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ELASTIZITÄT
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ELASTIZITÄT . Dieses ist möglicherweise See also:der verwendbarste Platz für einige Anmerkungen auf der Theorie von "Maßen.", (sehen Sie auch See also:MASSEINHEITEN, See also: Die Theorie von Maßen ermöglicht uns häufig, gewissermaßen, die Weise zu prognostizieren, in der die Größen in jedes bestimmte Problem teilnehmen See also:am Resultat miteinbezogen. So annehmend, daß die See also:Periode einer kleinen Pendelbewegung eines gegebenen Pendels an einem gegebenen Platz,is ein definitive Quantität, wir sehen, daß sie als SL (l/g) schwanken muß. Für sie kann von der Masse m des Pendels, der Länge 1 der See also:Zeichenkette und des Wertes von g am Platz in der Frage nur abhängen; und der oben genannte Ausdruck ist die einzige See also:Kombination dieser Symbole deren Maße die einer Zeit sind, See also:einfach. Wieder hängt die Zeit des Fallens von einem See also:Abstand a in eine gegebene Mitte der Kraft umgekehrt schwankend als das Quadrat des Abstandes nur von a und vom konstanten µ der Gleichung ab (15). Die Maße von A/x2 sind die einer Beschleunigung; folglich sind die Maße von g L2t-2. Assuming, das die Zeit in der Frage verändert, während See also:asµSee also: Ein vektor-OU gezeichnetes paralleles zu PQ, der Länge proportional zu PQ/St auf jeder bequemen See also:Skala, stellt die Mittelgeschwindigkeit im Abstand es See also:dar, See also: T beseitigend, haben wir die Gleichung des Weges, nämlich gegen g. y=uox-ù2 dieses ist eine Parabel mit vertikaler Mittellinie, des Latusrektums zuo2/g. Die Strecke auf einer Horizontalebene durch 0 wird erhalten, indem man y=o setzt, nämlich ist es ùovo/g. Wenn wir die resultierende Geschwindigkeit an irgendeinem sofortigen h y s bezeichnen, haben wir $2 x2+3,2 = (7) des sot 2gy., die ein anderes wichtiges Beispiel das eines Partikels abhängig von einer Beschleunigung ist, die immer in Richtung zu einem Fixpunkt 0 verwiesen wird und zum Abstand von O. The proportional ist, Bewegung offenbar in einem Flugzeug ist, das wir als das flache z=o nehmen. Ifµ ist die Beschleunigung im Maßeinheitsabstand, in den Teilbeschleunigungen, die zu den Äxten von x parallel sind und in y bis 0, da Ursprung µx ist, - Ay, woher dzx d2 dt2 = -µx, Papier.lösekorotron = -µy. (8) die Lösung See also:Sin-NT x=Alattichs nl+B ist, Sin-NT y=Clattichs nt+D, (9) wo n = Jµ. Wenn P die Ausgangsposition des Partikels ist, können wir OP als Mittellinie von x bequem nehmen und zeichnen Oy, das zur Richtung der Bewegung bei P. If OP=a parallel ist und sind so die Geschwindigkeit an P, wir haben zuerst x=a, y=o, x=o, jy=so; woher x=alattich-NT, y=bsin-NT, (zu) wenn b. = so/n. Der Weg ist folglich ein See also:Ellipse, von dem a, b verbundene Semi-diameters sind, und wird in der Periode 24dµ beschrieben; außerdem ist die Geschwindigkeit an irgendeinem Punkt P,/µ•od, wo Od das Semi-diameterparonym zu OP ist, diese Art der Bewegung wird benannt elliptische Harmonik gleich. Wenn die Koordinierungsäxte die Hauptäxte des Ellipse sind, ist das See also:Winkel-NT innen (also) identicalwith der "excentric Winkel.", Die Bewegung des Pendels eines "kugelförmigen Pendels," i-See also:e. ein einfaches Pendel dessen Pendelbewegungen nicht zu einer vertikalen Fläche begrenzt werden, ist von diesem Buchstaben, vorausgesetzt die extreme Neigung der Zeichenkette zum vertikalen See also:klein ist. Die Beschleunigung ist in Richtung zur Vertikale durch den Punkt der See also:Aufhebung, und ist See also: Again, die Geschwindigkeit, die zum Normal an P parallel ist, ändert von O bis vSl/i schließlich damit die normale Beschleunigung vdil ist, ldt. Seit DL dvdvds-dvd¢dîds v2 - ds-dt=v -, werden See also:Bottich = Td dt-p, (12), wo p der See also:Radius der Biegung des Weges an P ist, die tangentialen und normalen Beschleunigungen auch durch v dv/ds und v2/p, beziehungsweise ausgedrückt. Nehmen Sie, z.B., den See also:Fall von einem Partikel, der auf einer glatten Kurve in einer vertikalen Fläche, unter die Tätigkeit Schwerkraft und der See also:Druck R der Kurve sich verschiebt. Wenn die Äxte x und y (aufwärts) gezeichnetes horizontales und vertikal sind und wenn ¢ die Neigung der Tangente zum horizontalen ist, haben wir 2 mvas = - Magnesiumsin ¢ = - mgrs, pv = - Magnesium See also:Lattich ¢+R. (13), welches die ehemalige Gleichung von von v2 = von von C gibt - 2gy, und das letzte stellt dann R fest. Im Fall vom Pendel findet die Spannung der Zeichenkette des Drucks der Kurve statt. Wenn L die Länge der Zeichenkette ist, 4' seine Neigung zur abwärts Vertikale, haben wir Ss=104 ', damit v=ldt/, /dt. Die tangentiale Auflösung gibt dann z-ldis = - g-Sin 4'. Wenn wir mit 24/dt multiplizieren und integrieren, erreichen wir (&P) T Lattich ¢+const., (16) &P/L, dem gesehen wird, um gleichwertig zu sein zu (14). Wenn das Pendel zwischen den Begrenzungen 4' = = a oszillieren, haben wir 2=M22Zpp (Lattich 4'cos A) = (singen Sie lasing ilk); (17) und, Sina¢ = Sin 42 des Sin à., wir See also:finden während der Periode (T) einer kompletten Pendelbewegung T = irdu•ay = I L f2l 4f d4, 4 g das • Jo (1sine Za.sin24 setzend ') = 4'~ L • FI(sin 2la), (i8) g (i) (3) (See also:5) (6) v+Ev (14) (15) in der See also:Darstellung der elliptischen Integrale. Das Funktionsflorida (Sin/3) wurde von A. M. See also:Legendre für die See also:Werte von T3 reichend von 0° bis 90° tabelliert. Die folgende Tabelle gibt die Periode, für verschiedene Umfänge a, in der der Pendelbewegung in einen unendlich kleinen Bogen [ nämlich 2 * '/(l/g ] ausgedrückt als Maßeinheit. s = ist Sin 4', (22) die Gleichung (21) würde annehmen die gleiche Form wie § 12 (5). Die Bewegung entlang dem Bogen würde dann genau einfach-See also:harmonisch sein, und die Periode 2rJ (See also: Folglich ist der Weg auf der Oberfläche "geodesic". Wenn wir entlang der Tangente zum Weg (ob Fläche oder tortuous) beheben, kann die Gleichung der Bewegung eines Partikels, geschrieben zu werden meine Ts = C, (23), wo ' C der tangentiale Bestandteil der Kraft ist. Integrierung in Bezug auf s finden wir jmvlz I.mve = See also: Folglich sind die Teilgeschwindigkeiten, die zu den blitzschnellen Positionen der Koordinierungsäxte an Zeit t parallel sind, v=Y+wz, w-=-i u=xwy. (32) in der gleichen Weise finden wir, daß die Teilbeschleunigungen itam, v+wu, See also:EA sind. (33) folglich, wenn W die Gleichungen des Bewegungsnehmens die Formen m(z2wy-wet)=X konstant ist, wzy)=Y m(y+èc, mz=Z. (34), werden diese mit den Gleichungen der Bewegung, die relative.to örtlich festgelegte Äxte uns vorstellen eine erfundene Kraft mw2r außerhalb fungierend von der Mittellinie von z lieferten, in dem r=J (x2+y2) und eine zweite erfundene Kraft 2mwv senkrecht zum Weg identisch, in dem v der Bestandteil der relativen Geschwindigkeit ist, die zur xy Fläche parallel ist. Die ehemalige Kraft wird durch Frenchverfasser das Kraftzentrifugeordinaire und das letzte das Kraftzentrifugecomposee oder Kraft de Coriolis benannt. Während eine Anwendung von (34) uns den Kasten vom Pendel eines symmetrischen als Blackburns nehmen kann, das von einem horizontalen hängt See also: (20) wird dieses für 0 = r See also:endlos und zeigt, daß das Pendel nur asymptotisch in die höchste Position neigt. Die Veränderung der Periode mit See also:Umfang war auf einmal eine Behinderung zur genauen Leistung der Pendeltaktgeber, da die Störungen, die produziert werden, kumulativ sind. Sie wurde folglich gesucht, um das kreisförmige Pendel durch etwas anderen Contrivance von diesem Defekt See also:frei zu ersetzen. Die Gleichung der Bewegung eines Partikels in jedem glatten Weg ist dzs aß = - g-Sin IA (21), wo ' die Neigung der Tangente zum horizontalen ist. Wenn Sin > G zum Bogen s, Sagen Ns, ' Flosse genau und nicht bloß ungefähr proportional waren. 67. I d.h. die See also:Zunahme der kinetischen Energie zwischen See also:allen möglichen zwei Positionen ist der Arbeit gleich, die durch die Kräfte erledigt wird. Das Resultat folgt auch von den kartesischen Gleichungen (2); nämlich. wir haben m(3z+yy+22)=Xx+Y51+Z2, (25) woher, auf Integration in Bezug auf t, 2m(xz-I-yz+iz) = f (Xz+Yj'+Zi)dt+const. (26) = f (Xdx+Ydy+Zdz)+const., wenn die Äxte rechteckig sind, dieses hat die gleiche See also:Deutung wie (24). Nehmen Sie an, See also:nun da wir ein konstantes Kraftfeld haben; d.h. ist die Kraft, die auf dem Partikel fungiert, immer dieselbe am gleichen Platz. Die Arbeit, die durch die Kräfte erledigt werden muß, die zum Feld, um den Partikel vom Rest in irgendeiner Standardposition A zum Rest zu holen in jeder möglicher anderen Position P äußere sind, nicht notwendigerweise ist dieselbe für alle Wege zwischen A und P., If es für unterschiedliche Wege unterschiedlich ist, dann durch den Partikel von A zu P durch einen Weg wieder holen und rückseitigem von P bis A durch andere, wir einen Gewinn der Arbeit See also:sichern konnten und der Prozeß unbestimmt wiederholt werden könnte. Wenn die angeforderte worden Arbeit dieselbe für alle Wege zwischen A und P ist und folglich für einen geschlossenen See also:Stromkreis auf See also:Null einstellt, soll das Feld konservativ. In diesem Fall wird die Arbeit, die angefordert wird, um den Partikel vom Rest an A zum Rest an P zu holen, die mögliche Energie des Partikels in der Position P genannt; wir bezeichnen sie durch V., If PP ' ein lineares See also:Element oder gezeichnet in irgendeine Richtung von P ist, und S ist die Kraft wegen des Feldes, in der Mitte behoben in der Richtung (28) über eine vertikale Mittellinie zwischen den Befestigungspunkten der oberen Zeichenkette. Die Gleichungen der kleinen Bewegung sind dann von der Art (35) z2wyw2x = p2x, Y +2wxw2Y = q2y. Dieses wird durch (36) z=A Lattich (at+s), y=Bsin (ot+e), vorausgesetzt (37) (az } wzp2)A+2vwB=o, àwA+ (02 -}-See also:w2 g2) B = O erfüllt. Das Verhältnis A:B beseitigend, haben wir (38) (02+w2 - p2) (02+w2 q2), -402w2 = O. Zwischen es wird leicht nachgewiesen, daß die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung in Q2 immer real sind und daß sie außerdem beide sind Positiv, es sei denn w2 p2 und q2 liegt. Das Verhältnis B/A wird in jedem Fall durch irgendeine der Gleichungen (37) festgestellt; folglich gibt jede See also:Wurzel der quadratischen Gleichung eine Lösung der Art (6), mit zwei willkürlichen Konstanten A, s., da die Gleichungen (35) linear sind, diese zwei Lösungen sollen überlagert sein. Wenn das quadratische (38) eine negative Wurzel hat, sind die trigonometrical Funktionen in (36), durch reale exponentials ersetzt zu werden, und das Positionsx=o, y=o ist instabil. Dieses tritt auf, nur wenn die Periode (22r/w) der Umdrehung des Armes zwischen den zwei Perioden (2w/p, à/q) der Pendelbewegung liegt, wenn der See also:Arm örtlich festgelegt ist. § 14. Zentrale Kräfte. See also:Hodograph.The-Bewegung eines Partikels abhängig von einer Kraft, die immer durch einen Fixpunkt 0 überschreitet, ist notwendigerweise in einer flachen Bahn. Für seine See also:Untersuchung benötigen wir zwei Gleichungen; diese können in einer Vielzahl der Formen erreicht werden. Da der Antrieb der Kraft in jedem möglichem Element von Zeitstr. nullmoment über 0 hat, ist derselbe vom zusätzlichen erzeugten Momentum zutreffend. Folglich ist der Moment des Momentums (betrachtet als beschränkter Vektor) ungefähr 0 konstant. In den Symbolen wenn v die Geschwindigkeit und das p das Senkrechte von 0 zur Tangente zum Weg ist, pv=h, (1), wo h eine See also:Konstante ist. Wenn SS ein Element des Weges sind, ist OS zweimal der See also:Bereich, der von Ss umgeben wird und die Radien, die zu seinen Extremitäten von O. Hence gezeichnet werden, wenn SA ist dieser Bereich, haben wir SA=2 OS = hilt 4, oder folglich werden gleiche See also:Bereiche rüber durch den Radiusvektor in den gleichen Zeiten gefegt. Wenn P die Beschleunigung in Richtung zu 0 ist, haben wir vds des dv von See also:Dr = - Pds', da dr/ds der Kosinus des Winkels zwischen den Richtungen r und SS ist. Wir nehmen an, daß P eine Funktion von nur r ist; dann integrierend (3) finden wir v2 = - fPdr+const., (4), das als die Gleichung von Energie erkannt wird. Dieses mit (1), haben uns kombinierend -=C -2 JPdr des pz h2, (5), das vollständig den Weg ausgenommen hinsichtlich seine See