, daß alle weiteren Covariants rational in ihnen ausgedrückt ausdrückbar sind; aber diese Kleinsysteme besitzen nicht das gleiche mathematische Interesse, das jene zuerst erwähnt. Das binäre komplette System Quadratic.The besteht aus der Form selbst, AS und das diskriminierende, das der Form nach sich das zweite transvectant ist, nämlich: (f, f')2 = (ab)2; oder, in den realen Koeffizienten, 2(a0a2=ai). Das erste transvectant, (f, f')i=(ab) asbs, verschwindet identisch. Absondern D benennend, wird die Lösung der quadratischen Gleichung wie = O durch die Formel A 1 a, a0 gegeben (acx, +a1x2x2 - doxi+alx2+x2 ' jI 3, wenn die Form ein ' als das Produkt seiner lineares Faktoren p geschrieben wird, qz, das diskriminierende Nehmen die Form (pq)2. das Verschwinden von diesem unveränderlichen ist die Bedingung für gleiche Wurzeln. Das simultane System von zwei quadratischen Formen wie, ay, sagen f und 0, besteht aus sechs Formen, nämlich. die zwei quadratischen Formen f, 4.; die zwei discriminants (f, f')2, (0, 0')2 und die ersten und zweiten transvectants von f nach 0, (f, 0)1 und (f, 0)2, das geschrieben werden kann (aa)a, a, und (aa)2. diese grundlegenden oder Grundformen, werden durch die Relation -21 angeschlossen (f, o)11 sind 2=f2(d, o')22fo(.f, o)2+0(.f, f)2-, wenn der Covariant (f,¢) ' f verschwindet und 0. offenbar proportional, und wenn das zweite transvectant von (f, 4)i nach sich verschwindet, f und 4. besitzen einen allgemeinen linearen Faktor; und die Bedingung ist notwendig und genügend. In diesem Fall (f, 0)1 ist ein vollkommenes Quadrat, da sein diskriminierendes verschwindet. Wenn (f,4.) ', seien Sie nicht ein vollkommenes Quadrat, und r,, s, ist seine linearen Faktoren, es ist möglich, um f und 4, in den kanonischen Formen ai(r~)2+X2(s auszudrücken)2, t.i(r)2+µ2(s)2 beziehungsweise. Tatsächlich wenn f und 0 diese Formen haben, ist es einfach, zu überprüfen, daß (f, 0)1 = (aµ) (rs)r, s. das grundlegende System, das mit quadratischen Formen n angeschlossen wird, besteht aus (i.) das n bildet sich f, (ii.) die (2) Funktionsbestimmenden Faktoren (FI, fk) ', (iii.) (ì)Invarianten (FI, fk)2, (iv.) die (3) Formen (FI, (fk, f,))2, jedes so restliches unverändertes der Form für alle mögliche Permutationen von i, k, m. zwischen diesen verschiedenen Relationen der Formen bestehen (cf. Gordan, § 134). Das binäre komplette System Cubic.The besteht aus f = wie, (f, f')2 = (ab)à, bz = L1y, (f, A) = (ab)2(ca)bsc2 = Qzs und (0,0')2 = (ab)2(cd)2(ad) (bc) = R. um, daß dieses System müssen uns See also:komplett ist, zu prüfen betrachten (f, 0)2, (0,0')1, (f, Q)i, (f, Q)2, (f,Q) ', (A,Q) ', (O, q)2 und jedes von diesen können gezeigt werden entweder, um null zu sein, oder, eine rationale integrale Funktion von f zu sein, 0 werden Formen Qand R. These durch die Relation 2Q2+A3+Rf2 = 0 angeschlossen. Das diskriminierende von f ist dem diskriminierenden von 0 gleich und ist folglich (0, 0')2=R; wenn es f verschwindet und 0 zwei gleiche Wurzeln haben. ist ein rationaler Faktor aus und Q ist ein vollkommener Würfel; die Kubikwurzel, die, pres eines numerischen Faktors, der Quadratwurzel von A. The Hessian A=A2 gleich ist, ist so daß (f, i)2=0 und wenn f im Forma(p ausdrückbar ist)3+ i(gz)3, das als die Summe von zwei vollkommenen Würfeln ist, finden wir, daß i1 p.q für dann gleich sein muß { a(p)3+µ(4%)3, psgs12=0. Folglich wenn ps, q: seien Sie die linearen Faktoren des Sackzeugals, das Kubik kann in die Form X(p)3+u(q=)3 gesetzt werden und sofort gelöst werden. Diese Methode der Lösung fällt aus, wenn das diskriminierende R verschwindet, denn dann hat das grobe Sackzeug gleiche Wurzeln, als auch das Kubikf. das grobe Sackzeug dadurch, daß Fall ein Faktor von f ist, und Q ist die dritte Energie von = fixi +f2x2, finden wir und folglich und der lineare