also:Lagebestimmung in Bezug auf O feststellt. Wenn das Gesetz der Anziehung das des umgekehrten Quadrats des Abstandes ist, haben wir P = 12/See also:r2 und z-p~ = C+2T. Jetzt in einem konischem dessen See also:Fokus bei 0 ist, haben wir 1 2 I P=r- a - ', wo 1 Hälfte Latusrektum ist, ist a Hälfte Hauptmittellinie, und das obere oder unterere Zeichen soll genommen werden, insofern das konische ein Ellipse oder eine See also:Hyperbel ist. Im Zwischenfall von der Parabel haben wir a=oo und die letzte Bezeichnung verschwindet. Die Gleichungen (6) und (7) werden gekennzeichnet, indem man t = h2/µ, a==u/C sich setzt. (8) seit h2 = µ (2 I), v2 = - 1\r scheint es, daß die Bahn ein Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel, insofern v2 kleiner als ist, Gleichgestelltes zu oder grösseres ist, als 2µ/r. jetzt es von (6) scheint, daß 2µ/r das Quadrat der Geschwindigkeit ist, die durch einen Partikel erworben würde, der vom Rest an der Unbegrenztheit zum Abstand r. fällt, folglich, das der See also: Im Fall von einer zentralen Kraft, mit 0, wie Pfosten, das Quer, Beschleunigung verschwindet, damit r2dO/dt = h, (15), wo h konstant ist; dieses zeigt (wieder) daß die Radiusvektorschleifeovergleichgestelltbereiche in den gleichen Zeiten. Vor die Radialauflösung gibt 2 aß-r(d)_P, wo P, wie, die Beschleunigung in Richtung zu O. bezeichnet If diesbezüglich wir r=1/u setzte, und t mittels (15), wir erhalten die allgemeine Differentialgleichung der zentralen Bahnen, nämlich beseitigt. HP-z• des dù do2 +It (17), wenn z.B. das Gesetz das des umgekehrten Quadrats ist, haben wir P=µu2, und die Lösung ist von der Form u=h2{1+ecos(oa) }, (18), wo e, a willkürliche Konstanten sind. Dieses wird, wie die polare Gleichung von einem konischem auf den Fokus sich bezog, das halbe Latusrektum erkannt, das h2/z ist. dApapier.lösekorotron 2 (2) (6) (7) (9) (zu) (3) die Richtung von 0 erhöhend), die Mitte der Kraft als Pfosten va-$w ließ P, Q ist die Positionen eines beweglichen Punktes manchmal t, t + Str. und schreibt OP=r, OQ=r+Sr, LPOQ=SO, 0 seiend jeder örtlich festgelegte Ursprung. Wenn u, v die Teilgeschwindigkeiten an P entlang ist und Senkrechtes zu OP (in haben uns u = limstr.-Papier.lösekorotron ' v = lim. r SO = Drehtransformator. (13) ist (16) dann jedes mögliches andere Gesetz der Kraft und gibt eine begrenzte Geschwindigkeit von der Unbegrenztheit, unter der alle begrenzten Bahnen notwendigerweise geschlossene Kurven sind. Wenn dieses der Fall ist, muß der apsidal Winkel mit r commensurable offenbar sein, und da er nicht unterbrochen sich verändern kann, muß der apsidal Winkel in einer fast kreisförmigen Bahn konstant sein. Den Ausdruck (30) zu r/m gleichstellend, finden wir daß f(a)=C/a ', wo n=3m2. Die Kraft muß als Energie des Abstandes folglich schwanken, und n muß kleiner als 3 sein. Außerdem ist der Fall n=2 das einzige, in dem die kritische Bahn (27) als die Begrenzungsform einer geschlossenen Kurve angesehen werden kann. Folglich ist das einzige Gesetz der Kraft, die die Bedingungen erfüllt, das des umgekehrten Quadrats. Am Anfang von § 13 wurde die Geschwindigkeit eines beweglichen Punktes P durch einen Vektor dargestellt OV, der von einem örtlich festgelegten Ursprung O. The gezeichnet wurde, das See also:Ort des Punktes V das hodograph (q.v.) genannt wird; und es scheint, daß die Geschwindigkeit des Punktes V entlang dem hodograph in der Größe und in der Richtung die Beschleunigung in der ursprünglichen Bahn darstellt. So im Fall von einer flachen Bahn, wenn v die Geschwindigkeit von P ist, koordiniert die Neigung der Richtung der Bewegung zu irgendeiner örtlich festgelegter Richtung, das polare von V kann genommen werden, um v, II zu sein; folglich sind die Geschwindigkeiten V entlang und Senkrechtes zu OV von von dv/dt und von von vdtti/dt. Diese Ausdrücke geben folglich die tangentialen und normalen Beschleunigungen von P; cf. § 13 (12). In der Bewegung eines Geschosses unter Schwerkraft ist das hodograph eine vertikale Linie, die mit konstanter Geschwindigkeit beschrieben wird. In der elliptischen harmonischen Bewegung ist die Geschwindigkeit von P parallel und zum Semi-diametercCd proportional, das zum Radius-CP verbunden ist; das hodograph ist folglich ein Ellipse, der der tatsächlichen Bahn ähnlich ist. Im Fall von einer Zentralebahn, die unter dem Gesetz des umgekehrten Quadrats wir haben v=h/SY=h. SZ/b2, in dem S die Mitte der Kraft beschrieben wird ist, das SY das Senkrechte zur Tangente an P ist, und Z ist der Punkt, in dem YS den zusätzlichen Kreis wieder trifft. Folglich ist das hodograph ähnlich und ähnlich zum Ort von Z (der zusätzliche Kreis) gedreht über S durch einen rechten Winkel aufgestellt. Dieses trifft auf eine elliptische oder hyperbolische Bahn zu; der Fall von der Parabolischen Bahn kann separat überprüft werden oder behandelt werden wie ein Grenzfall. Der eingegliederte fig. 70 stellt die verschiedenen Fälle, mit dem hodograph in seiner korrekten Lagebestimmung aus. Der Pfosten O des hodograph ist nach innen auf oder außerhalb dem Kreis, insofern die Bahn ein Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel ist. In jedem Fall von einer zentralen Bahn ist das hodograph (wenn Sie durch einen rechten Winkel gedreht werden), ähnlich und ähnlich zum "wechselseitigen polaren" der Bahn in Bezug auf die Mitte der Kraft aufgestellt. So für eine kreisförmige Bahn mit der Mitte der Kraft an einem excentric Punkt, ist das hodograph mit dem Pfosten als Fokus ein konisches. Im Fall von einem Partikel, der unter Schwerkraft auf einer glatten Zykloide vom Rest am cusp ist das oszilliert, hodograph ein Kreis durch den Pfosten, beschrieben mit konstanter Geschwindigkeit. § 15. See also:Kinetik eines Systems des getrennten Particles.The-Momentums der einiger Partikel setzen ein System der beschränkten Vektoren fest, die, zwecks des Behebens und des Dauerns von Momenten, wie ein System der Kräfte im See also:statics (§ 8) verringert werden können. Irgendeinen Punkt 0 als Unterseite so, nehmend, haben wir zuerst ein lineares Momentum dessen Bestandteile auf rechteckige Äxte durch 0 sind das Gesetz des umgekehrten Würfels P=µ u8 ist interessant über Kontrast sich bezogen. Die Bahnen können in zwei Kategorien geteilt werden insofern Le. ' Al, d.h., insofern die Quergeschwindigkeit (hu) grösser oder kleiner als die Geschwindigkeit s/µ.0, das zu einer kreisförmigen Bahn in dem gleichen Abstand passend ist ist. Im ehemaligen Fall, den die Gleichung (17) die Gestalt d 1'-1+mù=o, (19) (21) annimmt, u=Ae'"e-{-Seien Sie. O (22), wenn A, B das gleiche Zeichen haben, dieses ist mit Au = cosh MO, (23) gleichwertig, wenn der Ursprung von 0 passend justiert wird; folglich hat r einen Maximalwert a, und der Partikel nähert schließlich sich dem Pfosten asymptotisch durch eine endlose Anzahl von Windungen. Wenn A, B gegenüber von Zeichen haben, ist die Form Au = sinh MO, (24) hat diese einen Asymptote, der bis 0 = O parallel ist, aber der Weg nahe dem Ursprung hat die gleiche allgemeine Form wie im Fall von (23). Wenn A oder B verschwinden, haben wir einen equiangular Spiral, und die Geschwindigkeit an der Unbegrenztheit ist null. Im kritischen Fall von h2=µ, haben wir dù/d92=o und u=AB+B; (25) ist die Bahn folglich ein "wechselseitiger Spiral," ausgenommen in den speziellen Fall von A=o, wenn es ein Kreis ist. Es wird gesehen, daß, es sei denn die Bedingungen genau auf eine kreisförmige Bahn eingestellt werden, der Partikel entweder zur Unbegrenztheit zurücktritt oder dem Pfosten sich asymptotisch nähert. Dieses Problem wurde von R. See also:Cotes (1682-1716) nachgeforscht, und die verschiedenen erreichten Kurven bekannt als Spirals Cotess. Ein Punkt auf einer zentralen Bahn, in der die Radialgeschwindigkeit (dr/dt) verschwindet, wird ein See also:apse und den entsprechenden Radius wird benannt eine Apselinie genannt. Wenn die Kraft. immer ist dasselbe in dem gleichen Abstand, den jede mögliche Apselinie die Bahn symmetrisch teilt, wie gesehen wird, indem man die Geschwindigkeit am aufzuhebenden apse sich vorstellt. Es folgt, daß der Winkel zwischen aufeinanderfolgenden Apselinien konstant ist; es wird den apsidal Winkel der Bahn genannt. Wenn in einer zentralen Bahn die Geschwindigkeit der Geschwindigkeit von der Unbegrenztheit gleich ist, haben wir, von (5), See also:Spannvorrichtung = 2 r Pdr; (26) stellt dieses die Form der kritischen Bahn fest, da es benannt wird. Wenn P=p/r ", seine polare Gleichung (27) r"cosme=a'' ist, wo m=l (3n), ausgenommen in den Fall n=3, wenn die Bahn ein equiangular Spiral ist. Der Fall n = 2 gibt die Parabel als vorher. Wenn wir de/dt zwischen (15) beseitigen und (16) wir cl2r h2 d 2Ta=-P=f(r) erreichen, sagen Sie. Wir können dieses an der Untersuchung der Stabilität einer kreisförmigen Bahn anwenden. Dieses r=a+x annehmend, in dem x klein ist, haben wir ungefähr d2xh2 (3x) _ f (a) x f, (a) dt2 ein ' ~a folglich, wenn h und sein durch die Relation anschlossen h2=a3f(a), die zu einer kreisförmigen Bahn korrekt ist, wir haben d 2 + { f'(a)+af(a) } x=o. (28) wenn der Koeffizient von x positiv ist, sind die Veränderungen von x einfach-harmonisch, und x kann dauerhaft klein bleiben; die kreisförmige Bahn wird dann gesagt, um beständig zu sein. Die See also:Bedingung für dieses kann da{a2f(a)}>o, d.h. die Intensität schriftlich von der Kraft in der Region, für die r=a bei Zunahme des Abstandes kleiner fast See also:schnell vermindern muß als entsprechend dem Gesetz des umgekehrten Würfels. Von wieder ist die Halbperiode von x r/~ { f'(a)+á-lf(a) }, und da die Winkelgeschwindigkeit in der Bahn h/a2 ist ungefähr ist der apsidal Winkel, schließlich, SS ein r~af'()+3f(a) oder, im Fall f(a) = k/r ", r-//(3n). Dieses ist in Übereinstimmung mit die bekannten See also:Resultate für n=2, n = -1. Wir haben gesehen, daß unter dem Gesetz des umgekehrten Quadrats alle begrenzten Bahnen elliptisch sind. Die Frage stellt sich ob dort z(mx), Z(my), m(m2) dar; (1) ist sein Repräsentativvektor gleiche, was Punkt 0 gewählt Sie seien. Zweitens haben wir ein eckiges Momentum dessen Bestandteile z{m(ya23)1, E{m(xyy)1 sind, (2) diese, die die Summen der Momente des Momentums der einiger Partikel über die jeweiligen Äxte sind. Dieses ist abhängig von den gleichen Relationen wie ein Paar im statics; es kann durch einen Vektor dargestellt werden, der wird, jedoch im allgemeinen mit der Position von O schwanken Sie. Das lineare Momentum ist dasselbe, als ob die vollständige Masse in der Mitte von Masse G konzentriert wurden und mit der Geschwindigkeit dieses Punktes ausgestattet. Dieses folgt sofort von Gleichung (8) von § ihr, wenn wir die zwei Konfigurationen des Systems uns vorstellen, das dort bezieht, um zu sein die, die den Augenblicken t entsprechen, t+bt. folglich E (m•-See also:SP) = E(m).Gst, See also:analytisch, das wir Z(mx) Z(mx) = (M) haben. • (4) mit zwei ähnlichen Formeln. die Lösung, von der au=sin m (0a) ist. (20) hat die Bahn folglich zwei Asymptotes, geneigte schräg Kante. Im letzten Fall, den die Differentialgleichung von der Form DU 2 = mù, damit (29) (30) (3) wieder. wenn die blitzschnelle Position von G so niedriges genommen wird, das eckige Momentum der absoluten Bewegung ist, ist dasselbe, wie das eckige Momentum der Bewegung relative.to G. For die Geschwindigkeit eines Partikels m an P durch zwei Bestandteile einer ersetzt werden kann, von denen (V) in Größe und Richtung mit der Geschwindigkeit von G identisch ist, während das andere (V) die Geschwindigkeit relative.to G ist. Die Gesamtheit des Bestandteilm'D des Momentums ist mit einem einzelnen beschränkten Vektor Z(m). V in einer Linie durch G gleichwertig und hat folglich nullmoment über jede mögliche Mittellinie durch G; folglich beim Nehmen Momenten über solch eine Mittellinie müssen wir nur die relative.to Symbole G. In der Geschwindigkeiten betrachten, wir haben E{m(yzzy)I=2(m). (ydtaiddi +z{m(n3"Pi) 1. (5) seit ~(m%)=o, (m)=o und so weiter, die Darstellung, die wie in § 11 ist. Dieses drückt aus, daß der Moment des Momentums über jede örtlich festgelegte Mittellinie (z.B. Rind) dem Moment des Momentums der Bewegung relative.to G über eine parallele Mittellinie durch G gleich ist, zusammen mit dem Moment des Momentums der vollständigen Masse annahm m(v+dv) konzentriert an G und am Bewegen mit diesem Punkt. Wenn in (5) uns 0 mit ' der blitzschnellen Position von G übereinstimmen lassen Sie, haben wir z=o, und das Theorem folgt. Schließlich sind die Änderungsgeschwindigkeiten der Bestandteile des eckigen momen-tum der Bewegung relative.to G bezogener G als bewegliche Unterseite, den Änderungsgeschwindigkeiten der entsprechenden Bestandteile des eckigen Momentums im Verhältnis zu einem örtlich festgelegten niedrigen zusammentreffendem mit der blitzschnellen Position von G gleich. Für lassen Sie G ' ist eine nachfolgende Position von G. At, sobald das Momentum des Systems mit einem linearen Momentum gleichwertig ist, das durch einen beschränkten Vektor E(m).