Faktor, der zur zweiten Energie in f. auftritt, wenn außerdem A identisch f verschwindet, ist ein vollkommener Würfel. Das binäre grundlegende System Quartic.The besteht aus fünf Formen a: = f; (f, f')2=(ab)à:b2=As; (f, f')4=(ab)4=i; (f, A)1 = (ein A) a:A: = (AB) bxcy 2 (See also:Columbium) a2 = t; (f,A) 4 = (AA) 4 = (AB) 2 (bc) 2 (Ca) 2 = J, nämlich. quartics zwei invariants, zwei und ein sextic. Sie werden durch die Relation Remark.Hermite haben dargestellt angeschlossen (Crelle, Bd. III.) daß der Ersatz, z-~ f, x-~Xl T-x18xz auf der Form J 21z=2 fÀA83jf3• das diskriminierende verringert, dessen das Verschwinden die Bedingung ist, der f zwei gleiche Wurzeln besitzen kann, hat den Ausdruck j216.i8; es ist neunmal das diskriminierende des resolvent Kubikk3-ìk3j und hat auch den Ausdruck 40, t')4. Das quartic hat vier gleiche Wurzeln, das heißt, ist eine vollkommene 4. Energie, wenn das grobe Sackzeug identisch verschwindet; und andererseits. Dieses kann überprüft werden, indem man bis null die fünf Koeffizienten des àib des groben Sackzeugs (AB) gleichstellt:. Gordan hat auch gezeigt, daß das Verschwinden des groben Sackzeugs des binären n`° der notwendige und genügende See also:Zustand, die Form sicherzustellen ist, die Energie eines vollkommenen n° ' ist. Das Verschwinden der invariants I und J ist der notwendige und genügende Zustand, das quartic sicherzustellen, drei gleiche Wurzeln habend. Einerseits das quartic annehmend, um die Form 4x ~x2 zu haben, finden wir i = J = O, und andererseits, annehmend i = J = O, finden wir, daß das quartic Muß die Form asxi+â1xix2 hat, die die Angelegenheit prüft. Der quartic See also:Wille haben zwei Paare der gleichen Wurzeln, d.h. seien Sie ein vollkommenes Quadrat, wenn es und sein grobes Sackzeug sich bloß durch einen numerischen Faktor unterscheidet. Für ihn ist einfach, die Formel herzustellen (yx)À4 = 2f.f2y2(fy)2, welches das grobe Sackzeug mit den quartic und seinen ersten und zweiten polars anschließt; jetzt a, eine See also:Wurzel von f, ist auch eine Wurzel von Ay, und See also:con-, sequently, welches das erste polare f1 u y'axl+yàx2 für die Wurzel a auch verschwinden muß, und darauf müssen ixix und a für die gleiche Wurzel auch verschwinden; welches prüft, daß a eine doppelte Wurzel von f und f folglich ein vollkommenes Quadrat ist. Wenn f=6x1x2 es daß A=f gefunden wird. Die einfachste Form, zu der das quartic in allgemeinem reduzierbarem ist, ist f = xi+6mxix2+x2 und bezieht einen Parameter m mit ein; dann A = = 2m (x: +x24) +2 (13m2) x2lx22; I = 2 (i +3m2); J = 6m (1m) 2; t = (1 9m2) (XI x2) (x2, +x2) x, x2. Der sextic Covariant t wird gesehen, um in drei quadratische Faktoren 4)=xlx2, +y=xi+x22, 0=4x2 factorizable zu sein, die so sind, daß die drei gegenseitigen zweiten transvectants identisch verschwinden; sie sind aus diesem Grund, der verbundene quadratische Faktoren benannt wird. Er ist auf einer Betrachtung dieser Faktoren von t, denen Cayley seine Lösung der quartic Gleichung gründet. Für, seit -2t2=A3ìfÀ3j(f)3, vergleicht er die rechte Seite mit dem resolvent Kubikk2-ìa2k-3jas, von f=0 und beachtet, daß sie auf ersetzendem A für k identisch werden, und f für a; folglich wenn k, k2, k3 die Wurzeln des resolvent -212 = ist (A+k1f) (A+k2f)(A+k3f); und jetzt, wenn alle Wurzeln von f sind, sind so auch die vom resolvent, da das letzte unterschiedlich, und f, haben praktisch dasdiskriminierende selbe; infolgedessen jeder der drei Faktoren, von -2t2, muß vollkommene Quadrate und Nehmen der Quadratwurzel _ von 1 t -24)•x•4 sein); und es kann gezeigt werden daß (A, x, ¢ sind die drei verbundenen quadratischen Faktoren von t obenerwähnt. Wir haben A+k1f=Ak2f=x2-, A+k3f=#G2- und Cayleyerscheinen, daß eine Wurzel vom quartic in der bestimmenden Form ausgedrückt werden kann die restlichen