(u+Su) in einer Linie durch G dargestellt wird ', der zum Weg von G ' tangential ist, zusammen mit einem bestimmten eckigen Momentum. Jetzt ist der Moment dieses beschränkten Vektors in Bezug auf jede mögliche Mittellinie durch G, zum ersten See also:Auftrag von Str. null, da der Senkrechtabstand von G von der Tangentelinie an G ' vom Auftrag ist (St)2. Analytically, das wir von (5), See also:dtz{m(yizy)}=z(m). (ydt2zdt~) +dtz{m(s3'3'n))• (6), wenn wir x, y, s=o setzen, das Theorem haben, wird was die Äxte betrifft nachgewiesen, die zum Rind parallel sind. Betrachten Sie zunächst die kinetische Energie des Systems. Wenn von einem Fixpunkt 0 wir Vektoren OV1 zeichnen, OV2. . . die Geschwindigkeiten der einiger Partikel m darstellen, m2. . . und wenn wir den Vektor (7) konstruieren, stellt dieses die Geschwindigkeit der Masse-Mitte, durch (3) dar. Wir finden, genau wie im See also:Beweis von Lagranges erstem Theorem (§ r1), dieses (8) ZE (m. OV2) _,E (M). OK2+-aE (m. KV2); d.h. ist die kinetische totalenergie der kinetischen Energie der vollständigen Masse gesollt konzentriert an G gleich und das Bewegen mit diesem Punkt, zusammen mit der kinetischen Energie der Bewegung relative.to G. letztes The kann genannt werden die interne kinetische Energie des Systems. Analytisch haben wir (2) \ 2/z+kd1/+(!)2 1j iztm(z2+y2+e)}=;z(m) - { - E{m(i-2+i2+3-2)I. (9) dort ist auch eine Entsprechung Lagranges an zweiter Stelle zum Theorem, nämlich. (m.KV2)=1EE(mpmq.VpVg2)~ (Io) Z(m), das die interne kinetische Energie in den relativen Geschwindigkeiten der einiger Paare der Partikel ausgedrückt ausdrückt. Diese See also:Formel liegt an See also:Mobius. Die vorhergehenden Theoreme sind lediglich kinematisch. Wir haben jetzt, den Effekt der Kräfte zu betrachten fungierend auf den Partikeln. Diese können in zwei Kategorien geteilt werden; auf wir haben zuerst, die äußeren Kräfte, die die verschiedenen Partikel von außen und, zweitens, die gegenseitigen angewendet werden oder internen Kräfte zwischen den verschiedenen Paaren der Partikel. Von es wird angenommen, daß diese letzten abhängig von dem Gesetz der Gleichheit Tätigkeit und Reaktion sind. Wenn die Gleichungen der Bewegung jedes Partikels separat gebildet werden, erscheint jede solche interne Kraft zweimal rüber, mit gegenüberliegenden Zeichen für seine Bestandteile, nämlich als See also:Beeinflussen der Bewegung von jedem der zwei Partikel, zwischen denen sie fungiert. Das volle Ausarbeiten ist im General, der, das verhältnismässig einfache Problem "drei Körpern," zum Beispiel, in der Gravitationsastronomie schwierig ist, die noch ungelöst ist, aber einige allgemeine Theoreme können formuliert werden. Das erste von diesen kann genannt werden die Grundregel des linearen Momentums. Wenn es keine äußeren Kräfte gibt, ist das resultierende lineare Momentum in jeder Hinsicht konstant. An für betrachten Sie alle mögliche zwei Partikel P und Q und auf einem anders mit den gleichen und gegenüberliegenden Kräften in der Linie PQ fungieren. In der Zeitstr. ein bestimmter Antrieb zum ersten Partikel in der Richtung (Sagen) von P bis Q gegeben wird, während ein gleicher und gegenüberliegender Antrieb zur Sekunde in der Richtung von Q zu P. Since das gleiche Erzeugnis dieser Antriebe und gegenüberliegendes Momentum in den zwei Partikeln gegeben wird, das resultierende lineare Momentum des Systems, ist unverändert. Wenn äußere Kräfte fungieren, wird es auf ähnliche Art und Weise gesehen, daß das resultierende lineare Momentum des Systems in jeder möglicher gegebenen Zeit ist, die durch die geometrische Hinzufügung des Gesamtantriebs der äußeren Kräfte geändert wird. Es folgt, von der vorhergehenden kinematischen Theorie, daß die Masse-Mitte G des Systems genau bewegt, als ob die vollständigen, Masse dort konzentriert wurden und an durch das äußere Kräfte angewendete parallele zu ihren ursprünglichen Richtungen fungiert wurden. Z.B. beschreibt die Masse-Mitte eines Systems frei von der äußeren Kraft eine gerade Geraden mit konstanter Geschwindigkeit. Wieder schloß der Masse-Mitteleistungsfaktor eine See also:Kette von Z(m.OV) 0 = z(m)partikel durch die Zeichenketten an, irgendwie projiziert unter Schwerkraft, beschreibt eine Parabel. Das zweite allgemeine Resultat ist die Grundregel des eckigen Momentums. Wenn es keine äußeren Kräfte gibt, ist der Moment des Momentums über jede örtlich festgelegte Mittellinie konstant. An für in Zeitbt produziert die gegenseitige Tätigkeit zwischen zwei Partikeln P und Q gleiches und gegenüberliegendes Momentum in der Linie PQ, und diese haben die gleichen und gegenüberliegenden Momente über die örtlich festgelegte Mittellinie. Wenn äußere Kräfte fungieren, ist das eckige totalmomentum über jede örtlich festgelegte Mittellinie im Zeitbt, das durch den äußeren totalantrieb über diese Mittellinie erhöht wird. Die kinematischen Relationen über jetzt erklärt führen zu die See also:Zusammenfassung, die, wenn wir den Effekt der äußeren Kräfte in einem unendlich kurzen Zeitbt errechnen, wir nehmen können Momenten über eine Mittellinie, die genau durch die blitzschnelle Position von G überschreitet, als ob G örtlich festgelegt waren; außerdem ist das Resultat dasselbe, ob in diesem Prozeß wir die zutreffenden Geschwindigkeiten der Partikel einsetzen, oder bloß ihre Geschwindigkeiten relative.to G., If dort keine äußeren Kräfte sind oder wenn die äußeren Kräfte nullmoment über irgendeine Mittellinie durch G haben, der Vektor, der das resultierende eckige Momentum relative.to G darstellt, in jeder Hinsicht konstant ist. Eine Fläche durch G-Senkrechtes zu diesem Vektor hat eine örtlich festgelegte Richtung im See also:Raum und wird die unveränderliche Fläche benannt; sie kann als Bezugsebene manchmal bequem verwendet werden. Z.B. wenn wir zwei Partikel durch eine Zeichenkette anschließen lassen, überschreitet die unveränderliche Fläche durch die Zeichenkette, und wenn W die Winkelgeschwindigkeit in dieser Fläche ist, ist das eckige Momentum relative.to G mÇOlrl. r1 +m2wrz. r2 = (mlrl2 - f m2r22)w, in dem r1, r2 die Abstände von ml sind, m2 von ihrer Masse-Mitte G. Hence, wenn die äußeren Kräfte (z.B. Schwerkraft) nullmoment über G haben, W ist konstant. Wieder die Spannung R der Zeichenkette durch __ ' n1-2 R=mlw2rl m, +m2wà, in dem a=rl+r2 gegeben wird. Auch durch (Io) die interne kinetische Energie ist. m, m2 wà2 1ml-Fmi die Zunahme der kinetischen Energie des Systems jedes möglichen Abstands der Zeit ist selbstverständlich der Gesamtarbeit gleich, die durch alle Kräfte erledigt wird, die auf den Partikeln fungieren. In vielen Fragen in bezug auf sind Systeme der getrennten Partikel ist die interne Kraft Rp9 (der wir Positiv berechnen, wenn attraktiv), zwischen allen möglichen zwei Partikeln m, Magnesium eine Funktion nur des AbstandsrPg zwischen ihnen. In diesem Fall wird die Arbeit, die durch die internen Kräfte erledigt wird, vorbei dargestellt - E f Rpgdrpq, wenn die Summierung jedes Paar Partikel umfaßt, und integrales jedes soll zwischen den korrekten Begrenzungen genommen werden. Wenn wir V = EfRpgdrpq See also:schreiben, (ii), wenn rP9 von seinem Wert in irgendeiner Standardkonfiguration A des Systems bis zu seinem Wert in jeder möglicher anderen Konfiguration P reicht, ist es normal, daß V die Arbeit darstellt, die würde erledigt werden müssen, um das System vom Rest in der Konfiguration A zum Rest in der Konfiguration P. Hence V zu holen ist eine definitive Funktion der Konfiguration P; es wird die interne mögliche Energie genannt. Wenn T die kinetische Energie bezeichnen, können wir dann sagen, daß die Summe T + V in jedem möglichem Abstand der Zeit erhöht durch eine See also:Menge ist, die der Arbeit gleich ist, die durch die äußeren Kräfte erledigt wird. Insbesondere wenn ist es keine äußeren Kräfte T + gibt, V konstant. Wieder wenn einige der äußeren Kräfte an einem konservativen Kraftfeld liegen, kann die Arbeit, die sie erledigen, als Verminderung der möglichen Energie im Verhältnis zu dem Feld wie in § 13 berechnet werden. § 16. Kinetik eines steifen Körpers. Grundlegende Principles.When, die wir dem der ununterbrochenen Verteilungen der See also:Angelegenheit von der Betrachtung der getrennten Partikel, wir führen, erfordern irgendein körperliches Postulat darüber und darunter was in den Gesetzen der Bewegung enthalten wird, in ihrer ursprünglichen Formulierung. Dieses zusätzliche Postulat kann unter verschiedenen Formen eingeführt werden. Von ein See also:Plan ist, anzunehmen daß jeder möglicher Körper, was auch immer behandelt werden kann, als ob es aus materiellen Partikeln, d.h. die mathematischen bestand See also:Punkte, die mit Schwungkraftkoeffizienten ausgestattet wurden, getrennt durch begrenzte Abstände, und fungierend auf einem anderer mit Kräften in den Linien, die sie abhängig von dem Gesetz der Gleichheit Tätigkeit und Reaktion verbinden. Im Fall von einem rigidbody müssen wir annehmen, daß jene Kräfte sich justieren, um die gegenseitigen Abstände der verschiedenen unveränderten Partikel zu konservieren. Auf dieser See also:Grundlage können wir die Grundregeln des linearen und eckigen Momentums, wie in § 15 behaupten. Ein Ausweichverfahren soll die Grundregel annehmen zuerst formal ausgesprochen durch d'See also:Alembert J. Le R. und seit gewußt durch seinen Namen. Wenn x, y, z koordiniert von einem Masse-Element m, das Ausdrucks-MX das rechteckige ist, mein, mz muß den Bestandteilen der Gesamtkraft auf m gleich sein, diese Kräfte, die teils äußere sind und teils die Kräfte, die auf m durch andere Massenelemente des Systems angewendet werden. Folglich (Meile, meine, m2) wird die tatsächliche oder wirkungsvolle Kraft auf m. entsprechend Formulierung der d'Alemberts benannt, die äußeren Kräfte zusammen mit den wirkungsvollen aufgehobenen Kräften erfüllen die statischen Zustände des Gleichgewichts. Das heißt, ist die vollständige Montage der wirkungsvollen Kräfte statisch Äquivalent zu den äußeren Kräften. Dieses führt, durch die Grundregeln von § 8, zu den Gleichungen (MX) = X, Z(m)) = Y, E(m2) = Z, (m(yz-zy)}=L, { m(zx-xz) } = M, { m(xy-yx) } = N, (i) wo (X, Y, Z) und (L, M, N) sind die forceandcoupleconstituents des Systems der äußeren Kräfte, bezogen 0 als Unterseite, und die Summierungen verlängern Over alle Masse-Elemente des Systems. Diese Gleichungen können d (MX) schriftlich = X, Papier.lösekorotron E(mJ) = Y, dtE(mt) = Z, dE(m(yz-zy)}=L, atE{m(zx-xz)}=M, dtE{m(xy-yx)}=N und also drücken Sie aus, daß die Änderungsgeschwindigkeit des linearen Momentums in jeder örtlich festgelegten Richtung (z.B. die vom Rind) der äußeren totalkraft in dieser Richtung gleich ist und daß die Änderungsgeschwindigkeit des eckigen Momentums über irgendeine örtlich festgelegte Mittellinie dem Moment der äußeren Kräfte über diese Mittellinie gleich ist. Wenn wir in Bezug auf t zwischen örtlich festgelegten Begrenzungen integrieren, erreichen wir die Grundregeln des linearen und eckigen Momentums in der vorher gegebenen Form; Folglich welche Form des Postulats wir annehmen, werden wir zu die Grundregeln des linearen und eckigen Momentums geführt, die tatsächlich die Grundlage unserer ganzer folgenden Arbeit bilden. Es soll beachtet werden, daß die vorhergehenden Aussagen nicht auf steife Körper eingeschränkt werden sollen; sie werden angenommen, um für alle materiellen Systeme zu halten, was auch immer. Der eigenartige Status der steifen Körper ist, daß die Grundregeln in der Frage in den meisten Fällen für die komplette Ermittlung der Bewegung, die dynamischen Gleichungen genügend sind (1 oder 2) seiend gleich zahlreich den Freiheitsgraden (sechs) eines steifen Körpers, während, in den Fällen wo die