Wurzeln, die indem man die Zeichen erreicht werden, verändert, die in den Radikalen auftreten (0v, xv, 4). Die Umwandlung zur normalen Form verringert das quartic auf einer quadratischen Gleichung. Die neuen Variablen y, =0 sind die linearen Faktoren von 4). Wenn ¢=rx.sx, y2 = 1 normale Form von wie, gezeigt werden kann, durch gegeben zu werden (rs)'.ay = (ar) 4sz+6 (ar) 2 (wie) 2rsss+ (wie); ¢ ist irgendein der verbundenen quadratischen Faktoren von t, damit, wenn es rx feststellt, sx von SL A+klf = O, k, jede mögliche Wurzel vom resolvent ist. Die Umwandlung zur normalen Form, durch die Lösung von vom ein Kubik- und eine quadratische Gleichung liefert folglich eine Lösung quartic. Wenn (AP) der Modul durch die der Umwandlung a ist: wird auf ist die normale Form verringert, wird i (Xu)î und J, (au)3j; folglich ist j3 durch Umwandlung See also:absolut unverändert und wird das absolute unveränderliche benannt. Da folglich 32 = 9 m2(11 3 m2)2 wir eine Gleichung dritten Grades für die See also:Bestimmung von m2 als Funktion vom absoluten unveränderlichen haben. 1 ì'J 2 J See also:Unze 1 1 j2 3 2+ T 3 2 a3 das binäre komplette System Quintic.The besteht aus 23 Formen, von denen die einfachsten f = ay sind; das grobe Sackzeug H = (f, f) 2 (AB) à:b '; der quadratische Covariant 2 = (Li) 5 = âxbx (AB); und der nonic Co-variant T=(f, (f', f°)2)1=(f, H)'=(aH)a:H:=(ab)2(ca)azbycs; die restlichen 19 sind als transvectants der Mittel von diesen vier ausdrückbar. Es gibt vier invariants (i, i')2; (i3, H)6; (fzia)m; (lineare Formen Floridas i7)14 vier (f, i2)4; (f, i3)b; (i4, T)8; (, ist quadratische Formen T)9 drei I; (H, i2)4; (H, ist), ' drei Kubikformen (f, i)2; (f, i2)3; (, zwei ist quartic Formen T)6 (H, i)2; (H, i2)3. drei quintic Formen f; (f, i)1; (, T)4 zwei ist sextic Formen H; (H, eins septische Form i)1 (i, T)2 eins nonic Form T. Wir schreiben den Kubikcovariant (f, i)2 = ' und erwähnen dann, daß das Resultat, (f, j)8=o, kann bereitwillig hergestellt werden. Die Form J wird vollständig durch die Relation definiert (f, j)3 = O, da kein anderer Covariant diese Eigenschaft besitzt. Bestimmte convariants vom quintic beziehen die gleichen bestimmenden Faktoren wie geerschienen in das System vom quartic mit ein; diese sind f, H, i, T und J und sind vom speziellen Wert. Weiter ist es bequem, vor uns zu haben zwei anderes quadratisches Covariants, nämlich r = (J, j)2jxjx; B = (ir)ixrx• vier andere lineare Covariants, nämlich a=(ji)2jx; = (ia)is; 7 = (ra)r:3=(rp)rx. Weiter im See also:Kasten von invariants, schreiben wir A = (i, i')2 und nehmen drei neue Gestalten B = an (i, r)2; C = (r, r')2; R = (py). Hermite drückt das quintic in einer Formeart aus, in der die Konstanten invariants und die linearen Covariants der Variablen sind. Wenn a, p die linearen forn}s ist, über definiert, hebt er das Identitätsax(ap)=ax(ap)px(aa) zur 5. Energie an (und im allgemeinen zur Energie N), die erreicht, sf (a$) = (a,5) sax5 (a$) 4 (AA) az$x+..., (AA) bps; und drückt dann die Koeffizienten, auf dem Recht, in den grundlegenden invariants ausgedrückt aus. Auf dieser Grundregel ist der Covariant J in der Form R2j = I +2B3à+ÂCSa2+gC(ÁB4C)a8 ausdrückbar, wenn 3, a die oben definierten linearen Formen sind. Folglich das Kubik-, R2j = (mia 5) (mà 5) (má 3), worin lösend ml m2, m3 invariants sind. Sylvester zeigte daß die quintic See also:Macht, im allgemeinen, wird ausgedrückt als die Summe von drei 5. Energien, nämlich im kanonischen Formf=k, ist (px)6 ±k2(gx)s+k3(rx)6. jetzt offenbar das dritte transvectant von f, ausgedrückt in dieser Form, mit dem Kubikpxgxrx null, und folglich von einer Eigenschaft des Covariant J müssen wir haben J = pxgxrx; Darstellen, daß die linearen betroffenen Formen die linearen Faktoren von j. sind, können wir folglich schreiben f = kl(3mia)b+k2(3mà)b+k3(5má)6; und wir haben bloß, die Konstanten k festzustellen, k2, See also:lea. Sie feststellen Nachricht daß R=(a3) und dann (f, AB) b = Rb (k1+k2+k3), (f, a43) 6 = 5R5 (m1k1+m2k2+m3k2), (f, a332) b = -10R5 (mlkl+mzk2+m3k3) drei Gleichungen für die Bestimmung k1, k2, k3. Diese kanonische Form hängt nach J ab, das drei ungleiche lineare Faktoren hat. Wenn C verschwindet, hat J die Form J = psgx und (f, j)3 = (ap)2(ag)as = o. folglich, vom Identitätsas(pq)=px(aq)gx(ap), erreichen wir (pq)bf=(aq)bpy -5(ap)(aq)4pzgx(ap)5q ', die angeforderte kanonische Form. Jetzt wenn C=o, offenbar (sehen Sie ante), R2j=S2pwhere p=3+2Ba; und Gordan prüft dann die Relation 6R4.f = B35+5B34pÂ2p6, das holten Form von quintic ist an, welchem wir, durch lineare Umwandlung immer ankommen können, wann immer das unveränderliche C verschwindet. Von Remark.The unveränderliches C ist eine numerische Mehrfachverbindungsstelle des Endergebnisses der Covariants I und J und wenn C = O, p der allgemeine Faktor i und J ist. Das diskriminierende ist das Endergebnis a und a und Grad 8 in der Koeffizienten; da es eine rationale und integrale Funktion der grundlegenden invariants ist, ist es als lineares arbeitet von wie und B ausdrückbar; es ist von C unabhängig, und ist folglich unverändert, wenn C verschwindet; wir können f in der kanonischen Form 6R4f B55 +5Bb4p Â2p6 folglich nehmen. Die zwei Gleichungen ALGE'BRAIC'FORMS ein simultanes unveränderliches der drei Formen und die Schläge jetzt unterdrücken erreichen wir 6(abc +2fghaft - bg2ch2), der Ausdruck in den Haltewinkeln, die von a: das well-gewußte unveränderliche sind, das Verschwinden von welchem die Bedingung ausdrückt, die die Form in zwei lineare Faktoren oben brechen kann oder geometrisch dem das konische zwei rechte Linien darstellen kann. Das komplette System besteht aus der Form selbst und dieses unveränderliche. Das dreifache Kubik ist durch Cayley, Aronhold, Hermite, Brioschi und Gordan nachgeforscht worden. Der Haupthinweis ist zu Gordan (Matheankündigung i. 9o-128, 1869 und vi. 436-512, 1873). Der komplette Covariant und das contravariant System umfaßt nicht weniger als 34 Formen; von seiner Kompliziertheit ist es wünschenswert, das Kubik in einer einfachen kanonischen Form zu betrachten; das, das von Cayley gewählt wurde, war ax3+by3+cz3+6dxyz (Amer. J. Math. iv. 1-16, 1881). Eine andere Form, die mit der Theorie der elliptischen Funktionen dazugehörig ist, ist von Dingeldey betrachtet worden (Matheankündigung xxxi: 157-176, 1888), nämlich xy24z3-1-g2x2y+g3x3 und auch die spezielle Form axz24byb vom cuspidal Kubik. Eine See also:Untersuchung, durch unsymbolische Methoden, liegt an F. C. J. Mertens (See also:Wien.-Brustbeere xcv. 942-991, 1887). See also:Hesse stellte dar, daß unabhängig allgemeines dreifaches Kubik des that;the, AB = 5B54+4B53p) = 0, = 5(B54Âp4) = 0, ein Ergebnis durch Beseitigung von 5 verringert werden kann und p das diskriminierende D=64BA2. Die allgemeine Gleichung von Grad 5 kann nicht algebraisch gelöst werden, aber die Wurzeln können mittels der elliptischen modularen Funktionen ausgedrückt werden. Für eine algebraische Lösung müssen die invariants bestimmte Bedingungen erfüllen. Wenn R = O und keine des Ausdruckswechselstromes B2, ÀB -3C verschwindet, der Covariant a: ist ein linearer Faktor von f; aber, wenn R = Wechselstrom B2 = ÀB -3C = O, a: verschwindet auch und dann ist f das Produkt des Formji und des groben Sackzeugs von jy. Wenn als und die invariants B und C alle, entweder verschwinden Sie, A oder J müssen verschwinden; im ehemaligen Fall ist J ein vollkommener Würfel, sein verschwindenes grobes Sackzeug, und weiteres f enthält J als Faktor; im letzten Fall wenn px, Axt die linearen Faktoren von i ist, kann f wie ausgedrückt werden (po)bf = cip;+c2vi; wenn