See also:Freiheit grösser ist, wir das Hilfsmittel anderer körperlicher Ergänzungshypothesen (cf. ELASTIZITÄT hervorrufen müssen; See also:HYDROMECHANICS). Die Zunahme der kinetischen Energie eines steifen Körpers jedes möglichen Abstands der Zeit ist der Arbeit gleich, die durch die äußeren Kräfte fungierend auf dem Körper erledigt wird. Dieses ist eine sofortige Konsequenz des grundlegenden Postulats, in irgendeiner der Formen über angegeben, da die internen Kräfte auf dem Ganzen keine Arbeit erledigen. Die Aussage kann auf ein System von steife Körper, vorausgesetzt verlängert werden die gegenseitigen Reaktionen aus den Drücken in den in-extensible See also:Verbindungen bestehen, oder der Druck zwischen glatten Oberflächen, oder die Reaktionen auf See also:Rollen tritt in See also:Verbindung (§ 9). § 17. Two-dimensionali Problems.In der Fall von der Umdrehung über eine örtlich festgelegte Mittellinie, die Grundregeln nehmen eine sehr einfache Gestalt an. Die Position des Körpers wird durch ein einzelnes koordinieren, nämlich der Winkel B spezifiziert, durch den irgendeine Fläche, die durch die Mittellinie überschreitet und im Körper regelt, sich von einer Standardposition im Raum gedreht hat. Dann ist d9/dt, = W-Sagen, die Winkelgeschwindigkeit des Körpers. Das eckige Momentum eines Partikels m in einem Abstand r von der Mittellinie ist maw. r, und das eckige totalmomentum ist E(mr2). W oder Iw, wenn ich den Moment der Schwungkraft (§eisenbahn) über die Mittellinie bezeichne. Folglich, wenn N der Moment der äußeren Kräfte über die Mittellinie ist, haben wir dt(Iw) = N. (i), das dieses mit der Gleichung der geradlinigen Bewegung eines Partikels verglichen werden kann, nämlich d/dt.(Mu) = X; es zeigt, daß I die Schwungkraft des Körpers was Umdrehung betrifft mißt, gerade während M seine Schwungkraft was Übersetzung betrifft mißt. Wenn N = O, W konstant ist. } nehmen (2) als erstes Beispiel an, daß wir ein Schwungrad haben, das frei ist, sich über eine horizontale Mittellinie zu drehen und daß ein See also:Gewicht m durch eine vertikale Zeichenkette von den Umkreisen einer See also:Welle von Radius b hängt (fig. 72). Reibungswiderstand vernachlässigend, haben wir, wenn R die Spannung der Zeichenkette ist, Iw=Rb, mit=mgR, woher See also:bl~ mb2 = mb2 g. (2) dieses die Beschleunigung von m gibt, wie durch die Schwungkraft des Rades geändert. Ein "zusammengesetztes Pendel" ist ein Körper jeder möglicher Form, die frei ist, sich über eine örtlich festgelegte horizontale Mittellinie zu drehen, die einzige äußere Kraft (anders als den Druck der Mittellinie) seiend das von Schwerkraft. Wenn M die Gesamtmasse ist, k der Radius der Drehung (§ II) über die Mittellinie, haben wir d(Mk2de) _ Sin B Nigh, (3), wo 0 der Winkel ist, den die Fläche, die die Mittellinie und der Schwerpunkt G-Marken mit der Vertikale enthält, und das h der Abstand von G von der Mittellinie ist. Dieses stimmt mit der Gleichung der Bewegung eines einfachen Pendels überein [ § r3 (i5) ] von Länge 1, vorausgesetzt 1=k2/h. Die Fläche des Diagramms (fig. 73) soll eine Fläche durch G-Senkrechtes zur Mittellinie sein, die es in O. If trifft, wir produzieren OG zu P und bildet OP = 1, der Punkt P, wird benannt die Mitte der Pendelbewegung; das Pendel eines einfachen Pendels von LängencOp verschoben von 0 hält See also:Schritt mit der Bewegung von P, wenn es richtig begonnen wird. Wenn K der Radius der Drehung über eine parallele Mittellinie durch G ist, haben wir k2=K2+h2 durch § II (i6) und folglich l=h+K2/h, woher GEHEN Sie. Gp = K2. (4), das dieses zeigt, daß, wenn der Körper von einer parallelen Mittellinie durch P geschwungen wurden, die neue Mitte der Pendelbewegung an den unterschiedlichen parallelen Äxten O., als sein würde For, die Periode einer kleinen Pendelbewegung, schwankt v 1 oder v (Gehen-}-OP); dieses ist wenig, abhängig von der Bedingung (4), wenn GO=GP=K. Die wechselseitige Relation zwischen den Mitten der Aufhebung und der Pendelbewegung ist die Grundlage von Methode Katers von g experimentell feststellen. Ein Pendel wird mit zwei parallelen Messerschneiden so konstruiert, fast wie möglich in der gleichen Fläche mit G, die Position von einer von ihnen seiend justierbar. Von wenn es geordnet werden könnte, daß die Periode einer kleinen Pendelbewegung dieselbe über jeden See also:Rand genau sein sollte, würden die zwei Messerschneiden im allgemeinen die Positionen der verbundenen Mitten Aufhebung und Pendelbewegung besetzen; und die Abstände zwischen ihnen würden die Länge 1 des gleichwertigen einfachen Pendels sein. Für, wenn h, +K2/hi = h2+K2/h2, dann, es sei denn h1=h2, wir K2=hih2 haben muß, l-hi+h2. Genaue Gleichheit der zwei beobachteten Perioden (TI, T2, Sagen) kann nicht selbstverständlich in der Praxis gesichert werden, und eine Änderung ist notwendig. Wenn wir Li = hallo + K2/hi schreiben, 12 = h2 + K2/h2, finden wir, auf Beseitigung von K, 11+12 11 -12 3 hallo { See also:Hz h 2 hih2 I ', woher können 44 7r2 _ (r12 1_7.22) (Anlage r22) g hallo + h2 + hallo h2 der Abstand hi+h2, der in der erstes Bezeichnung auf der rechten Hand auftritt, direkt gemessen werden. Für die zweite Bezeichnung benötigen wir die Werte von hallo, h2 separat, aber, wenn ri, r2 fast gleich sind, während hallo, h2 deutlich ungleich sind, ist diese Bezeichnung verhältnismäßig klein, damit ein ungefähres Wissen von hallo, h2 genügend ist. Wie ein abschließendes Beispiel wir die Anordnung merken kann, häufig eingesetzt in den körperlichen Maßen, in denen ein Körper kleine Pendelbewegungen über eine vertikale Mittellinie durch seine Masse-Mitte G durchführt, unter dem Einfluß eines Paares dessen Moment als der Winkel der Umdrehung von der Gleichgewichtposition schwankt. Die Gleichung der Bewegung ist von der Art I A = KB, (6) und die Periode ist folglich 7 = 21rsl(I/K). Wenn durch das Zubehör eines anderen Körpers des bekannten Momentes der Schwungkraft I', die Periode vom r-See also:Felsen geändert wird, haben wir 7'=21r, /t(I+I')/Kl. Wir werden folglich ermöglicht, beide festzustellen I und K, nämlich. I/I'T2), K=4, r2rÌ/(r'2r2). (7) können die Paare am Magnetismus der Masse oder zum torsionof