A und J verschwinden, verschwindet i auch identisch und tut so auch f., wenn jedoch die Bedingung das Verschwinden von i ist, f enthält einen linearen Faktor zur 4. Energie. Das binäre komplette System Sextic.The besteht aus 26 Formen, von denen die einfachsten f = wie sind; das grobe Sackzeug H = (ab)à;b6; das quartic i = (ab)â:bi; die Covariants 1 = (ai)âi; T = (ab)2(cb)a. b:cy; und die invariants A=(ab)b; B=(ii')4. Es gibt 5 invariants: (a, b)4, (1,1')2, (f, 12)2, ((f, i) 14)2 6 von Auftrag 2: 1, (i, 1)2, 12)4, (i, 12)3, (f, l3)2, ((f,i), 13)6; 5 von Auftrag 4: i, (f,l), (i,l) (f, 12)3, ((f,i), 12)4; 5 von Auftrag 6: f, p = (ai)à=is, (f, l), ((f,i), 1)2, (p, l); 3 von Auftrag 8: H, (f,i), (H,1); 1 von Auftrag 10: (H, i); 1 von Auftrag 12: T. Für eine weitere Diskussion über das binäre sextic sehen Sie Gordan, Positionsverdichtereintrittslufttemperat, €lebsch, Positionsverdichtereintrittslufttemperat. Die kompletten Systeme vom quintic und das sextic wurden zuerst von Gordan 1868 erhalten (Mathelxix Journ. f.. 323- r.). See also:August von Gall in 188o erhielt das komplette System vom ary octavic (Matheankündigung xvii. 31-52, 139-152, 456); und, 1888, das vom binären septimic, das viel erschwert war (Matheankündigung xxxi. 318-336). Einzelne binäre Formen des höheren und begrenzten Auftrages sind nicht mit komplettem See also:Erfolg studiert worden, aber das System der binären Form des endlosen Auftrages ist vollständig durch Sylvester, Cayley, MacMahon und See also:Stroh, jedes von festgestellt worden, trug See also:wem zur Theorie bei. Was simultan binär Form, das d System von zwei Gleichung, und von jed Zahl von Gleichung, is'alluded zu oben genannt und haben See also:lang sein bekannt. Durch das System vom quadratischen und das Kubik, bestehend aus 15 Formen und das von cubics zwei, bestehend aus 26 Formen, wurden Salmon und Clebsch erreicht; das vom Kubik- und das quartic verdanken wir Sigmund Gundelfinger (See also:Programm See also:Stuttgart, 1869, 1-43); das vom quadratischen und das quintic zum See also:Winter (Programm See also:Darmstadt, 1880); das vom quadratischen und das sextic zu von Gall (Programm See also:Lemgo, 1873); das von quartics zwei zu Gordan (Matheankündigung ii. 227-281, 1870); und zu Eugenio Bertini (See also:Batterie Giorn. xiv 1-14, 1876; auch Mathe. Ankündigung XI 30-41, 1877). Das System von vier Formen, von denen zwei und quadratische Gleichung zwei linear sind, ist von Perrin nachgeforscht worden (S. M. F. See also:Stier. xv 45-61, 1887). Dreifache und höhere dreifache Form Forms.The von Auftrag n wird symbolisch durch (aixi+a2x2+a3xi)"= wie dargestellt; und, wie üblich, sind b, c, d... alternative Symbole, damit a"b"=c"=d "=.... s x. Ein unveränderliches oder Covariant, die wir bloß, ein Produkt von Faktoren von zwei Arten zu bilden, haben nämlich bestimmenden Faktoren (ABC), (abd), (bce), usw. und andere Faktoren wie, ein b., cx bilden... in solcher Weise, die jedes der Symbole a, b, c... n-Zeiten auftritt. Solch ein symbolisches Produkt, wenn es nicht identisch verschwindet, bezeichnet ein unveränderliches oder ein Covariant, insofern Faktoraxt, b5, cx... nicht oder erscheinen. um die reale Form zu erhalten, die wir heraus, und, im Resultat multiplizieren, für die Produkte von Symbolen die realen Koeffizienten ersetzt Sie, die sie bezeichnen. Z.B. nehmen Sie die dreifache quadratische Gleichung (aix, +a2x2+a3x3)2 = a2 x oder in der realen Form ax:+bxs+cx:+2fx2x3+2gx3xi+2hxix2• können wir sehen daß (abc)asbxcs ist nicht ein Covariant, weil es identisch verschwindet, der Austausch von a und b, das sein Zeichen ändert, anstatt, es unverändert zu lassen; aber (abc)2 ist ein unveränderliches. Wenn Axt, b:, c = ist unterschiedliche Formen, die wir erreichen, nachdem von der Entwicklung von den quadrierten bestimmenden Faktor und Umwandlung zur realen Form (beschäftigend einzelne und doppelte Schläge, um die realen Koeffizienten des Bas zu unterscheiden und ex), des a(b'c"+b"c'2f '")+b(c'a"+c"a'2g'g") +c(a'b"+a"b'2h'h")+2"f(g'h"+g"h'a'f"a"f) +2g(h'f"+h"f ' b'g"b g')+2h(f'g"+f"g'c'h"c"h '); durch lineare Umwandlung zur Form x3+y3+z3+6mxyz, eine Form, die 9 unabhängige Konstanten miteinbezieht, wie sein sollte der Fall; es muß jedoch erwähnt werden, das das Zählen von Konstanten nicht ein sicherer Führer zum Bestehen einer vermuteten kanonischen Form ist. So ist das dreifache quartic nicht, im allgemeinen, ' ausdrückbar, wie eine Summe von fünf 4. Energien als dem Zählen von Konstanten ein geführt haben konnte zu erwarten, ein Theorem wegen Sylvester. Hesses kanonische Form zeigt sofort, daß es nicht mehr als zwei unabhängige invariants geben kann; für, wenn es drei gab, könnten zeigten uns, durch Beseitigung des Moduls der Umwandlung, zwei Funktionen der Koeffizienten zu erhalten, die Funktionen von m und folglich, durch Beseitigung von m gleich sind, erreichen ' eine Relation zwischen den Koeffizienten und sie, um unabhängig nicht zu sein, die zur See also:Hypothese konträr ist. Das einfachste unveränderliche ist S = (ABC) (abd) (acd) (bcd) von Grad 4, der für die kanonische Form von Hesse m(I m3 ist); sein Verschwinden zeigt an, daß die Form als Summe von drei Würfeln ausdrückbar ist. Das grobe Sackzeug ist symbolisch (abc)àzbxcs = H3 und für die kanonische Form (1-{-2m3)xyzm2(x3+y2+z3). Durch den Prozeß von Aronhold können wir das unveränderliche S für das Kubika=+XH bilden!, und dann ist der Koeffizient von a das zweite unveränderliche. T. Sein symbolischer Ausdruck, Pros eines zu den numerischen Faktors, ist (Hbc) (Hbd) (Hcd) (bcd) und er sind offenbar von Grad 6. Ein weiterer Covariant ist erforderlich, einen algebraisch kompletten Satz zu bilden. Dieses ist von Grad 8 in den Koeffizienten, und Grad 6 in den Variablen und, für die kanonische Form, hat den Ausdruck -9m6(x3+y3+z3)2 (2m +5m4+20m7) (x3 +y'+z2)xyz (15m2+78mb -12m2)x2y2z2 + (1 +8m3)2(y3z3 +z3x3 +xý3)• an überschreiten zum dreifachen quartic finden wir, daß die Zahl Grundformen anscheinend sehr groß ist. Gordan (Matheankündigung xvii. 21,7-233), auf einen bestimmten Fall von der Form begrenzend, hat 54 Grundformen festgestellt, und G. Maisano (Batterie G. xix 198-237, i88) hat alle bis zu festgestellt und den 5. Grad in den Koeffizienten umfassend. Das System von zwei dreifachen quadratischen Gleichungen besteht aus 20 Formen; es ist von Gordan nachgeforscht worden (Vorlesungen i. 288, auch Mathe Clebsch-Lindemanns. Ankündigung xix 529-552); Perrin (See also:Bull. xviii S.-M. F.. 1-8o, 189o); Rosanes (Matheankündigung vi. 264); ' und Gerbaldi (Annali (2), xvii. 161-196). Ciamberlini hat ein System von 127 Formen gefunden, die zu drei dreifachen quadratischen Gleichungen gehören (Batterie G. See also:xxiv. 141-157). A. R. Forsyth hat die algebraisch kompletten Sätze der Grundformen der dreifachen und quaternären Formen besprochen (sehen Sie Amer. J. XII 1-õ, I15-160 und Camb. Phil. Trans. xiv 409-466, 1889). Er-prüft, mittels der sechs linearen teilweisen Differentialgleichungen, die durch das Concomitants erfüllt sind, dieses, wenn irgendwie begleitend, wird See also:erweitert in Energien von x2, x3, das Punktvariablesand von ui, u2, u3, das contragredient Linienvariablesit ist vollständig bestimmt, wenn sein führender Koeffizient bekannt. Für das dreifache quantic des unipartite von Auftrag n findet er, daß das grundlegende System 2(n+4)(n1) Einzelpersonen enthält. Er betrachtet erfolgreich die Systeme von zwei und drei simultanen dreifachen quadratischen Gleichungen. In Teil III. der Abhandlung bespricht er biternäres quantics und insbesondere die, die lineo-linear sind, quadrato-linear, cubo-linear, quadrato-See also:quadratisch, cubo•cubic, und das System lineo-linearen quantics zwei. Er zeigt, daß das System des biternären n°m'° Einzelpersonen 4(n+l)(n+2)(m+l)(m+2)3 enthält. Bibliographische Hinweise auf dreifachen Formen werden von Forsyth (Amer. J. XII P. 16) und von Cayley gegeben (Amer. J. iv., 1881). Clebsch, ' 1872, in den Papieren in See also:Abh. d. K. Alead. d.