eine verschiebende See also:Leitung oder zu einer "bifilar" Aufhebung liegen. Im letzten Fall hängt der Körper durch zwei vertikale See also:Gewinde gleiche Länge L in einer Fläche durch die Bewegung G. The, die angenommen wird, um klein zu sein, die Spannungen der zwei Zeichenketten, kann genommen werden, um ihre statischen Werte zu haben Mgb/(a+b), Mga/(a+b), wo a, b die Abstände von G von den zwei Gewinden sind. Wenn der Körper durch einen Winkel 0 See also:verdreht wird, bilden die Gewinde Winkel ae/l, be/1 mit der Vertikale, und der Moment der Spannungen über die Vertikale durch G dementsprechend KB, in dem K = M gab/l ist. Für die Ermittlung der Bewegung ist es nur notwendig gewesen, eine der dynamischen Gleichungen zu verwenden. Die restlichen Gleichungen dienen, die Reaktionen des drehenden Körpers auf seinen Lagern festzustellen. Nehmen Sie z.B. an daß es keine äußeren Kräfte gibt. Nehmen Sie rechteckige Äxte, von denen See also:Unze mit der Mittellinie der Umdrehung übereinstimmt. Die Winkelgeschwindigkeit, die, die wirkungsvolle Kraft auf einem Partikel m in einem Abstand r von Unze konstant ist, ist mw2r in Richtung zu dieser Mittellinie, und seine Bestandteile sind dementsprechend w2mx, w2my, O., Since die Reaktionen auf den Lagern Äquivalent zum vollständigen System der wirkungsvollen Kräfte statisch sein muß, sie auf einer Kraft sich verringern (X Y Z) bei 0 und ein Paar (L M N) gegeben durch X = wÈ(mx) = wÈ(m), Y = wÈ(my) = w2Z(m) y, Z = O, L=w2Z(myz), M=w2X(mzx), N = O, (8), wo x, y sich beziehen, die Reaktionen Masse-Mitteg. The nicht folglich verringern sich auf einem einzelnem Kraft bei 0 es sei denn E (myz) = O, (mzx) = O, d.h., es sei denn die Mittellinie der Umdrehung eine Hauptmittellinie der Schwungkraft ist (§ II) an O., so dass die Kraft uns verschwinden kann, muß z auch haben, - y=o, d.h. die Masse-Mitte ' muß in der Mittellinie der Umdrehung liegen. Diese Betrachtungen sind im "Ausgleichen" der Maschinerie wichtig. Wir merken weiter, daß, wenn ein Körper frei ist, sich über einen Fixpunkt 0 zu drehen, es drei gegenseitig Senkrechtlinien durch diesen Punkt, über den er ständig sich drehen kann, ohne weitere Begrenzung gibt. Die Theorie von Direktion oder "dauerhafte" Äxte wurde zuerst von diesem Gesichtspunkt von J. A. Segner (1755) nachgeforscht. Der Ursprung des Namens"Abweichungmomentes" manchmal angewendet an einem Produkt der Schwungkraft ist auch jetzt offensichtlich. Fortfahrend zur allgemeinen Bewegung eines steifen Körpers in zwei Maßen, können wir nehmen, während die drei vom Körper, den das rechtwinklige kartesische x Koordinate, von y der Masse-Mitte G und vom Winkel 6 koordiniert, durch den der Körper sich von irgendeiner Standardposition gedreht hat. Die Bestandteile des linearen Momentums sind dann MX, Mq, und das eckige Momentum relative.to G, da Unterseite I9 ist, in dem M die Masse und das I der Moment der Schwungkraft über G. If die äußeren Kräfte ist, wird auf einer Kraft verringert (X, Y) G und ein Paar N, haben wir an MX = an X, mein = Y, IE = N. (9), wenn die äußeren Kräfte nullmoment über G haben, den die Winkelgeschwindigkeit 0 konstant ist. So projizierte sich eine kreisförmige See also:Scheibe unter Magnesiumschwerkraft in einem Drehbeschleunigungfig. 74 der vertikalen Fläche. mit konstanter Winkelgeschwindigkeit während seine Mitte eine Parabel beschreibt. Wir können die Gleichungen (9) am Fall von einem Körper des Umdrehungsrollens mit seiner Mittellinie anwenden, die auf einer Neigungsebene a. horizontal ist, wenn die Mittellinie von x paralleles zur Steigung der Fläche genommen wird, wenn x abwärts sich erhöht wir haben MX- = Magnesiumsin aF, o=MglattichaR, MK2B=Fa (io) wo K der Radius der Drehung über die Mittellinie von Symmetrie ist, a ist der konstante Abstand von G von der Fläche, und R, F sind die normalen und tangentialen Bestandteile der Reaktion der Fläche, wie in fig. 74 gezeigt. Wir haben auch das kinematische Relationsz=ao. Folglich a2 - Gsina K2 x=x21, R=Mg Lattich a, F=K2+as-Magnesiumsin a. (ii) die Beschleunigung von G ist folglich kleiner als im Fall frictionless Schiebens in das Verhältnis a2/(K2+a2). Für ein homogenes ist dieses Verhältnis sphe:e, für einen konstanten kreisförmigen See also:Zylinder oder Scheibe 3, für ein kreisförmiges See also:Band oder ein dünnes zylinderförmiges See also:Oberteil 4. - die Gleichung von Energie für einen steifen Körper ist bereits (in Wirklichkeit) als logische Folge von den grundlegenden Annahmen angegeben worden. (5) R kann es von den Grundregeln des linearen und eckigen Momentums auch abgeleitet werden, wie in den Gleichungen dargestellt worden (9). Wir haben M(zx+YY)+IBA+XX+Vy+N6, (12), woher und integrieren in Bezug auf t, 1M (x2+512)+Ì92 = f (Xdx+Ydy+NdO)+const. die linke See also:Seite ist die kinetische Energie der vollständigen Masse, gesollt konzentriert an G und am Bewegen mit diesem Punkt, zusammen mit der kinetischen Energie der Bewegung relative.to G (§ 15); und das rechte Mitglied stellt die integrale Arbeit dar, die durch die äußeren Kräfte in den aufeinanderfolgenden Infinitesimalversetzungen erledigt wird, in die die Bewegung behoben werden kann. Die Formel (13) kann im Fall vom zusammengesetzten Pendel oder des festen Rollens hinunter eine Abdachung leicht überprüft werden. Als ein anderes Beispiel nehmen Sie an, daß wir einen kreisförmigen Zylinder haben dessen Masse-Mitte an einem excentric Punkt ist und auf einer Horizontalebene rollen. Dieses schließt den Fall von einem zusammengesetzten Pendel mit ein, in dem die Messerschneide durch einen zylinderförmigen See also:Stift ersetzt wird. Wenn sein der Radius des Zylinders, des h der Abstand von G von seiner Mittellinie (0), des K der Radius der Drehung über eine Längsmittellinie durch G und des 0 die Neigung von OG zur Vertikale, die kinetische Energie 1MK202+ 2M ist. CG2. 82, durch § 3, da der Körper über die Linie von Kontakt (c) als blitzschnelle Mittellinie sich dreht, und die mögliche Gleichung EnergieisMghlattichs O. Zusätzliche Informationen und AnmerkungenEs gibt keine Anmerkungen dennoch für diesen Artikel.
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