-U.-zu See also:Gottingen, t. xvii und Mathe. See also:Ann. t. v., stellte im wichtigen Resultat her, die im Fall von einer Form n Variablen, die concomitants der Form oder des Systems solcher Formen, in die Kategorien der Gesamtheits n1 von Variablen miteinbeziehen Sie. ' zum Beispiel, beziehen die einer dreifachen Form zwei Kategorien mit ein, die als Punkt geometrisch gedeutet werden können und See also:Linie in einer Fläche koordiniert; die einer quaternären Form beziehen drei Kategorien mit ein, die als Punkt, Linie geometrisch gedeutet werden können und Fläche im See also:Raum koordiniert. IV. AUFZÄHLEN, FUNKTIONS-See also:Professor See also:Michael See also:Roberts (Quart. Math ERZEUGEND. J. iv.) war das erste zum Erwähnen, daß die Studie von Covariants auf der Studie ihrer führenden Koeffizienten verringert werden kann und daß von allen möglichen Relationen, die die anschließen, letzten sofort die Relationen derivable sind, die das ehemalige anschließen. Es ist über dem ein Covariant, im allgemeinen, erfüllt vier teilweise Differentialgleichungen gezeigt worden. Zwei von diesen zeigen, daß der führende Koeffizient jedes möglichen Covariant eine See also:isobare und homogene Funktion der Koeffizienten der Form ist; die restlichen zwei können als Operatoren angesehen werden, die das Verschwinden des Covariant verursachen. Diese können, für das binäre n ' mkak_1- geschrieben werden - x2 = 0; m(nk)aai-kxia -- d = 0; oder in der Form Stxàx-=0, O wo d d = AO i+àiaa } d d d O = naidao+ (n -1)aàai +... +a. Lassen Sie einen Covariant von Grad a in den Variablen und von Grad 0 in den Koeffizienten (das Gewicht des führenden Koeffizienten, der W und kein -2w = e) ist, ist Cox: +ecixi 1x2+...., Funktionieren mit 0xo - wir finden SlCo=o; das heißt, erfüllt Co eine der zwei teilweisen Differentialgleichungen, die durch ein unveränderliches erfüllt sind. Sie ist aus diesem Grund, der ein seminvariant genannt wird, und jedes seminvariant ist der führende Koeffizient eines Covariant. Die wholetheorie von invariants einer binären Form hängt nach den Lösungen der Gleichung SZ=o ab. Bevor es diese bespricht, ist sie am besten, die binäre Form durch ersetzendes!al I, 2!47,2, 3 umzuwandeln! a2... n!an, für Al, a2, AA... a, beziehungsweise; es wird dann aexi+naixi 1x2 } n(n1)âxi~4 f. -- n!anx2; und 0 nimmt das einfachere Form-AG-CII +alaa2+aàaa+'"+â~-i tun einen See also:Vorteil, den wir sind daß, wenn wir jetzt ao=o schreiben, und ersetzen a, _1 für a, wenn s>o, wir AO i+aid +a2... +a"'-2dan-I erreichen, die die Form von ft für ein binäres folglich ist, indem es bloß jedes Suffix in einem seminvariant durch Einheit vermindert, wir erreichen andere erhalten haben, die vom gleichen Grad und vom Gewicht wo seminvariant sind und gehört zu (Ni) '. Auch wenn wir jedes Suffix in einem seminvariant erhöhen, erreichen wir die Bezeichnungen, die von AO, von einigem frei sind, das vom Grad 0 und Gewicht w+o seminvariant ist. Ex. Gr. vom unveränderlichen Al -àlai+àoa * vom quartic erbringt der vermindernde Prozeß ai-àea2, den führenden Koeffizienten des groben Sackzeugs vom Kubik, und der zunehmende Prozeß führt zu a; -àà*+àia6, das nur das zusätzliche termàoa6 erfordert, vom sextic ein seminvariant zu werden. Ein wichtigerer Vorteil, entspringend der neuen Form von 0, entsteht aus der Tatsache daß, wenn x"aixn-i+a2x"-2... das (x des ()"an=(xai)(x a2)...), die Summen von Energien See also:essen, ma8, MA *... aller erfüllen Mann die Gleichung 12=o. Folglich ausschließlich AO, können wir, in der Fachdarstellung, die grundlegenden Lösungen der Gleichung notieren, nämlich. -. (2), (3), (... (n 4)) und sagen, daß mit AO, wir ein algebraisch komplettes System haben Sie. Jede symmetrische Funktion bezeichnet durch Fächer, die Abbildung Einheit nicht ist mit einzubeziehen (sagen Sie eine symmetrische Nichteinheitsfunktion), das unverändert durch jede mögliche See also:Zunahme von n bleibt, auch ein seminvariant und wir kann nehmen wenn wir bitte ein anderes grundlegendes System, nämlich. AO, (2), (3), (22), (32)... (21") oder (321("-a)). Beobachten Sie, daß, wenn wir irgendeine symmetrische Funktion (pip2Ps...) dem vermindernden Prozeß unterwerfen, es aoi-172 (P2P3...). betrachtet zunächst die Lösungen von 0=o wird, die von Grad 0 sind und Gewicht w. die allgemeine Bezeichnung in einer Lösung das Produktav°aila =... a*"wherein Mir=o, 157r, = W miteinbezieht; die Zahl solchen Produkte, die erscheinen können abhängt nach der Zahl Fächern von W in O oder weniger zerteilt begrenzt, um n in der Größe nicht zu übersteigen. Lassen Sie diese Zahl vorbei bezeichnet werden (W; O, N). um die Seminvariameisen zu erhalten würden wir notieren (W; 0, N) benennt jedes, das mit einem wörtlichen Koeffizienten dazugehörig ist; wenn wir jetzt mit S2 funktionieren, erreichen wir ein lineares See also:arbeiten von (wI; B, N) Produkte, für das Verschwinden von, welchem die wörtlichen Koeffizienten erfüllen müssen (wI; O, N) lineare Gleichungen; folglich (W; n)(wl 0,; B, N) dieser Koeffizienten angenommenes arbi- trarily sein, und die Zahl linear unabhängigen Lösungen von 12 = O, von kann das gegebene den Grad und Gewicht, ist genau (W; B, n)(wI; 0, N). Diese Theorie liegt an Cayley; sein validit _ hängt nach dem Zeigen das ab (Horizontalebene; die linearen Gleichungen 0, N), die durch die wörtlichen Koeffizienten erfüllt sind, sind unabhängig; dieses ist See also:erst vor kurzem von E. B hergestellt worden. Elliott. Diese seminvariants werden gesagt, um ein asyzygetic System zu bilden. Es wird im See also:Artikel auf KOMBINATORISCHER See also:ANALYSE gezeigt, die (W; 0, N) ist der Koeffizient von achtern ' in der steigenden Expansion des Bruches 1 1a. 1az. 1az2....1aa "' folglich (W; n)(wl 0,; 0, N) wird durch den Koeffizienten von aez ' im Bruch 1z 1a.1az gegeben. L az az2....I ".', die erzeugende Funktion Aufzählens von asyzygetic seminvariants. Wir können, durch ein weithin bekanntes Theorem, dem Resultat als Koeffizient von en in die Expansion des 1z"+2 1zn+i...,1 an+e 1z2.1zs....1ze schreiben und da dieser Ausdruck durch den Austausch von n und O unverändert ist, wir prüfen Gesetz Hermites der Reziprozität, die angibt, daß die asyzygetic Formen von Grad B für das n44 mit denen des Grads für zum o'° equinumerous sind. Der Grad des Covariant in den Variablen ist e=no2w; infolgedessen werden wir nur mit positiven Bezeichnungen in den Entwicklungen betroffen und (W, 0, n)(wI; O, N) ist es sei denn no2wo negativ. Es ist bequem, die seminvariants des Grads O und Auftrag a=no2W durch eine erzeugende Funktion aufzuzählen; so in das Erzeugen der Funktion für seminvariants zuerst geschrieben, schreiben Sie for_z a2 und az "für a; wir erreichen 1z-2 1az ". 1azn-2. 1az"-*....1az-n+*.1az-n+2.1az - "in welchem wir dem Koeffizienten von aez"e-21D nehmen müssen, die Expansion, die in steigenden Energien von a. ist, während wir mit.einbeziehen nur diesem Teil der Expansion, die mit.einbezieht positive Energien von z, müssen wir versuchen, diesen Teil, See also:sayAn(z) zu lokalisieren. Zusätzliche Informationen und AnmerkungenEs gibt keine Anmerkungen dennoch für diesen Artikel.
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